Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Таким образом, исследование перемещений системы							в первом
и втором интервалах приводит к следующему выводу:
если	т < - ^ и л и -£•<(),5 j			, то ymax =		2уст sin ~ ,
такого перемещения		система	с	одной	степенью свободы		впервые
достигнет во втором интервале в				,	Т ,	г
				tm = — + — ;
если	Т 7	т '	\	"■	4	2
	X> -я- или -= > 0,5			, то _ртах =		2уСТ,

которого система впервые достигнет в первом интервале в tm— Т

2 ’

б)

На основании полученных данных для перемещений на рис. 76 построены графики изменения у в зависимости от ЦТ для различ ных значений х/Т. На графиках пунктирными линиями показаны перемещения в первом интервале, а сплошными— во втором.

Определение эквивалентной нагрузки и динамического коэффициента

Определив у тах, находим для рассматриваемого случая дей ствия кратковременной силы эквивалентную статическую нагрузку,

150

которая, в соответствии с определением § 26, равна

Т^экв = ^Утах’
выражение	вместо	Ушах		значения из (б)
что густ = Ит, а ш =		2т,	,	получим
		-J
9Р	если	■С>	0 ,5 Г,
тех	если	т <	0,57.		(7.31)
2 sin -J Pm,

Динамический коэффициент в рассматриваемом случае

2,	если	т > 0 ,5 7,
k„	если	т < 0,57.	(7.32)
2 sin у ,	если	т < 0,57.

Таким образом, величина эквивалентной нагрузки, на которую следует рассчитывать систему с одной степенью свободы при дей ствии на нее кратковременной постоянной силы, и величина дина мического коэффициента зависят от-отношения т/7.

Значения динамического коэффициента при различных отноше ниях т/7 приведены в табл. 1.

					Таблица 1
т/Г	кл	Т/Г	К	т/7	Ад
0,00	0,000	0,10	0,618	0,30	1,617
0,01	0,062	0,125	0,765	0,35	1,782
0,02	0,126	0,150	0,908	0,40	1,902
0,03	0,188	0,167	1,000	0,45	1,974
0,04	0,251	0,20	1,175	0,50	2,000
0,05	0,313	0,25	1,413	>0,50	2,000

Как видно, при малой продолжительности действия силы макси мальный эффект (максимальные перемещения и усилия) от ее дей ствия меньше того эффекта, который был бы при статическом дей ствии силы такой же величины. По мере возрастания отноше ния т/7 эффект от действия силы быстро возрастает.

Действие одинаковых по величине импульсов различной длительности

Рассмотрим, как будет меняться максимальное перемещение системы, если одновременно с изменением длительности действия кратковременной силы меняется и величина этой силы, но с таким

151

расчетом, что ее импульс, определяемый из графика (рис. 75) вы ражением

5 = Ртт,

(7.33)

остается постоянным.

При т->0 имеет место мгновенный импульс. Максимальное перемещение от его действия выражается формулой (7.11). Обо значим максимальное перемещение, соответствующее нулевой дли тельности времени действия силы, через у ^ ах. Тогда

‘

(7-34)

Найдем отношение максимального перемещения утах, возни кающего при конечной длительности времени действия силы и определяемое по формулам (б) и (е), к максимальному перемеще нию у^ах от мгновенного импульса такой же величины. Обозна

чим это отношение буквой k:

				__	Л1max
				~	ѵ°
					-^max
Подставив сюда		значения перемещений					(б)	и	(7.34) или (е)
и (7.34) и выполнив очевидные преобразования, получим
при	т>0,57" /или	> 0,б '\|		,
	к _ . Ушах =		2уст		^ 2P J r	_	2 Т	_	Т
	Ушах		5 / ОТ1®		Pm™/r		T-2ir		(7.35)
	Ушах		5 / ОТ1®		Pm™/r		T-2ir	KT
при	т < 0 ,5 7 \| или f	< 0,5		,
	k —	Ушах	2Уст sin —			Т_		кт	(7.36)
						Т_		кт
				Sjmx<s>		•кт	Sin	-J, .
		Ушах		Sjmx<s>		•кт

Значения коэффициента k, вычисленные при различных отно шениях т/Г, помещены в табл. 2, из которой видно, что при воз растании т/Т от нуля до бесконечности коэффициент k убывает от 1 до нуля.

