книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

Глава 8. ДЕЙСТВИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ

ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ НА СИСТЕМЫ

СНЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

§34. Действие мгновенного импульса на систему

снесколькими степенями свободы

Представим себе, что в момент времени t —0 на каждую из масс системы подействовали мгновенные импульсы Sk. После воз­ действия импульсов система стала совершать свободные колеба­ ния, описываемые решением (3.12),

где £ = 1,2, . . . ,п.

Для определения постоянных А пі и ^ используем начальные условия, характеризуемые отсутствием начальных перемещений всех масс и наличием начальных скоростей их, которые могут быть определены с помощью закона об изменении количества дви­ жения.

Аналитически начальные условия могут быть записаны в сле­ дующем виде:

при t = О

(б)

Определим скорость перемещения масс, продифференцировав выражение (а):

П

(в)

Из первого условия (б)

П

Yi ?kiAn i ^ ’u = о. 1

Этому уравнению можно удовлетворить, если принять, что все начальные фазы равны нулю:

Т/ = °*

Из второго условия (б), используя (в), получим

ставляющие по формам колебаний и к определению коэффициен­

Выражения типа (д) составляем для каждой массы, т. е. пола­ гаем в выражении (д) k = l , 2, . . . , п. Далее суммируем левые и правые части полученных равенств:

венство может быть представлено после перегруппировки в таком виде:

В левой части полученного выражения все слагаемые, у кото­ рых j=hi, по свойству ортогональности (3.11) обращаются в нуль, и поэтому будем иметь

ПП

162

Отсюда получаем формулу для определения коэффициента раз­ ложения импульса Sk, действующего на массу тю по главным

формам:

п

S mk[>h ft=i

Подставив значение A ni в (а), получим выражение, опреде­

ляющее перемещение массы:

П

П

выражением, которое можно получить из (8.2). Перенесем начало отсчета времени к моменту t = u и заменим в выражении (8.2) пере­

менную t на t—и, тогда получим

П

пSkPki

k=l

§ 35. Действие нагрузки, меняющейся во времени по произвольному закону, на систему с несколькими степенями свободы

Кратковременные нагрузки, действующие на массы системы, можно представить в виде суммы бесконечного множества элемен­ тарных мгновенных импульсов Pk (и) du. Пользуясь формулой (8.3) предыдущего параграфа, составим выражение для элементарного перемещения масс системы при действии на них в момент вре­ мени t = u элементарных импульсов dSk = Pk (u) du:

П

пЦ/>*,(«)

Для определения перемещения масс системы к моменту вре­ мени t от действия кратковременных нагрузок Pk(t) последнее выражение необходимо проинтегрировать в пределах от нуля до

рассматриваемого момента времени t. Тогда получим

П

п t S P k ( и ) Рkl

k=\

Заметим, что дробное выражение под интегралом, содержащее в числителе и знаменателе суммы по индексу к, представляет со­ бой не что иное, как коэффициент разложения нагрузок Pk (і) в ко­ нечные’ ряды по главным формам колебаний. Действительно, пред­ ставим функции Pk (t) в виде

Определим значение коэффициентов разложения Рп1, поль­ зуясь тем же приемом, как и в предыдущем параграфе при разло­ жении на составляющие импульсов S k по формам колебаний. Умножим левую и правую части уравнения ,(б) на

Выражения такого вида составляем для каждой массы, т. е. по­ лагаем в последнем равенстве поочередно k= 1, 2, 3 , ... , п. Про­ суммировав левые и правые части всех равенств и используя свой­ ство ортогональности (3.11), как в предыдущем § 34, получим

£ p k ( t ) РЫ = р пі £

А=1

И Л И

I , p At) Pki

164

где Pnl (и) определяется по формуле (8.4), как коэффициент раз­ ложения нагрузок Pk (t) в конечные ряды по главным формам колебаний.

Выражение (8.5) позволяет определять перемещения всех масс

времени по различным законам. Например, при вибрационных на­ грузках, действующих на разные массы с различной частотой.

С помощью этого выражения можно определять перемещения точек балки, рассматриваемой как система с конечным числом степеней свободы при последовательном набегании нагрузки на массы системы.

Практически важным является случай, когда все кратковре­ менные нагрузки, действующие на массы системы, меняются во времени по одинаковому закону:

Iде Pk — постоянный множитель, имеющий для каждой из масс какое-то определенное значение;

/ (t) — закон изменения нагрузки во времени, одинаковый для всех масс.

