книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

жения массы из положения статического равновесия (рис. 61):

тd*y dt2

Уравнение (7.4), как известно (см. § 4), является дифферен­ циальным уравнением свободных затухающих колебаний системы с одной степенью свободы. Будем рассматривать случай малых сопротивлений: п<ш. Решение уравнения (7.4) в этом случае бу­ дет иметь вид (2.11)

где ф =Ѵ ш2—п2 — круговая частота свободных затухающих коле­ баний;

А и В — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

В исследуемой задаче начальными условиями являются: на­ чальное перемещение у0, которое отсутствует, и начальная ско­ рость ÜQ, которая определится из закона об изменении количества движения:

5 = тгѵ0.

Аналитически указанные начальные условия записываются сле­ дующим образом:

при ^ = 0

Подчиним этим условиям решение (7.5). Из первого условия имеем А —0.

Определим первую производную выражения (7.5), имея в виду, что А = 0:

130

Тогда из второго усло­ вия

ФД = — или В = — - .

тх

Подставив найденные значения А и В в решение (7.5), получим уравнение движения массы после воз­ действия на нее в мо­ мент t = 0 мгновенного им­ пульса 5:

дем к новой переменной t — t—и. В этом случае в формуле (7.6)

вместо і необходимо подставить і— и и придем к следующей зави­

В соответствии с определением эквивалентной статической на­ грузки в случае воздействия мгновенного импульса будем иметь

Я: ИУтах — У

132

чем жестче и легче сооружение, тем больше величина эквивалент­ ной нагрузки.

ки /, жесткость поперечного сечения El. Найти максимальный изгибающий мо­

§ 28. Действие произвольной непериодической силы на систему с одной степенью свободы

Пусть на массу, подвешенную на пружине, действует непериоди­ ческая сила, меняющаяся во времени по какому-то произвольному закону (рис. 64). Как и в предыдущем случае, будем учитывать диссипативные силы. Диффе­ ренциальное уравнение дви­ жения массы (рис. 65) будет

Объединив члены, содер­ жащие у, в левую часть, по­ лучим

d2y , ady

m^ d F ^ ^ dt^ +ry==P{t) (7ЛЗ)

или

(7.14)

Общее решение этого неоднородного дифференциального урав­ нения будет складываться из свободных и вынужденных колеба-

133

ний. При нулевых начальных условиях свободные колебания будут отсутствовать. Для получения решения, описывающего вынужден­ ные колебания, может быть применен метод вариации произволь­ ных постоянных. Однако в данном случае проще воспользоваться предыдущим результатом для

мгновенного импульса.

Итак, найдем перемещение у массы в некото­ рый момент времени t. Это перемещение вызы­ вается переменной во времени силой Р (t), дей­ ствующей в течение промежутка времени от нуля до рассматриваемого момента t. Сначала найдем перемещение dy, вызываемое в момент t элемен­ тарным импульсом P(u)du (рис. 64). Рассматри­ вая элементарный импульс как мгновенный импульс, действующий на массу в момент вре­ мени и, и применяя формулу (7.9) предыдущего параграфа, получим

Это и есть решение неоднородного уравнения (7.14), характе­ ризующее движение массы при воздействии силы P(t), меняющей произвольно свою величину во времени.

После прекращения действия возмущающей силы, т. е. при t > т, где т — продолжительность действия P(t), интегрирование должно быть выполнено в пределах от 0 до т и перемещение массы будет определяться выражением

в случае действия произвольной возмущающей силы при отсут­ ствии затухания, т. е. при п —0 и ф = «в:

134

о

В дальнейшем выражениями (7.15—7.18) будем пользоваться при исследовании движения системы с одной степенью свободы при действии конкретных видов кратковременных нагрузок.

§ 29. Действие внезапно приложенной постоянной силы

К массе на пружине в момент времени і = 0 внезапно прило­ жена сила Р, которая остается затем постоянной. К этому случаю относится, например, внезапно приложенный к системе груз, мас­ сой которого можно пренебречь по сравнению с массой системы. К этому же случаю может быть сведено действие давления воз­ душной ударной волны на конструкцию, рассматриваемую как система с одной степенью свободы, если время действия давления значительно превосходит (в 15—20 раз) период собственных коле­ баний конструкции.

