книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

Аналогично по формуле (5.3) определится максимальное зна­ чение потенциальной энергии:

j" m (x) X 2(x) dx + mxX 2 (а)

Заметим, что первое слагаемое в фигурных скобках является квадратом частоты свободных колебаний балки ы2 [см. форму­ лу (5.4)]. В результате из последнего выражения получаем сле­ дующую формулу для определения амплитудного коэффициента А:

А = Q ----------------- ^ ----------------. (5.8)

ш2 — р 2

J т (х) X 2(х) d x -f- тхХ 2 (а)

Зная коэффициенты А, можно определить ускорение в любой точке балки с координатой х:

Тогда наибольшие значения распределенных и сосредоточенных

100

Таким образом, при расчете балки, на которую действует вибрационная нагрузка, определение максимальных усилий необ­ ходимо производить от постоянной распределенной нагруз­ ки q = m(x)g, постоянной сосредоточенной силы P = m{g, макси­ мального значения распределенных и сосредоточенных сил инер­ ции, выражаемых формулами (5.9) и (5.10) и амплитудного зна­ чения возмущающей силы.

Пример 8 . Требуется определить максимальный изгибающий момент в про­ стой балке от действия вибрационной нагрузки, вызываемой двигателем. Двига­ тель установлен посередине балки. Масса балки не учитывается.

По формуле (5.10) получаем максимальное значение сосредоточенной силы инерции:

’9,81

Находим суммарное значение сосредоточенных сил, действующих на сере­ дину балки:

Р + Q + шах У (я) = 6 + 1,5 + 2,54 = 10,4 тс. Определяем максимальный изгибающий момент:

§ 21. Энергетический метод определения частот колебаний рам

Полученная в § 18 формула для определения частоты попереч­ ных колебаний стержней энергетическим методом применима также для определения частот рам. В этом случае интегралы, стоя­ щие в числителе и знаменателе формулы (5.5), необходимо рас­ пространить на все стержни рамы, т. е. взять сумму интегралов, охватывающих все стержни рамы:

пlk

k=\ 0

Здесь k — номер стержня рамы, ага — количество стержней.

101

где M k — изгибающий момент по &-тому стержню, определенный для принятой формы изгиба рамы.

б)

Форму изгиба рамы необходимо выбрать таким образом, чтобы она соответствовала общему характеру деформации рамы при ко­ лебаниях и чтобы удовлетворялись граничные условия. Удобнее всего форму изгиба получить от действия какой-либо простой ста­ тической нагрузки, вызывающей деформацию рамы, сходную с предполагаемой формой колебаний. Например, при симметрич­ ных колебаниях П-образной рамы можно принять, что форма из­ гиба каждого стержня рамы будет определяться уравнением изо­ гнутой оси этого стержня от действия сплошной нагрузки, равно­ мерно распределенной по ее ригелю (рис. 42, а), а при обратно симметричных колебаниях — как от нагрузки, распределенной по стойкам рамы (рис. 42,6). Построенная от той или иной подходя­ щей нагрузки эпюра M k и может быть использована при опреде­ лении числителя выражения (5.11) с помощью зависимости (а). Подставив значения (а) в (5.11), получим

линии, интегралы, стоящие в числителе, могут быть вычислены по правилу Верещагина.

102

Аналитическое выражение формы изгиба X k (x), которое необ­ ходимо для вычисления знаменателя, может быть найдено также с помощью выражения (а) для M k путем его двукратного интегри­ рования:

Постоянные Ci и C2 найдутся из граничных условий по концам стержней.

Рассмотрим определение частоты колебаний для рамы.

Пример 9. Определить частоту первого тона симметричных колебаний П-об- разной бесшарнирной рамы (рис. 43). Будем считать, что форма изгиба при симметричных колебаниях совпадает с эпю­ рой прогибов от действия нагрузки, равномерно распределенной по ригелю ра­ мы. Расчет будем выполнять в следую­ щей последовательности: сначала произве­ дем статический расчет рамы на равномер­ ную нагрузку по ригелю, затем раздельно вычислим числитель и знаменатель выра­ жения (5.12), после этого определим частоту колебаний.

бающих моментов от статического действия нагрузки, равномерно распределен­

103

При интегрировании по ригелю правило Верещагина неприменимо, так как

Суммируя полученные результаты, будем иметь в числителе

104

Далее используем выражение (в):

Поскольку при расчете рам изменением длин стержней обычно пренебрегают, то концы ригеля, опирающиеся на стойки, в вертикальном направлении переме­

105-

Производим интегрирование по стойке:

ИЛИ

РV т

Точное значение низшей частоты для этой же рамы, рассматриваемой как система с бесконечно большим числом степеней свободы, следующее:

,л _ 12,65 - і / Ш

Р\ т

Таким образом, приближенное решение дает ошибку в 4,6% в сторону за­ вышения.

