книги из ГПНТБ / Магалинский, В. Б. Методы статистической теории равновесных состояний

р и ч а с я и к

а ф ф е к т

непроницаемости, одинако­

вый для воех зарядов, то эффект кулоновских

сшх удобнее

представлять

и описывать

как

с л у ч а й н о е

элек­

тростатическое

м и к р о н о л е , порождаемое распре­

делением плотности з а р я д а . .

Т а к о е

р а з д е л ь н о е

описание этих

эф­

фектов удобно .осуществить с

помощью

б о л ь ш о г о

к

а н о а іт ч

е с к о г о

а н с а м б л я

(гл Л , §6)

в

представлении

ч и с е л

з а п о л н е н и я .

Для эторо

с

самого начала

разобьем весь объем V ,

Перенумеруем ячейки так,, что номер ( индекс) ячейки

S представляет

координаты ее

центра

Х ^

Обозначим через П

. шоло зарядов G ,

находящихся в ячей

S

- öS

Q

, или п а р ц и а л ь н о е

ч и с л о з а п о л ­

н е н и я .

Микровоетояние системы

определяется совокуп­

ностью всех

чисел заполнения { H a s }

. Тогда

Z n

a

, Z_üf\l

a

= N

(5,3)

a s

a

ионов ; L -

- соответственно парциальное и полное число

= N » ./1 4 -

концентрация компоненты

(X

. 0Из условия

нейтральности системы в

целом

> 1 Ѳ N

-

0 .

(5.4)

o '

a

a

измеренный

едини-

Введем еще з а р я д

я ч е й к и ,

цах элементарного заряда,,

Р

=•%“

г

11

(5.5)

и полное число

j S

Р -

a.

п ‘.

заполнения

Р

Здесь J \ f - полное

число ячеек ; в дальнейшем je'-* .

Через

Q ~ l

обозначена матрица,

о б р а т н а я

мат­

рице

взаимодействия

С

::

^Е77С '

VС. с К ,с / = Sс ^ . .

(5 .14)

S "

s s

S " S '

SS'

После подстановки (5 .13) в (5 .II), получим

■f 05

0>

exр[-р. )+Л0Су)jn у -

(5 .1 5 )

где

s, y

s ( j s . ,

(Ъ .Іб)

TjLj

= С/Qrif1■(riei lIC jl)

П

(5.17)

e

x p [ A

o c y

) J =

(5 .18)

(5.19)

Я a s = e * P W

i v

< - е '

а

• С6-20)

Согласно (Ь.В)

\ / ( п )

зависит

только от

полных чи­

<__I

1 (ң) =^L.exp[-aVfnl+2IX п

]П (п

І),'(6Л9')

о

{nsS

s

s .

где

A s ( y ) = & i q ;

(5.20 й)

Сумма Z . 0 ( ^ ) есть статистическая сумма

т в е

р ­

д ы х

с ф е р ,

находящихся под действием внешнего поля

U

= - T Â s f y ) .

(5 .2 0 )

твердые сферы реагируют на

s

При этом согласно

в н е ш н е е

электрическое

поле, как

з а р я д ы ,

но

между собой в з а и м о д е й с т в у ю т

только, как

т в е р д ы е с ф е р ы .

В этом смысле можно сказать, что

С1^ ) есть

ста­

тистическая сумма заряженных твердых сфер,

помещенных в

дополнительное электрическое поле с чисто

м н и м ы м

потенциалом

=іи .

ф "

(5.22 )

T S

J S

Таким образом, преобразование (5 .1 2 )

позволило

выде­

лить кулоновское взаимодействие и описать

его, как

с л у

ч а й н о е

в н е ш н е е

п о л е ,

действующее на куло­

новские

не взаимодействующие

между собой

протяженные за­

ряды.. Преобразование (5 .1 2 )

в

теорию кулоновских: систем '

впервые

ввел

Э д в а р д с..

Теперь от дискретны/, ячеек перейдем

к к о н т и -

н у у му . Для это^о размеры

ячеек

следует

устремить к

нулю,

а интегральные суммы заменить интегралами по объе­

му. В

результате очетно-мерный

интеграл (5.15) перейдет

в так

называемый к о н т и н у

а л ь н ы й интеграл.

При этом

следует

понимать как пре

дел (5 .17) , причем нормирующий множитель

перед

произве­

дением дифференциалов является термодинамически

не суще­

ственной константой.