В этом случае формула (8.4) для определения коэффициентов ряда разложения по главным формам имеет вид

2 PftPw

Анализируя выражения (8.5) и (8.7) и сопоставляя их с вы­ ражением (7.17), которое определяет перемещение системы

165

Глава 9. ДЕЙСТВИЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ

НА СИСТЕМУ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

§36. Общие положения

Впредыдущих главах было рассмотрено действие различного вида кратковременных нагрузок на систему с одной степенью

свободы, а также на системы с конечным числом степеней свободы. Реальные же сооружения являются системами с бесконечным числом степеней свободы. Поэтому для выработки правильной приближенной методики их расчета важно изучить действие крат­ ковременных нагрузок на систему с бесконечным числом степеней свободы.

Ранее, в главе 4, были рассмотрены свободные поперечные колебания стержней на основе исследования дифференциального уравнения движения стержня при его поперечных колебаниях. При этом было установлено, что свободные поперечные колебания стержня как системы с бесконечным числом степеней свободы складываются из бесчисленного множества так называемых глав­ ных форм колебаний, и уравнение свободных колебаний выра­ жается зависимостью [см., например, (4.13)]

Отметим, что приведенное выше выражение, полученное для случая поперечных колебаний одного стержня, в принципе приме­

167

нимо ко всем стержневым упругим системам, если под X „ (х ) по­ нимать функцию, описывающую форму главных колебаний этих стержневых систем, а под у(х, t) — функцию, описывающую дви­ жение всех стержней системы. Основываясь на решении для сво­ бодных колебаний системы с бесконечным числом степеней сво­ боды, рассмотрим вынужденные колебания этой системы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний можно получить, если в правую часть дифференциального уравнения сво­ бодных колебаний (4.2) (см. § 13) включить распределенную по длине стержня возмущающую нагрузку р{х, і). Тогда будет

(9.2)

Возможны два пути получения решения дифференциального уравнения (9.2).

Первый путь — решение разыскивается в виде бесконечного ряда

у(х , t ) = £ * „(•* ) 7 ;(О

где Х п (л;) — уравнение п-ой главной формы колебаний, получен­ ное при исследовании свободных колебаний;

Т* (t) — функция, зависящая от времени и характеризующая вынужденные колебания n-ой главной формы.

Вэтом случае нагрузку р(х, t), стоящую в правой части урав­ нения (9.2), необходимо разложить в ряд по функциям Х п(х).

Второй путь основан на использовании решения для случая действия на систему с бесконечным числом степеней свободы мгновенного импульса, получить которое сравнительно просто. Этот второй путь и будет нами изучен ниже.

§37. Действие мгновенного импульса на систему

сбесконечным числом степеней свободы

В§ 27 было установлено, что мгновенный импульс при дей­ ствии на систему с одной степенью свободы вызывает свободное колебание этой системы. Естественно предположить, что мгновен­ ный импульс, действующий на систему с бесконечным числом сте­ пеней свободы, вызовет свободные колебания этой системы, опи­ сываемые зависимостью (9.1). Рассмотрим балку с произволь­ ными опорными закреплениями и с массой, распределенной по произвольному закону т(х). На балку в момент времени ^ = 0 по­ действовал мгновенный импульс s(%), также распределенный по оси балки по произвольному закону. Перемещения точек оси бал­ ки в начальный момент будут равны нулю, так как перемещения не могут возникнуть мгновенно. В то же время в результате воз­

168

действия мгновенного импульса точки получат начальные ско­ рости ѵ0(х), которые могут быть определены исходя из закона об изменении количества движения. Таким образом, для определения

(а)

д у : dt

Первое из этих условий доказывает, что колебания начинаются без начальных отклонений. Значит, в общем уравнении движения величину характеризующую начальную фазу движения, надо положить равной нулю. Действительно, подчинив зависимость (9.1) первому условию (а), получим

И А аХ п К sin К О + т„) = 0. «=1

Это уравнение выполняется, если чп =0. Теперь общее уравне­ ние движения системы может быть записано в следующей форме:

/1= 1

Отсюда найдем скорость движения точек оси балки:

/1 = 1

Эта зависимость нам необходима для определения Ап из вто­ рого начального условия. Сначала определим начальную ско­ рость Ѵо(х). Применим закон об изменении количества движения к элементу балки, масса которого равна m(x)dx. К этому элементу мгновенно прикладывается импульс s(x)dx. Под действием импуль­ са в элементе происходит мгновенное изменение количества дви­ жения от нуля до m(x)dxvo(x).

Отсюда следует

п - i

169