§22, Энергетический метод определения частот колебаний арок

иколец

1. Особенности работы криволинейных элементов. Зависимость между перемещениями и изгибающим моментом

При изучении поперечных колебаний прямых стержней пред­ полагалось, что движения их точек происходят только перпендику­ лярно оси и не сопровождаются ее растяжением или сжатием. В криволинейных стержнях дело обстоит иначе. В силу изогнутости оси перемещения смежных точек по нормали к оси обязательно должны сопровождаться ее растяжением или сжатием (рис. 46,а). Если же кривой стержень испытывает деформацию чистого изгиба, при котором длина оси не меняется, то смежные его точки не могут получать смещения строго по нормали к его оси. Они обяза­ тельно должны иметь составляющие смещения и в тангенциаль­ ном направлении (рис. 46,6).

106

В силу отмеченных особенностей ясно, что зависимости между перемещениями точек кривого стержня и его деформациями, а сле­ довательно и действующими в нем усилиями, будут существенно иными, чем в прямых стержнях. С установления этих зависимостей и надо начать. Ими мы будем пользоваться при исследовании колебаний криволинейных элементов.

а )

mi 'T”J

/

'V

Арочные, кольцевые и другие криволинейные конструкции, применяемые в строительстве, как правило, имеют радиус кри­ визны R, значительно превышающий их толщину h, т. е. являются

стержнями малой кривизны ^ -^ -> 5^.Э то позволяет считать, что

напряжения по их толщине меняются по линейному закону, а нейтральная ось совпадает с центральной.

и

Положение точки на оси кривого стержня принято характери­ зовать криволинейной координатой s или координатным углом Ѳ. Отсчет s и Ѳ можно вести от любой заранее выбранной начальной точки. Четко должно быть оговорено и положительное направле­ ние их отсчета.

В арочных конструкциях (рис. 47) отсчет s и Ѳусловимся вести от левой опоры по направлению к правой. В этом случае положи­ тельный угол Ѳбудет отсчитываться по часовой стрелке.

107

Перемещения и удлинение оси стержня

В качестве компонентов смещения точек стержня удобно при­ нять смещение и по касательной к его оси и прогибы ш по нормали к ней. Смещение и будем считать положительным, если оно про1 исходит в сторону возрастания координаты s или угла Ѳ, а про­ гибы w положительными, если они происходят к центру кривизны.

Рис. 48

ним отдельно связь этого удлинения с тангенциальными смеще­ ниями и прогибами W.

Возьмем произвольный элемент ds (рис. 48, а). Допустим, что он сместился только по оси s и его концевые точки переместились соответственно на и и u + du. Неодинаковое их смещение указы­ вает, что элемент ds получил удлинение на величину du. Разде­ лив du на первоначальный размер ds, получим относительное удли­ нение оси стержня, связанное с тангенциальными смещениями и,

Теперь допустим, что тот же элемент сместился к центру кри­ визны (рис. 48,6). Сперва предположим, что это смещение про­ изошло равномерно, что по обоим его концам возникли одинако­ вые прогибы ш и элемент из положения тп перешел в положе­ ние пі\П\. Ясно, что такое перемещение также связано с измене­

108

Знак минус указывает, что при положительных прогибах w, направленных к центру кривизны, происходит укорочение элемента. Если прогибы будут неравномерными, то перемещения точек бесконечно малого элемента ds могут отличаться на бесконечно малую величину dw, показанную на рис. 48, б отрезком п хп'. Свя­ занное с этим перемещением дополнительное удлинение элемен­ та ds является величиной высшего порядка малости и в рассмат­ риваемой нами линейной теории не учитывается. Поэтому и при неравномерных прогибах w связь между ними и удлинением оси выражается зависимостью (б).

Как правило, перемещения в кривом стержне имеют обе состав­ ляющие и и ш, поэтому удлинение его оси выражается суммой за­ висимостей (а) и (б):

du w

(5.13)

l s ~ ~ R -

Поворот касательной

Неравномерность прогибов, о которой говорилось выше, сопро­ вождается поворотом касательной т к оси стержня на некоторый

Рис. 49

ны W; а осью абсцисс служилось s. Поэтому указанную производ-

109