Зная коэффициент k, можно довольно просто определять вели чину утах по формуле

Ут.х = *У°т«-

(7-37)

Отсюда видно, что при одной и той же величине импульса двух кратковременных сил большее перемещение вызывает та сила, у которой время действия т меньше. Наибольший же эффект будет иметь место при действии мгновенного импульса.

152

						Т а б л и ц а 2
	х/Г	k	т /Т	k	х,7	k
	0,0	1,000	0,9	0,354	1,8	0,177
	0,1	0,984	1,0	0,318	1,9	0,167
	0,2	0,936	1,1	0,289	2,0	0,159
	0,3	0,858	1,2	0,265	2,5	0,127
•	0,4	0,756	1,3	0,245	3,0	0,106
	0,5	0,637	1,4	0,227	4,0	0,0796
	0,6	0,531	1,5	0,212	5,0	0,0636
	0,7	0,455	1,6	0,199	10,0	0,0318
	0,8	0,398	1,7	0,187	00	0,000

Таким образом, при расчетах систем на кратковременную силу по мгновенному импульсу длительность действия этой силы учи тывается коэффициентом k. Как видно из табл. 2, при малых зна чениях х/Т коэффициент k мало отличается от единицы. По этому при т/Т ^ 0,3 расчет на действие кратковременной силы с достаточной для практических целей точностью можно, заме нить расчетом на мгновенный импульс соответствующей вели чины без учета времени действия кратковременной силы.

§ 33. Действие внезапно приложенной кратковременной силы, убывающей от максимального значения до нуля по линейному закону

Рассмотрим действие на систему с одной степенью свободы кратковременной силы, величина которой ме

няется в соответствии с графиком, показанным на рис. 77. Анали тическое выражение для P(t) в этом случае будет следующим:

Pm ^ 1— — для первого интервала (0

0 — для второго интервала (t > т).

Исследование выполним в том же порядке, что и в двух пре дыдущих случаях.

153

Определение перемещений

Как и ранее, перемещения будем определять по формуле (7.17), подставив туда выражение Р(и), соответствующее рассматри ваемому случаю. Тогда мы получим, очевидно, различные выраже

ния	для перемещения		y(t)	для	первого		и второго интервалов
времени.
	1-й и н т е р в а л	(0<Д<Д). Применив принятые выше обозна
чения, будем иметь			t
			t
			j	( l -	i )	sin » ( < - « ) Л		-
			0		— I		sin (ot
			— COS		— I		sin (ot
						T	соt
Учитывая, что mico2 = r, и обозначив								получим
	УI ( 0 =	Уст	1 — COS СОt —			I	sin COt
	УI ( 0 =	Уст	1 — COS СОt —			т	(Оt	(а)
						т	(Оt
где	Уст — перемещение		системы		от	статического		действия на нее
силы, равной Рт.

Для определения максимальных перемещений исследуем полу

ченное выражение для у х (t).				Возьмем от у х(/)				первую	производ
ную по времени и приравняем ее нулю, т. е.
dy{ (t)		Уст ш Sin СОt					COS Сot
	dt							= 0.
Отсюда для определения моментов времени, соответствующих
экстремальным	значениям_у,, получаем следующее уравнение:
		сот sin со£ —			1 +	cos «>t=	0.
Преобразуем его,		заменив
,	„	. со£		№t	и	1 — cosco^ =		2 sin2^
sin cor = 2 sin “2 cos
Вынося 2 sin -у		^a	скобку		и	сокращая		на два,	приходим
к уравнению	^	СО^			wt	шt
	.
	8Ш 2		сот cos		— sin		= о,

из которого найдем два семейства корней (ät.

Вначале приравняем нулю выражение в круглых скобках, т. е.

(ot	О)t
сот cos -	sin 2 — 0.

