Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
6.71 Mб
Скачать

Аналогично по формуле (5.3) определится максимальное зна­ чение потенциальной энергии:

 

 

=

I El d 2X ( x )

dx.

 

 

 

 

 

 

d x 2

 

 

 

 

Подставим значения

Rc,

Ѵітх и Umax в уравнение

(5.7),

пере­

несем члены, содержащие А2,

в левую часть

и сократим

на А.

Тогда

 

 

I

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

А [El d2X{x)

dx р 2 т (х) X 2(х) dx +

тхХ 2 (а)

--QX (а).

d x2

 

 

 

 

 

 

 

 

Вынесем в левой части множитель при р2 за

фигурные скобки:

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

А [ j т (х) X 2(х) dx + тхХ 2 (а) ] X

 

 

 

/•»

d2X ( X )

dx

 

 

 

 

 

J

El

 

 

 

 

 

 

dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

Г

 

QX(a).

 

j" m (x) X 2(x) dx + mxX 2 (а)

Заметим, что первое слагаемое в фигурных скобках является квадратом частоты свободных колебаний балки ы2 [см. форму­ лу (5.4)]. В результате из последнего выражения получаем сле­ дующую формулу для определения амплитудного коэффициента А:

А = Q ----------------- ^ ----------------. (5.8)

ш2 — р 2

J т (х) X 2(х) d x -f- тхХ 2 (а)

Зная коэффициенты А, можно определить ускорение в любой точке балки с координатой х:

-

^ = — А Х (х )р 2sin pt.

Величина ускорения при sinpt—i будет

шах

д2У(х, t) А Х (х) р 2.

 

дР.

Тогда наибольшие значения распределенных и сосредоточенных

сил инерции соответственно будут равны:

 

шах і (х) =

т (х) шах Ö

^

Am (х) X ( х ) р 2; (5.9)

,, \

<?2j/(x,

t)

 

шах J (а) = — тхmaxdt*

—-

А т хХ (а) р 2. (5.10)

100

Таким образом, при расчете балки, на которую действует вибрационная нагрузка, определение максимальных усилий необ­ ходимо производить от постоянной распределенной нагруз­ ки q = m(x)g, постоянной сосредоточенной силы P = m{g, макси­ мального значения распределенных и сосредоточенных сил инер­ ции, выражаемых формулами (5.9) и (5.10) и амплитудного зна­ чения возмущающей силы.

Пример 8 . Требуется определить максимальный изгибающий момент в про­ стой балке от действия вибрационной нагрузки, вызываемой двигателем. Двига­ тель установлен посередине балки. Масса балки не учитывается.

Дано: вес

двигателя Р = 6

тс,

амплитудное значение возмущающей силы

Q= l,5 тс, угловая скорость вращения ротора двигателя

р = 35

1/се/с. пролет бал­

ки 1 = 6 м, сечение балки — два двутавра № 36; 2/ = 26 760 сл4.

19):

Определяем частоту свободных колебаний балки

(см. п. 4 §

 

со2 =

48Ш = 48-2 -107-26760-981 =

і д 4 5

_ 1 _ .

 

 

 

mg3

 

6-216

 

сек2

 

 

» =

|/ Ш 5 =

44,2 — .

 

 

 

 

 

'

 

сек

 

 

 

Определяем значение амплитудного коэффициента А по формуле (5.8). В ка-

 

 

 

 

TZX

 

 

 

честве подходящей функции принимаем X (x)=sin — .Предварительно вычисляем

I Г\

%1

 

1

 

 

 

X (а) = X I ~2 ~I — sin j2

= 1. Тогда

 

 

 

 

 

А = .

1,5

-M L = 3,4-10- 3

м.

 

 

 

1945—1225’

 

 

 

По формуле (5.10) получаем максимальное значение сосредоточенной силы инерции:

шах У (в) = 3,4-ІО“ 3-

-1225-1 = 2,54 тс.

