книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

Идея замены истинной формы колебаний балки подходящей функцией, удовлетворяющей граничным условиям, принадлежит английскому физику Рэлею (1842—1919), и поэтому в технической литературе этот метод называется методом Рэлея. Иногда удобно в качестве подходящей функции использовать линию изгиба балки от статического действия заданной нагрузки.

балки, если удастся подобрать подходящую функцию для соответ­ ствующей формы колебаний. Энергетический метод применим не только к стержням, но и к любым другим упругим системам.

Энергетический метод, как и другие приближенные методы, как правило, используется для приближенного определения часто­ ты основного тона колебаний. Зная частоту основного тона коле­ баний, можно вычислить максимальные значения сил инерции (распределенных и сосредоточенных) как произведение массы на максимальное значение ускорения, взятое с обратным знаком.

Выражение для ускорения точки оси балки с координатой х имеет вид

д2У(х, t)

— А Х (X) (a2 sin {at + f).

dt*

При sin(oi/-bT) = 1 получим максимальное значение ускорения:

Тогда максимальные значения сил инерции будут:

— распределенные

$2V

шах i (х) = — т (л:) max —

— сосредоточенные

max J (ak) = — mk max ^ У

Определив максимальные значения сил инерции, можно про­ извести расчет балки на совместное действие сил инерции и ста­ тических нагрузок.

Знание частоты основного тона свободных колебаний балок важно также при расчете вынужденных колебаний (особенно при действии вибрационных нагрузок), так как позволяет установить частоту возмущающей силы, при которой возникнет резонанс.

§ 19. Вычисление частот свободных колебаний для однопролетных балок при различных опорных закреплениях

/. Простая балка

Определим частоту свободных колебаний балки длиной I, с по­ стоянной жесткостью ЕІ и равномерно распределенной массой m

90

по первой главной форме. Упругая линия в этом случае должна быть представлена уравнением кривой, пересекающей ось абсцисс только в точках опирания балки. Рассмотрим два варианта зада­ ния такой кривой: ^

—с помощью тригонометрических функций,

—с помощью степенной зависимости.

1-й в а р и а н т . Примем, что упругая линия представляет собой полуволну синусоиды, т. е. примем в качестве подходящей функ­

балки. Это естественно, потому что в качестве подходящей функ­ ции взято уравнение первой формы колебаний простой балки

(см. § 16).

Кроме того, замечаем, что при определении частоты постоянный коэффициент С, входящий в выражение для Х(х), сокращается. Поэтому в дальнейшем при выборе подходящих функций Х(х) коэффициент С будем полагать равным единице.

2-й в а р и а н т . Примем, что упругая линия при колебании балки представляет собой ее изогнутую ось от статического дей­ ствия равномерно распределенной нагрузки. Из курса сопротивле­ ния материалов известно, что в этом случае уравнение прогиба балки имеет вид

Опустив постоянный множитель, представим уравнение стоячей

91

Эта функция, описывающая с точностью до постоянного множителя изогнутую ось балки при действии конкретного типа нагрузки, удовлетворяет граничным условиям.

Вычислим интегралы, входящие в формулу (5.5):

немного более 0,1% в сторону завышения истинной частоты, как это и отмечалось в предыдущем параграфе.

2. Балка с защемленными концами

Определим низшую частоту свободных поперечных колебаний однопролетной балки с защемленными концами длиной /, постоян­ ной жесткостью ЕІ и с равномерно распределенной массой т.

Рис. 38

Первая главная форма колебаний балки должна быть пред­ ставлена в виде плавной кривой, пересекающей ось абсцисс в точ­ ках опирания. У опорных сечений касательная к этой кривой долж­ на быть горизонтальной (рис. 38). Представим форму стоячей

92

волны в этом случае с помощью’ тригонометрической функции, т. е. в виде косинусоиды, имеющей длину волны, равную пролету балки, и отсчитываемой по оси ординат от линии у= 1. Уравнение косинусоиды будет иметь вид

у ( Х ) — 1 = — COS —J- .

Тогда подходящая функция для уравнения стоячей волны запи­ шется следующим „образом:

Х ( х ) = у(х ) = \ - c o s —

Из рисунка видно, что заданная таким образом «подходящая» функция граничным условиям (отсутствию прогибов и углов по­ ворота сечений на опорах, т. е. при х = 0 и х — 1) удовлетворяет. Убедимся в этом. Вычислим первую производную по х:

На левом конце балки при х = 0 имеем

На правом конце балки при х = 1

Таким образом, принятая функция X{х) граничным условиям удовлетворяет.