154

<s)t
Разделив на cos у , получим
, (Ot	(б)
tg 2 =	(б)

Из (б) находим значение первого корня данного семейства:

	== 2 arctgu)x
+	2 arctgoJx	arctgtuT	^	(в)
г. —		— ----------	1.	(в)
Так как при любых олг>0 0<arctg шх<— , то из				(в) следует,
Т			2
что 0<ifi < — .
Перемещение, соответствующее моменту времени 11, будет
У,(О = 2 у „ \| 1 - І ^ І > 0 .				(г)
Далее, полагая		U)X
Далее, полагая
	sin у	= О,

получим значение интересующего нас корня другого семейства:

= я.

откуда

t , = ^2 = T .

Соответствующее этому моменту времени перемещение

У\ (^г) = 2 ——Уст <С 0.

Из полученных результатов следует, что вначале при Ч < —

имеет место максимальное перемещение в направлении действую щей силы, а затем при t2 = T — перемещение в противоположную сторону.

Чтобы первое максимальное перемещение имело место во время действия нагрузки (в 1-м интервале), необходимо выполнение оче видного условия

1, = — arctgwx.

Преобразуем это неравенство к виду

-!> arctg <öt,

155

откуда

(ОТ .

tg--

Значения cot, для которых последнее неравенство выполняется, можно установить с помощью графика, показанного на рис. 78.

Из графика видно, что это условие выполняется в случае, если

0,371

2-й и н т е р в а л

(О т ).

Получим

выражение

для

перемеще

ния в этом интервале:

^ t)=^ f

( '

— ■?-) Sin u, а - К)

— COS <01

— sin m t

-----— sin CO( t

— t) .

/П[Ш2

( О Т

C D T

Заменив

здесь

разность

синусов

по

формуле тригонометрии и

учитывая, что т\<а2=г, а

получаем

~ ^ = у СТ,

~ _ 2_

с о

Ун (*) =

Уст

s i n -

COS СО

— COS COt

(д)

0 ) Т

156

Н а й д е м м а к с и м а л ь н о е зн а ч е н и е п е р ем е щ е н и я у и ( t ) . Д л я о п р е

деления соответствующего		значения	tm возьмем первую произ
водную от у ц (t)	по времени	(скорость)	и приравняем ее нулю, т. е.
d.Уп (О	2 ,	ют .	т	ш sin (t)t	= 0.
d t	------ sin 7 7 sin ш t		2
	т	2

Здесь нулю должно равняться выражение, стоящее в квадрат

ных скобках. Преобразуем его, заменив sin со по тригоно

метрической формуле. Тогда, освободившись от знаменателя т, получим

	юн	юн	юн	+ ш т sin ЮІ =	0.
— 2 sin 77- ( sin tofcos-g---- COStor Sin-^-				+ ш т sin ЮІ =	0.
Далее объединим		слагаемые	по группам	и перейдем	от	поло-
винного угла	юн
винного угла	к целому сот:

( ( D T — sin ш т ) sin юі - г (1 — C O S со т ) cos юі — 0.

Получим уравнение

				tg wt = — 1 — C O S ш т
откуда определяем							ш т — sin ш т		’
откуда определяем
							1 —	C O S ш т
				Ч * = arctg			— шт — sin шт
И, наконец,
,	1	.	/	1 — cos ш т			JT	arctg		1 — C O S ш т
tm = — a r c t g ------——:------							2те	arctg		ш т — sin ш т	(е)
п	Ю		в	Ш Т sin— ш т			2те			ш т — sin ш т	(е)
Входящее сюда в круглых скобках выражение отрицательное.
Поэтому при любых сот>0
			и		/		1 — cos шт \		< те.		(ж)
			77- < a r c t g			----------- ;-----			< те.		(ж)
			2		ь \		юн — s i n ЮН
Подставляя			найденное			значение		ш£т	в	выражение	(д)
для y n	( t ) , найдем			соответствующее значение уп тах. Оно оказы
вается равным
				[	л	2sin«>T		2 ( 1 — cos шт)			(з)
				'	1	'	”1~			m	(з)
	УII max			V			С О Т		( ш	т ) 2

Чтобы определяемое выражением (з) максимальное переме щение впервые имело место после снятия нагрузки, необходимо соблюдение условия

I	arctg	1 — cos сот
(!)	arctg	шт — sin Ш Т

157

или, с учетом (ж),

t g СОТ >	1 — C O S сот
	IDT ----- Sin <DT

Отсюда путем несложных преобразований получаем

ODT

>tg 2 ’

аэто условие, как видно из рис. 78, имеет место, когда

^-< 0,371

или

т < — Т.

