книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

Написанная формула предопределяет и правило знаков для угла ф. Он считается положительным, если положительному при­ ращению абсциссы ds отвечает положительное приращение орди­ наты dw. Принятым направлениям отсчета s и w будет соответ­ ствовать поворот касательной по часовой стрелке.

К зависимости (в) можно прийти и непосредственно из рис. 49,6. Можно принять, что поворот касательной равен повороту хорды, а он по малости угла выражается отношением щп'/пцпх или,

Если точка, через которую проведена касательная, получит перемещение и по оси s (рис. 49, б), то касательная повернется дополнительно на угол <]>а, который равен углу поворота радиу­ са R, т. е.

Суммируя (в) и (г), получим угол поворота касательной, свя­ занный с обеими компонентами смещения,

Связь между перемещениями и изгибающими моментами

Если рассмотреть две точки m и п, расположенные на расстоя­ нии ds, то в точке п касательная может повернуться больше на

110

Использование данной зависимости поможет облегчить реше­ ние задачи, так как в ней момент выражен через одну составляю­ щую смещения, а не через две, как в более общей формуле (д). Располагая зависимостью (5.17), можем перейти к исследованию колебаний круговых арок.

2. Колебания двухшарнирных круговых арок

Колебания арок могут происходить в форме растяжения-сжа­ тия их оси и в форме изгибных деформаций: симметричных и об­

В чистом виде они наблюдаются редко. Наиболее легко возникают изгнбные колебания обратно симметричной формы. При одинако­ вых абсолютных смещениях они сопровождаются меньшим изме­ нением кривизн, чем симметричные колебания, и связаны с мень­ шей энергией деформации. Поэтому при одинаковых внешних импульсах они будут происходить с наибольшей амплитудой, а их

Рис. 51

резонанс. Таким образом, для арок обратно симметричная форма колебаний является наиболее опасной. Определение ее частоты мы и рассмотрим.

Поскольку при изгибных колебаниях арок длина их оси почти не меняется, мы сделаем допущение, что ее удлинение е равно нулю. Это позволит нам выразить изгибающий момент через про­ гибы по зависимости (5.17) и тем упростить решение задачи.

Рассмотрим двухшарнирную арку кругового очертания с мас­ сой, равномерно распределенной по ее дуге. Найдем частоту сво­ бодных колебаний такой арки, воспользовавшись энергетическим методом. '

Поскольку арка является стержнем малой кривизны, то для определения потенциальной энергии воспользуемся той же исход­ ной формулой, что и для прямых стержней:

а

но выражение М через прогибы подставим по зависимости (5.17).

Учитывая, что при колебаниях прогибы w являются функцией двух переменных 0 и t, производные по одной из них, например по Ѳ, будут являться частными производными. Тогда

Вошедшее сюда выражение прогибов w(Q, t) надо, как обычно при применении энергетического метода, подобрать приближенно. Будем подбирать его, как и при исследовании колебаний прямых стержней, в виде произведения двух функций, одна из которых должна характеризовать форму изогнутой оси арки как функцию угла Ѳ, а другая — изменение ее прогибов во времени t.

касается изменения прогибов во времени, то его, как всегда при гармонических колебаниях, выразим функцией sin (ш/Ч-т). С уче­ том этих двух функций выражение прогибов можно принять в виде

w (Ѳ, t) — A sin sin j). (e)

Остается лишь проверить, удовлетворяет ли оно статическим граничным условиям. При шарнирном закреплении арки в опор­

обращаться в нуль выражение, стоящее в скобках этой формулы. Заменив, как и ранее, полную производную на частную и исполь­ зовав выражение (е), получим

Видим, что при 0= 0 и Ѳ= а это выражение обращается в нуль, следовательно, будут равны нулю и изгибающие моменты в пятах арки.

Убедившись, что принятое выражение ш(Ѳ, t) удовлетворяет

нее записать в форме вычитания меньшего числа из большего, т. е.

Вошедшее сюда перемещение и определим с помощью зависи­ мости (5.16). Подставив в нее подобранное для двухшарнирной арки выражение w согласно (е) и выполнив интегрирование, най­

дем

ѳ

Если положить в этой формуле Ѳ= 0 и Ѳ= а, то увидим, что полученное выражение и граничным' условиям удовлетворяет, т. е.

и (0, t) = 0 и и (а, t ) = 0.

Имея теперь выражения обоих смещений, можем пррдифферен-

114

Вошедшие сюда интегралы легко вычисляются:

Для решения задачи нам надо знать максимум кинетической энергии. Он достигается при cos2 (ю^-ff) = 1. С учетом вычислен­ ных интегралов будем иметь

Полученная формула решает поставленную задачу. Она позво­ ляет вычислить низшую (основную) частоту свободных коле­ баний двухшарнирной арки с массой, равномерно распределенной по ее дуге.

Формула (5.20) выведена нами для круговой арки, но если кривизну арки постепенно уменьшать, то в пределе получим про­ стую балку. При таком предельном переходе дуга арки станет равна пролету I, ее радиус будет стремиться к бесконечности, а угол а к нулю. После подстановки предельных значений aR — l

чили выражение, совпадающее с точной формулой для частоты второго тона свободных колебаний простой балки [см. форму­ лу (4.15) ]. Это следовало ожидать, так как выражение w мы подо­ брали, исходя из колебаний по двум полуволнам, что для простой балки соответствует колебаниям с частотой второго тона. Если бы для арки мы приняли выражение прогибов, отвечающие искривле­ нию оси по одной полуволне, как это делали для определения пер­ вого тона колебаний простой балки, то такое выражение w, удовле­ творяя граничным условиям арки, соответствовало бы ее симмет-

ричным колебаниям по рис. 51, а. Как уже говорилось, такие коле­ бания возможны лишь за счет растяжения сжатия оси арки, и для нахождения их частоты выведенные в настоящем параграфе фор­ мулы (5.15) и (5.17) использованы быть не могут, поскольку они получены в предположении нерастяжимости оси арки.

горизонтального диаметра, то линию прогибов, нанесенную пунк­ тиром, можно приближенно трактовать как косинусоиду, ординаты которой отложены от круговой оси кольца. При изменении Ѳ от О до 2л кривая прогибов описывает две полных волны косинусоиды. Исходя из этого, ее форму можно выразить функцией Лсоз2Ѳ, а для получения полного выражения прогибов при гармонических

116

а при sin2(w*1+ '[) = 1 найдем

Подсчет кинетической энергии будем вести по формуле (5.19), но предварительно найдем общее выражение и. Для этого исполь­ зуем зависимость (5.16) и введем в нее принятое для данной за­ дачи выражение w по (к):

— = Ли) cos 2Ѳ cos (or + f),

^(о sin 2Ѳ cos ( о Д -f >f).

Теперь эти зависимости подставим в формулу (5.19): 2тс

0

где

2it

j cos2 29 db = J sin2 29 db = те,

следовательно,

ч

V = -g- itRm.A2u>cos2 (u>t + 7).

При cos2((o^+ T) = l будем иметь максимум этого выражения:

Приравняв потенциальную и кинетическую энергии, т. е. фор­ мулы (л) и (м), найдем

Полученная формула выражает частоту собственных колеба­ ний свободного кольца. Если на него будут наложены связи в виде каких-либо опорных закреплений, то этими связями колебания кольца будут стеснены. Частота их станет больше, а амплитуда, при одинаковых внешних возмущениях, вызывающих рассматри­ ваемые свободные колебания, будет меньше.

117

Таким образом, для расчета по этому методу в первую очередь необходимо правильно определить величину приведенной массы.

Рассмотрим стержень, несущий распределенную по произволь­ ному закону массу т(х). Жесткость ЕІ меняется по длине стерж­ ня. Концы стержня закреплены произвольным образом (пусть для

невесомой балкой с теми же опорами, несущей в точке на расстоя­ нии а от левой опоры одну сосредоточенную массу, которую обозначим М (рис. 53, б). Потребуем, чтобы обе системы были динамически эквивалентными. Это условие означает, что кинети­ ческая энергия системы с сосредоточенной массой должна быть равна в любой момент времени кинетической энергии системы с распределенной массой. Из этого условия и определим величину приведенной массы.

В § 13 было установлено, что общий вид уравнения изогнутой оси колеблющегося стержня будет таким:

у (х, t) = X {х) Т (t).

Взяв производную по времени от этого выражения, получим

Кинетическая энергия системы с приведенной массой М, сосре­ доточенной в точке с абсциссой х = а (рис. 53,6), будет

Из формулы (6.1) видно, что величина приведенной массы за­ висит от закона распределения массы по длине стержня, формы изгиба стержня, положенной в основу расчета, и от положения

119