Вычислим интегралы, входящие в формулу (5.5):

Тогда по формуле (5.5) получим

93

Ранее было получено точное значение частоты колебаний пер-

Погрешность составляет 1,8% в сторону завышения от истинного значения частоты.

3. Консоль

Определим низшую частоту свободных поперечных колебаний консоли. Консоль имеет длину /, постоянную жесткость ЕІ и рав­ номерно распределенную массу т.

Первая форма колебаний консоли должна быть представлена

94

На левом конце балки при л;= 0 имеем

На правом конце балки при х = 1 имеем

Следовательно, принятая функция удовлетворяет не всем усло­ виям: на правом конце балки поперечная сила не равна нулю. Тем не менее воспользуемся этой функцией для приближенного опре­ деления частоты. Вычислим для этого интегралы, входящие в фор­ мулу (5.5):

Ранее было определено точное значение частоты первого тона колебаний консоли:

3,515 f m

W~ /2 V т ‘

Погрешность составляет только 4,1%, хотя функция Х( х ) и не полностью удовлетворяет граничным условиям.

4. Простая балка с распределенной и сосредоточенной массами

граничным условиям удовлетворяет.

95

Рассмотрим частные случаи, а) Сосредоточенная масса от­

сутствует (т ! = 0). Получаем точ­

ное значение частоты колебаний основного тона шарнирно опертой балки:

-f § L

>V т ■

б) Масса балки значительно меньше сосредоточенной массы (да/ <£ От]), и ею можно пренебречь. В этом случае прини­ маем т = 0. В результате получаем

, 48J E I да,/3

Для сравнения найдем точное значение квадрата частоты по формуле (2.8):

9 6

Здесь би — прогиб балки в месте расположения массы от дей­ ствия единичной силы, приложенной в этой точке (рис. 40). Он определяется по формуле перемещений Мора с применением пра­ вила Верещагина:

5.«Подходящие» функции для однопролетных балок

сразличными опорными закреплениями

Ниже, в таблице, приведены некоторые подходящие функции для однопролетных балок с различными опорными закреплениями:

Пр и м е ч а н и е . В приведенных выражениях постоянные множители опу­ щены.

§ 20. Энергетический метод исследования вынужденных колебаний стержней при действии вибрационной нагрузки

Рассмотрим вынужденные колебания балки переменной жест­ кости, несущей распределенную массу т(х) и сосредоточенную массу ти расположенную в точке с координатой х = а. В этой же точке на балку действует периодическая возмущающая сила P(t) =Q sin pt. Закрепление концов балки может быть любым. Для

определенности на рис. 41 показана простая бал­ ка.

Будем изучать устано­ вившиеся колебания энер­ гетическим методом. При­ меним к рассматривае­ мому случаю закон кине­ тической энергии, извест­ ный из курса теоретиче­ ской механики:

і^іі — V\ = £/?. (5.6)

Напомним формулировку закона: изменение кинетической энергии системы равно сумме работ задаваемых сил, приложенных к точкам системы.

Левая часть уравнения (5.6) содержит изменение кинети­ ческой энергии. Как было установлено ранее (см. § 18), в положе­ нии II (рис. 41) Ѵи =0, а в положении I V) = V . Следова­ тельно,

Ѵц — Ѵі = 0 — Нтах = — Нтах.

В правой части уравнения записана работа всех задаваемых сил, которые могут быть разделены на внутренние и внешние. Ра­

Ri = — ( ^max— 0) = — f/max.

Работа внешних сил равна работе возмущающей силы при дви­ жении балки из положения I в положение //; обозначим ее Re. В результате закон кинетической энергии в рассматриваемом слу­ чае принимает вид

Уравнение (5.7) говорит о том, что в потенциальную энергию изгиба балки 7/шах при максимальном ее отклонении от положе­

98

ния равновесия перейдет вся кинетическая энергия Ѵтах и работа возмущающей силы R e.

Определим работу возмущающей силы при перемещении балки из своего среднего положения к крайнему. Это перемещение опре­

т. е. окончательно

R' = ^ A Q X { a ) .

Максимальное значение кинетической энергии определится так же, как и при свободных колебаниях. Необходимо только в фор­ муле (5.2) частоту свободных колебаний и заменить частотой вы­ нужденных колебаний р:

I