Из

полученных

результатов

следует,

что

если

т < - g -

т .

3 '

т0

( или у

g- ) ,

уm ax .Уст

2 sin мт 2 (1— cos сот)

o n

( с о т ) 2

Такого

перемещения

система

впервые

достигнет

во

втором

интервале в момент времени

—

C O S сот \

• a r c tg ------------ :-----

~г .

сот

—

sin (ОТ )

Если т

, то

> — Т I или Y

> g -1

2Уст

arctg сот

Перемещения такой величины система достигнет еще во время действия нагрузки (в 1-м интервале) в момент времени

2Т

^= — arctg (от < у

Определение эквивалентной нагрузки и динамического коэффициента

Подставив

полученные

значения yfflax

в формулу (7.1), на

ходим

arctg сот

Р 2

, если

----- 5----

> -ц- ;

-Ъ

экв —

СОТ

/ 8

^ 3

(7.31)

*р

1р m

2 Sin

СОТ

, 2 ( 1 — COS сот)

, если

—

1 / 1 ------------------------------------

сот

(сот)2

-=г <

ѳкв —

158

П о д с т а в л я я зн а ч е н и я Я экв в ф о р м у л у ( 7 .2 ) , п о л у ч и м

2 1-	arctg мх
	если

,2 sin мт 2 ( 1 — cos m x )

1 ---------------- --------	^	--------- , если
M X		( с о х ) 2

T 3

(7.39)

<-5- .

T 8

Из первой строки (7.39) легко получается результат, соответ ствующий случаю действия внезапно приложенной постоянной

С И Л Ы ( х = о о , /2 д = 2).

Таким образом, максимальное перемещение системы и в дан ном случае действия кратковременной силы может быть опреде лено по формуле

.Уmax — ^дУст>

(7.40)

где Уст=^г, а значения динамического коэффициента, вычислен

ные для различных отношений т/Т, приведены в табл. 3.

					Т а б л и ц а 3
х/7		х/7	kA	?ІТ
0,00	0,000	0,8	1,453	1.7	1,723
0,1	0,310	0,9	1,506	1,8	1,738
0,2	0,602	1,0	1,552	1,9	1,751
0,3	0,853	М	1,587	2,0	1,763
0,371	1,000	1,2	1,618	2,5	1,809
0,4	1,051	1,3	1,645	3,0	1,839
0,5	1,197	1,4	1,(>69	4,0	1,879
0,6	1,310	1,5	1,689	5,0	1,908
0,7	1,392	1,6	1,707	ОО	2,000

Действие одинаковых по величине импульсов различной продолжительности

Сравним найденные максимальные перемещения утах, вызван ные действием кратковременной силы, убывающей по линейному закону, с перемещениями от мгновенного импульса, величина ко торого равна импульсу кратковременной силы.

Наибольшее перемещение у^ах от действия мгновенного им пульса S, как было установлено ранее, равно (7.34):

159

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
27.10.202319.13 Mб49Основы автоматизированного электропривода учеб. пособие.pdf
#
27.10.202325.48 Mб31Основы автоматического управления..pdf
#
23.10.202322.13 Mб34Основы вычислительной техники учебник..pdf
#
29.10.20239.94 Mб85Основы гальванотехники П. М. Вячеславов. 1960- 9 Мб.pdf
#
22.10.202316.11 Mб3Основы гражданского трудового земельного и колхозного права учеб. пособие для экон. фак. ун-тов.pdf
#
19.10.20236.71 Mб18Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf
#
23.10.202319.84 Mб18Основы кибернетики. Математические основы кибернетики учебное пособие.pdf
#
27.10.202322.12 Mб57Основы радиотехники и радиолокации учеб. пособие.pdf
#
19.10.20236.6 Mб23Основы теории алгоритмов учеб. пособие.pdf
#
20.10.20238.34 Mб46Основы теории и конструкции контрольно-проверочной аппаратуры авиационных управляемых ракет учебник..pdf
#
22.10.202312.76 Mб19Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf