книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

точки приведения массы. Из сказанного следует, что формула (6.1) является приближенной. Позже будет показано, что на основе формулы (6.1) основная частота свободных колебаний может быть найдена с достаточной точностью.

Для случая равномерно распределенной по длине балки массы,

Входящая в выражения (6.1) и (6.2) форма колебаний стерж­ ня Х(х), как правило, бывает неизвестна. Ее приходится прини­ мать приближенно в виде «подходящей» кривой, т. е. кривой, удовлетворяющей граничным условиям.

После того как масса приведена в одну точку, частота свобод­ ных колебаний определяется по любой из формул § 4 для систем с одной степенью свободы:

г

(6.3)

ЛГ

или

1

(6.4)

Ѵ М 8П ’

где г — жесткость балки в точке приведения массы; 6ц — прогиб этой точки от единичной силы.

Рассмотрим нахождение приведенной массы и частот для одно­ пролетных балок с различными условиями закрепления.

§ 24. Приближенное определение частоты свободных колебаний стержней при различных опорных закреплениях

1. Простая балка

Балку (рис. 54, а) с равномерно распределенной массой т, имеющую постоянное поперечное сечение Е1=const, заменим неве­ сомой балкой (рис. 54, б) с сосредоточенной массой в середине

пролета. Как и ранее в § 19, п. 1, примем X (х ) = С sin -j- .

Тогда X (а) •ХІі С.

Вычислим значение интеграла, входящего в формулу (6.2):

120

Подставляем это значение в формулу (6.2) и находим, что приведенная масса для рассматриваемой простой балки

в середине пролета балки от сосредоточенной силы, приложенной

Ші

Ошибка составляет всего 0,7%.

2. Балка с защемленными концами

Оно, как отмечалось в § 19,. Рис. 55 удовлетворяет всем гранич­

ным условиям.

Найдем величины сомножителей, входящих в формулу (6.2):

121

Перемещение в средине пролета балки:

122

?= J -

"s e i •

Зная М и öi1, по формуле (6.4) находим частоту

Точное значение частоты основного тона (см. § 16)

3,515 / ЕІ

/2 / іт

Здесь ошибка незначительна и составляет 3,5%.

123

§ 25. Метод приведения массы при исследовании свободных колебаний рам

Полученная в § 23 формула для определения приведенной массы прямолинейного стержня может быть использована для определения приведенной массы рамы, только в числителе фор­ мулы (6.1) интеграл нужно вычислять по всем стержням рамы, т. е. взять сумму интегралов, охватывающих все стержни рамы:

Функция X k{x) характеризует форму изгиба в каждом стержне рамы. Для ее аналитического определения может быть использо­ вана аналитическая зависимость

где М к — аналитическое выражение эпюры изгибающих моментов для каждого стержня, построенной для принятой формы изгиба рамы. Форма изгиба так же, как и в энергетическом методе, может быть получена от действия какой-либо подходящей нагрузки.

Путем двухкратного интегрирования (а) получим (см. § 21)

Постоянные Сх и Сг определятся из условий по концам стержней.

Масса рамы приводится к какому-то сечению x t =а вполне определенного і'-го стержня. Поэтому знаменатель формулы (6.5) находится путем подстановки абсциссы х { = а в аналитическое вы­ ражение формы изгиба для і-го стержня и возведения в квадрат полученного числа.

После определения приведенной массы частота колебаний мо­ жет быть определена, как для системы с одной степенью свободы, по формуле (2.8):

1

L24

симметричных колебаниях совпадает с эпюрой прогибов от действия сплошной нагрузки q, равномерно распределенной по ригелю рамы.

Определение приведенной массы.

Заметим, что числитель формулы (6.5) совпадает со знаменателем форму­ лы (5.11) для определения частоты энергетическим методом. В § 21 был рас­ смотрен пример, условия которого совпадают с условиями настоящего примера. Поэтому можно воспользоваться вычислениями примера 9.

зik

Определение бц.

Для определения бц необходимо построить эпюры изгибающих моментов для

заданной рамы от единичной силы, приложенной в сечении x-t = -L .

Такое построение может быть выполнено в результате расчета рамы методом перемещений. На рис. 58 показаны эпюры изгибающих моментов в нулевом и единичных состояниях. Составляем каноническое уравнение метода перемеще­

ний:

Лі-^і + Pip = 0-

125

Методом наложения строим окончательную эпюру М (рис. 59, я). Далее бц определяем по формуле

k=\ о

іде М \ — эпюра от единичной силы, построенная для любой статически опреде­ лимой рамы, образованной из заданной путем отбрасывания связей (рис. 59,6).

Вычисление интеграла производим по правилу Верещагина:

Определение частоты симметричных колебаний рамы. Подставляем значения М и бц в формулу (в) и получаем

Точное значение частоты для этого случая

(6.6)

Как видим, ошибка составляет 2,5% в сторону завышения.

Глава 7. ДЕЙСТВИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ

ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ НА СИСТЕМУ

СОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

§26. Кратковременные нагрузки. Понятие об эквивалентной

статической нагрузке

Действие кратковременных нагрузок определяется рядом пара­ метров, которые характеризуют их свойства. К числу таких пара­ метров относятся (рис. 60): время нарастания нагрузки до ее максимального значения, которое будем обозначать через п , и длительность действия нагрузки, которую будем обозначать т. Важ­ ным параметром, опреде­ ляющим нагрузку, является ее максимальное значение, которое в случае сосредото­ ченных нагрузок будем обозначать Рт, а в случае распределенных р т.

Действие некоторых ви­ дов кратковременных на­ грузок может быть опреде­

лено их интегральной характеристикой — импульсом нагрузки S, который равен

X

5 - \ p ( t ) dt.

о

Очевидно, что величина импульса определяется площадью между осью t и графиком изменения нагрузки.

В практике расчета конструкций на кратковременную нагрузку принят расчет на действие так называемой эквивалентной стати­ ческой нагрузки.

127

Эквивалентной статической нагрузкой на систему с одной сте­ пенью свободы, работающую в стадии упругих деформаций, назы­ вается статическая нагрузка, вызывающая в системе перемещения, равные максимальным перемещениям от действия заданной дина­ мической нагрузки.

Поясним это на примере простой невесомой балки с точечной массой посередине. Пусть при действии заданной динамической на­ грузки масса получила максимальное перемещение утах, равное прогибу балки в среднем сечении. Подберем затем такую величину сосредоточенной силы, приложенной к балке вертикально в месте расположения массы, чтобы при статическом действии она вызвала прогиб под силой, равный утах. Это значение силы и будет являться эквивалентной статической нагрузкой в данном примере.

Величина эквивалентной статической нагрузки в соответствии с определением находится по формуле

значению сосредоточенной силы, приложенной в середине балки, которая вызывает под силой единичный прогиб.

Из формулы (7.1) следует, что эквивалентная статическая на­ грузка равна максимальному значению восстанавливающей силы (см. § 5).

Необходимо иметь в виду, что замена действия динамической

позволяет определять максимальные усилия и дёформации в эле­ ментах системы, что важно при расчетах элементов и системы в целом на прочность и жесткость.

Формулой (7.1), как правило, пользуются в теоретических и экспериментальных исследованиях при определении эквивалент­ ной статической нагрузки. Порядок теоретического исследования при этом следующий: из решения дифференциального уравнения находится функция y( t ) , характеризующая перемещение системы;

В дальнейшем при изучении действия конкретных видов нагрузок на системы с одной степенью свободы мы будем придерживаться этого порядка.

Как показывают вычисления по формуле (7.1) для различных видов динамических воздестви, отношение эквивалентной стати­ ческой нагрузки к максимальному значению возмущающей силы может быть как больше, так и меньше единицы. Это отношение

вдинамике сооружений называют динамическим коэффициентом

иобозначают kA\

(7.2)

128

Значение динамического коэффициента для многих случаев на­ грузок получено либо теоретически, либо экспериментально в за­ висимости от параметров нагрузки и свойств конструкции, опреде­ ляемых ее частотой колебаний. В соответствующих справочных пособиях приводятся таблицы, графики и формулы для определе­ ния динамического коэффициента. Если задана динамическая на­ грузка и известен динамический коэффициент, то в соответствии с формулой (7.2) эквивалентная статическая нагрузка может быть определена следующим образом:

Этой формулой, как правило, пользуются при расчетах и проек­ тировании сооружений.

Далее в этой главе будут получены формулы для определе­ ния Рэ„и и &д в случае действия различных видов кратковремен­ ных нагрузок.

§27. Действие мгновенного импульса на систему

содной степенью свободы

Если уменьшать длительность действия нагрузки т, одновремен­ но увеличивая максимальное значение нагрузки Рт так, чтобы величина импульса S оставалась по­

стоянной, то в пределе при т->0 при­ ходим к понятию мгновенного импульса. В действительности длительность дей­ ствия нагрузки всегда имеет конечное значение. В случае если т мало по срав­ нению с периодом собственных колеба­ ний конструкции (как будет показано ниже, если оно составляет не более 30%), то действие нагрузки может быть заме­ нено действием ее импульса, который принимается мгновенным.

Отметим также, что понятие мгновен­

извольным образом меняющейся во вре­ мени нагрузки, так как последняя мо­ жет быть представлена как совокупность бесконечно большого числа элементар­ ных мгновенных импульсов.

Рассмотрим колебание подвешенной на пружине массы шь вызванное воз­ действием на нее в момент времени ^ = 0

мгновенного импульса S. Кроме восстанавливающей силы будем учитывать также диссипативную силу, пропорциональную скорости перемещения массы. Составим дифференциальное уравнение дви-