9,81

Находим суммарное значение сосредоточенных сил, действующих на сере­ дину балки:

Р + Q + шах У (я) = 6 + 1,5 + 2,54 = 10,4 тс. Определяем максимальный изгибающий момент:

-ЛТшах = + Q + max У (а)]

= *в-4~6 = 15,6 тс-м.

§ 21. Энергетический метод определения частот колебаний рам

Полученная в § 18 формула для определения частоты попереч­ ных колебаний стержней энергетическим методом применима также для определения частот рам. В этом случае интегралы, стоя­ щие в числителе и знаменателе формулы (5.5), необходимо рас­ пространить на все стержни рамы, т. е. взять сумму интегралов, охватывающих все стержни рамы:

пlk

 

 

Eh

& Х М

dx

о k=

 

d x 2

 

 

 

(5.11)

0+ =

------

 

 

 

і ] j

mk (jc) X \ (x) dx

k=\ 0

Здесь k — номер стержня рамы, ага — количество стержней.

101

Заметим, что

 

 

d*Xk ( x ) _

Mk

 

d x 2 “

EIk

w

где M k — изгибающий момент по &-тому стержню, определенный для принятой формы изгиба рамы.

б)

Форму изгиба рамы необходимо выбрать таким образом, чтобы она соответствовала общему характеру деформации рамы при ко­ лебаниях и чтобы удовлетворялись граничные условия. Удобнее всего форму изгиба получить от действия какой-либо простой ста­ тической нагрузки, вызывающей деформацию рамы, сходную с предполагаемой формой колебаний. Например, при симметрич­ ных колебаниях П-образной рамы можно принять, что форма из­ гиба каждого стержня рамы будет определяться уравнением изо­ гнутой оси этого стержня от действия сплошной нагрузки, равно­ мерно распределенной по ее ригелю (рис. 42, а), а при обратно симметричных колебаниях — как от нагрузки, распределенной по стойкам рамы (рис. 42,6). Построенная от той или иной подходя­ щей нагрузки эпюра M k и может быть использована при опреде­ лении числителя выражения (5.11) с помощью зависимости (а). Подставив значения (а) в (5.11), получим

ш

й = 1

О

(5.12)

2

л lk

 

 

 

Yi \ mk (X) Х \ (х) dx

 

 

k=\ о

 

 

На тех стержнях, где

эпюра

M k меняется по закону

прямой

линии, интегралы, стоящие в числителе, могут быть вычислены по правилу Верещагина.

102

Аналитическое выражение формы изгиба X k (x), которое необ­ ходимо для вычисления знаменателя, может быть найдено также с помощью выражения (а) для M k путем его двукратного интегри­ рования:

d X k (x)

Мь

 

dx

JEI, d x + Cp,

(6)

X k (x) =

1 CMk dx dx “I“ C^x -{-■C2

(в)

 

.\ Eh

 

Постоянные Ci и C2 найдутся из граничных условий по концам стержней.

Рассмотрим определение частоты колебаний для рамы.

Пример 9. Определить частоту первого тона симметричных колебаний П-об- разной бесшарнирной рамы (рис. 43). Будем считать, что форма изгиба при симметричных колебаниях совпадает с эпю­ рой прогибов от действия нагрузки, равномерно распределенной по ригелю ра­ мы. Расчет будем выполнять в следую­ щей последовательности: сначала произве­ дем статический расчет рамы на равномер­ ную нагрузку по ригелю, затем раздельно вычислим числитель и знаменатель выра­ жения (5.12), после этого определим частоту колебаний.

П о с т р о е н и е

э п ю р ы

М.

Для

ра­

 

 

 

счета применим метод перемещений,

На

 

 

 

рис. 44 показаны эпюры изгибающих мо-

 

 

 

ментов в нулевом и единичных состояниях.

 

 

 

Составляем каноническое уравнение ме­

 

 

 

тода перемещений:

 

 

 

 

 

 

 

гіХ і + Еір = 0.

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты

канонического

уравнения

определяем

из равновесия

узлов

рамы в элементарных состояниях:

 

 

 

 

 

Гц = 6/; Я1Р 1

 

 

 

12 '

 

 

Из канонического уравнения

находим неизвестное перемещение — угол по­

ворота одного из жестких узлов

рамы в действительном состоянии:

 

 

 

71

 

гп

72і

 

 

Далее методом

наложения

по формуле М = М р -f-ZiAfi

строим эпюру

изги­

бающих моментов от статического действия нагрузки, равномерно распределен­

ной по ригелю (рис. 45).

 

 

 

В ы ч и с л е н и е ч и с л и т е л я ф о р м у л ы . (5.12).

Интегрирование по

стойке производим по правилу Верещагина:

 

 

I

 

l_

MACdx _

1 J_ W_2_ Я ± _ ± .о Е

EIА С

E I ' 2 18 \ 3 *18 3 ‘36

36

' El

103

При интегрировании по ригелю правило Верещагина неприменимо, так как

эпюра M CD криволинейна. Аналитическое выражение эпюры изгибающих

момен­

тов по ригелю следующее:

 

 

 

 

 

 

qlx _qx2

_ ql- {__

, X

x 2\

 

M CD — — 18 +

~~2~ ~9

9~l

+ T

Wj

(Г)

Отсюда

 

 

 

 

 

 

^CD

d x = t t _

1

X _ X2

dx =

<y2/5

 

EI,CD

AEI

 

 

 

40-81 ~Ë7

 

Суммируя полученные результаты, будем иметь в числителе

зh

= 2

ql2 \ 2

/

7

qHb

1 ?2/s

36 j

' E l +

40-81

' ~ËI =

270 '~ Е І

А=1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В ы ч и с л е н и е

 

з н а м е н а т е л я

ф о р м у л ы (5.12).

Предварительно

найдем аналитическое выражение изогнутых осей стоекХ АС (х) и ригеляX CD (х)

Изгибающий момент по стойке определяется следующей зависимостью:

 

ЛГ

_ Л

 

3

ql2

X

qp

 

 

АС -

36

 

2 " І 8 " Т

==36'

 

Подставим МАС в выражение (б):

 

 

 

 

(■*)

 

MАС

dx + Ct =

 

Jü L U i - 3

dx + Q =

dx

 

EI

 

 

 

 

 

36£/ J

 

 

I

АС

 

 

 

 

 

 

 

 

36E l

[x

2

/ / + °i-

 

Так как в основании стойки жесткое защемление, то постоянную С, найдем

из условия: при х=0

d * A С ( х

- =0. В результате получим,

что Сі=0.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

104

Далее используем выражение (в):

 

 

 

 

dXAQ (х)

dx + C2 -

3 6 £ /J Iх ~ 2 ■ I \ dx + t 9. -

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

qP jX2

x 3\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ~ 36E l [ 2 ~ 2l j + c *

 

 

 

 

Постоянную C2 также найдем из условия неподвижности нижнего конца

стойки:

х=0

Х д С (х) =0 и,

следовательно,

С2 = 0.

 

 

 

 

 

Таким образом, уравнение изогнутой оси стойки

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q l2

I

д:3\

 

 

(Д)

 

 

 

 

 

ХАС (х) = — 72£j (*2 — т ) •

 

 

 

Аналогично, на основании (г) находим

 

 

 

 

 

 

 

 

d X CD (Х )

AT,

 

-Di =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

со dx +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= .f £7со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ / ,

 

i - + — — — ) dx + Dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

9

/

P

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2 qP

I

_1

Jp

x * \

Di~

 

 

 

 

 

 

 

 

' 2EI

 

9 * + 21

'3/2

) +

 

 

 

 

 

 

 

Так как в среднем сечении ригеля угол

 

 

 

 

 

поворота касательной к оси ригеля

равен

 

 

 

 

 

нулю,

то постоянную

Di найдем

из

условия

 

 

 

 

 

X —

/

d X CD (■ *)

Л

Отсюда

следует, что

 

 

 

 

 

2

------------- = 0.

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D - 12Е1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

45

 

 

Подставив это значение в формулу для d X CD (х )

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

d x CD (х )

 

qP

'Зб'

X ,

X2 _ X 3

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

2EI

~9 '

2/

3/2

 

 

 

Интегрируем это выражение еще раз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JL

JL **

п —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 36 — ТГ + 2І ~ ЗР j dx + - =

 

 

 

 

 

дР

 

Іх

X2

X 3

X4

+ D2.

 

 

 

 

 

 

 

2EI

 

36

18

6 /

]2 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку при расчете рам изменением длин стержней обычно пренебрегают, то концы ригеля, опирающиеся на стойки, в вертикальном направлении переме­

щений иметь не будут. Поэтому постоянную

D2 найдем из условия при

х=0

X CD (х)=0. Отсюда следует £>2 = 0.

 

 

 

 

Таким образом, уравнение изогнутой оси ригеля имеет вид

 

 

дР

Іх

X 2 X3

X i

(e)

X CD (■ *) '

— ] 2і 7

6"

' " 3 + Т

2/2

Получив аналитические

выражения

для

упругих

линий стоек (д) и риге­

ля (е), вычислим интегралы,

входящие

в знаменатель

формулы (5.12).

 

105-

Производим интегрирование по стойке:

 

J т Х \ с (х) dx = m

 

J ^

-

у )

 

rfA: =

/

ql2

P

 

 

 

 

 

m (j 2£ /

J • 105

 

Затем интегрируем по ригелю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

/

<7/2 V

I

 

 

 

лз

3*Л

 

/ Op \2

 

J

0

Р /

 

 

 

 

1 9

 

dx = m I

)

0

7*:

 

2 x2 + 6

^

 

) dx — те I 7 2 7 ? /I

' 2 1 0 ^0,

m^CD W

1 (

 

/ 2

 

Суммируя результаты расчета по обеим стойкам и ригелю, получаем значе­

ние знаменателя формулы (5.12):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

h

 

1

ql2

у

 

! 2

19 \

23

 

I qP \

 

 

 

 

C

 

 

 

2

 

 

S J тЪХ к №

d x =

т1а [7 2 E I)

 

(105 +

2 1 oj =

2 1 0

тѴ>\ 12 Е ІJ

'

 

 

k=l

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е

ч а с т о т ы

к о л е б а н и й .

Подставляя

полученные зна­

чения числителя и знаменателя в формулу

(5.12),

приходим к следующим выра­

жениям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ql5/23

r /

qP

\2

 

64-63

ЕІ

 

 

 

 

 

" 2 “ 2 7 0 '£ / 210m/o

 

72£7/

=

23

'

тР

 

 

 

ИЛИ

РV т

Точное значение низшей частоты для этой же рамы, рассматриваемой как система с бесконечно большим числом степеней свободы, следующее:

,л _ 12,65 - і / Ш

Р\ т

Таким образом, приближенное решение дает ошибку в 4,6% в сторону за­ вышения.

§22, Энергетический метод определения частот колебаний арок

иколец

1. Особенности работы криволинейных элементов. Зависимость между перемещениями и изгибающим моментом

При изучении поперечных колебаний прямых стержней пред­ полагалось, что движения их точек происходят только перпендику­ лярно оси и не сопровождаются ее растяжением или сжатием. В криволинейных стержнях дело обстоит иначе. В силу изогнутости оси перемещения смежных точек по нормали к оси обязательно должны сопровождаться ее растяжением или сжатием (рис. 46,а). Если же кривой стержень испытывает деформацию чистого изгиба, при котором длина оси не меняется, то смежные его точки не могут получать смещения строго по нормали к его оси. Они обяза­ тельно должны иметь составляющие смещения и в тангенциаль­ ном направлении (рис. 46,6).

106

В силу отмеченных особенностей ясно, что зависимости между перемещениями точек кривого стержня и его деформациями, а сле­ довательно и действующими в нем усилиями, будут существенно иными, чем в прямых стержнях. С установления этих зависимостей и надо начать. Ими мы будем пользоваться при исследовании колебаний криволинейных элементов.

а )

mi 'T”J

Э л е м е н т __ Д

/

п олучи л сж а т и е ^

/

/

'V

Арочные, кольцевые и другие криволинейные конструкции, применяемые в строительстве, как правило, имеют радиус кри­ визны R, значительно превышающий их толщину h, т. е. являются

стержнями малой кривизны ^ -^ -> 5^.Э то позволяет считать, что

напряжения по их толщине меняются по линейному закону, а нейтральная ось совпадает с центральной.

и

Положение точки на оси кривого стержня принято характери­ зовать криволинейной координатой s или координатным углом Ѳ. Отсчет s и Ѳ можно вести от любой заранее выбранной начальной точки. Четко должно быть оговорено и положительное направле­ ние их отсчета.

В арочных конструкциях (рис. 47) отсчет s и Ѳусловимся вести от левой опоры по направлению к правой. В этом случае положи­ тельный угол Ѳбудет отсчитываться по часовой стрелке.

107

Перемещения и удлинение оси стержня

В качестве компонентов смещения точек стержня удобно при­ нять смещение и по касательной к его оси и прогибы ш по нормали к ней. Смещение и будем считать положительным, если оно про1 исходит в сторону возрастания координаты s или угла Ѳ, а про­ гибы w положительными, если они происходят к центру кривизны.

Рис. 48

В закрепленном элементе

указанные перемещения связаны

с определенными удлинениями

(или укорочениями) его оси. Выяс­

ним отдельно связь этого удлинения с тангенциальными смеще­ ниями и прогибами W.

Возьмем произвольный элемент ds (рис. 48, а). Допустим, что он сместился только по оси s и его концевые точки переместились соответственно на и и u + du. Неодинаковое их смещение указы­ вает, что элемент ds получил удлинение на величину du. Разде­ лив du на первоначальный размер ds, получим относительное удли­ нение оси стержня, связанное с тангенциальными смещениями и,

du

. .

 

(а)

Теперь допустим, что тот же элемент сместился к центру кри­ визны (рис. 48,6). Сперва предположим, что это смещение про­ изошло равномерно, что по обоим его концам возникли одинако­ вые прогибы ш и элемент из положения тп перешел в положе­ ние пі\П\. Ясно, что такое перемещение также связано с измене­

нием

его длины.

Первоначальная длина

элемента

состав­

ляла

ds = mn. = Pd9, а после перемещения dsl = m lti\ = (Rw)dd.

Относительное удлинение, связанное с прогибами

w, выразится

зависимостью

 

 

 

 

( 6)

 

dsxds

(R w) rfO — R dB

w

 

 

C,'W

ds

Rdb

R

108

Знак минус указывает, что при положительных прогибах w, направленных к центру кривизны, происходит укорочение элемента. Если прогибы будут неравномерными, то перемещения точек бесконечно малого элемента ds могут отличаться на бесконечно малую величину dw, показанную на рис. 48, б отрезком п хп'. Свя­ занное с этим перемещением дополнительное удлинение элемен­ та ds является величиной высшего порядка малости и в рассмат­ риваемой нами линейной теории не учитывается. Поэтому и при неравномерных прогибах w связь между ними и удлинением оси выражается зависимостью (б).

Как правило, перемещения в кривом стержне имеют обе состав­ ляющие и и ш, поэтому удлинение его оси выражается суммой за­ висимостей (а) и (б):

du w

(5.13)

l s ~ ~ R -

Поворот касательной

Неравномерность прогибов, о которой говорилось выше, сопро­ вождается поворотом касательной т к оси стержня на некоторый

угол

6W (рис. 49, а).

В прямых стержнях такой поворот выра­

жался

производной

жу

В кривых стержнях прогибы обозначе-

dx

Рис. 49

ны W; а осью абсцисс служилось s. Поэтому указанную производ-

'ную от прогибов по абсциссе надо писать в форме

и тогда

dw

( в )

ds

 

109

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