Из всех законов изменения нагрузки внезапно приложенная постоянная сила является наиболее опасной, так как вызывает наибольшие деформации и усилия. Но с точки зрения получения аналитического решения она является наиболее простой, так как позволяет получать простые расчетные формулы, в связи с чем результаты этого случая часто используются при оценочных рас­ четах. Кроме того, на основе данного случая могут быть методом наложения получены результаты для других более сложных зако­ нов изменения возмущающей силы (см. § 30).

где t = t—и.

В полученный результат входит определенный интеграл. Соот­ ветствующий неопределенный интеграл берется двукратным интегрированием по частям, и его значение приводится в таблицах интегралов (см. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по высшей математике):

135

Применяем это решение и подставляем пределы

Имея в виду, что п2-|-ф2 = со2 и т\а>2 = г, получим

График этого выражения изображен на рис. 66. Как видим, движение массы представляет собой затухающее колебание отно­ сительно положения, которое она займет при статическом действии силы, т. е. относительно прямой

У —.Уст = Р!г-

Найдем далее из условия равенства нулю производной момент времени, в который масса будет иметь максимальное перемещение:

Последнее равенство может иметь место при

sin tytm — 0; «!>*„ = *; tm = TZ

T '

136

Подставляя эти значения в (7.19), получим

Рассмотрим также случай, когда внезапная нагрузка прило­ жена в момент £ = п (рис. 67). Перенесем начало отсчета в точ­

ку t = u и перейдем к новой переменной Г=?—и. Применяя выра­ жение (7.19), получим

Если затухание колебаний не учитывается, то во всех предыду­ щих выражениях необходимо принять п = 0 и ф = м. В результате из формулы (7.19) получим выражение для перемещения массы:

Максимальное перемещение масса будет получать при wtm —kn,, где k — нечетное число:

Р

Утах — 2 у — 2уст,

где уст — перемещение массы в случае статического действия силы Р.

График движения,''описываемый выражением (7.22), приведен на рис. 68. Из графика следует, что движение массы представляет

13Т

собой колебания, совершаемые относительно положения массы, которое она займет при статическом воздействии силы Р. Ампли­ туда колебаний при этом равна статическому прогибу уст.

Рис. 68

В соответствии с определением, данным в § 26, найдем эквива­ лентную статическую нагрузку

^экв ==^Ушах “ Г-2усІ. Имея в виду, что густ =Р, получаем

Таким образом, при действии на систему с одной степенью сво­ боды внезапно приложенной силы Р расчет системы, т. е. опреде­ ление ее максимального перемещения и максимальных значений внутренних усилий (например, реакции пружины), может быть произведен на статическое действие удвоенного значения этой силы.

Динамический коэффициент в рассматриваемом случае

= 2.

Пример 12. Масса т х расположена на конце консоли и подвергается воз­ действию внезапно приложенной силы Р = const. Пролет консоли I, жесткость поперечного сечения ЕІ. Найти максимальный прогиб конца консоли и наиболь­ ший по абсолютному значению изгибающий момент в сечении у защемления.

Определяем по формуле (7.23) эквивалентную статическую нагрузку:

Р ЭКВ = 2Р.

Применяя известные формулы сопротивления материалов, определяем:

— прогиб конца консоли

— изгибающий момент в сечении у защемления Мтах = — Р -IквI — 2PL

138

§30. Кинематическое возбуждение колебаний системы

содной степенью свободы

Колебание системы с одной степенью свободы можно вызвать не только воздействием возмущающей силы на массу, ист и пере­ мещением точки подвеса пружины (т. А на рис. 61) или перемеще­ нием опор невесомой балки, несущей сосредоточенную массу.

совершать движение y(t),

которое является относительным движением. Абсолютное движе­ ние массы будет равно сумме переносного и относительного движений:

Составим дифференциальное уравнение движения массы

т1d2Vаб (t) —— F — R, dt2

или

Это дифференциальное уравнение может быть записано либо относительно уаб(0 >если иметь в виду выражения (б) и (в):

либо относительно y(i), если иметь в виду (а):

139