Выясним предельный

смысл обратной матрицы взаимодей-

Таким образом,

С ' - линейный

оператор для функции Гри­

на

С •

’Зсли,

согласно (5 .1 )

„ ( b . 2 ) Q ( z ) = 0

/"Z , то

как

ИР'вастяп.

°где

Д _ ,

-

оператор Лапласа.

°

Условие

(5 .1 4 ) , как интегральную свертку,

удобно

представить

с помощью преобразования Фурье

Можно сказать' поэтому, что

в представлении Фурье ма­

трица взаимодействия становится диагональной.

Если С ( ъ )

= е*/г

, то сГк - Ане /к

что

согласно (5 .2 5 )

снова

приводит к

(5.23) .

Подставляя (5.23)

в

(5 .1 6 ),заменял суммы по

S

ин

тегралами по объему и используя теорему Гаусса

с учетом

того, что

на границе

поле Lj ( z )

исчезает,

получим

(5 Л 6 ')

что представляет энергию электростатического поля.

Таким образом,

в

(5 .1 5 )

поле IJ (~Е) распределено

ка­

нонически, по Гиббсу, с плотностью вероятности

ЫІЧ (г)} = ехр{Л уyij ГО]%ІѴ}.

(5.26.)

Поэтому^результат (5 .15)

с

учетом

(5 .18)

, (5 .19')

можно представить

в виде

' Т

'

=

/

"А1,

(и ) \

у 1

(5.І51)

1

\

с

о VJ

/

где

- статистическая сумма,электрически

не

взаи­

модействующих заряженных твердых сфер во внешнем элек­

трическом

поле lL j( r )( c p ,

(5.22))

или во

внешнем сило­

вом поле U ( т ) = ~ТА ( £ )(ср .

(б.20")„

(5.20') ;

(5.20))

,

Усреднение ведется

по

с л у ч а й н о м у

электричес­

кому нолю

LJ ( £ )

с

весом

(5.26.),.

суммы в. виде континуального интеграла

(5 .1 5 ) .

Мы рассмотрим два приближения -

п р и б л и ж е ­

н и е с л а б о г о

в з а и м о д е й с т в и я и

в следующем параграфе - к в а э и х и м и ѵ е о к о е

п р и б л и ж е н и е , ■

В приближении

слабого взаимодействия поле Lj (z.) ,

19-896

№

н ы й

р я д М а к л а р е н а

но степеням IJ ( ъ )

. Оог-

ласно

§4 из гл.Ш коэффициентами этого разложения

будут

м н о г о т о ч е ч н ы е

к о р р е л я т о р ы

с и с ­

т е м ы т в е р д ы х

с ф е р ,

для которых А üfij) явля­

ется

п р о и з в о д

я

т

# ( ф у н к ц и о н а л о м .

Эти коррелятерц;

в

свою очередь, могут Оыть представ­

лены . в . и р и а л ь н н м

р а з л о ж е н и е м (гл . ІИ»

функциональной

переменной интегрирования 17 ('Z) использо­

вать ее фурьекомпоненты.

На этом основан

так называемый

м е т о д

к о л л е ­

к т и в н ы х п е р е м е н н ы х ( Б о м , П а й н е ,

З у О а р е . в

и другие ) .

Вычислим в приближении слабого взаимодействия двух­

частичную радиальную

функцию распределения для двухком-

понентной системы

т о ч е ч н ы х

ионов,.

Из §2,. гл.Ш

мы

знаем,

что д в у х ч а с т и ч н а я

ф у н к ц и я ^

( і )

"ронорциинальна статистической

сум­

ме, вычисленной при-наличии

в н е ш н е г о

н о л я ,

образованного двумя ионами,

фиксированными в точках

Z ,

нальности определяется из условия-

о с л а б л е н и я

к о р р е л я ц и й

' г

. IZ -* 00

(5.26-0

Это означает, что

потенциал такого

поля [умноженный на

величину

элементарного

заряда

Б?');

Lp' , входящий в

( 5 .7 )

и (5 .20)

, равен

^

е I С S>

Г

^2 .

S2.

(5.27)

и.

Для даухкомпонентной системы ионов (плазмы)6 = t

в силу условия

нейтральности (5.Н) N ^ - N_ -

N

/ 2 ,

+( с

заряженных ионов равны : L1, -

|t|_

-

^Іі

. Тогда

из (5.20)

я (5.20’)

-

1 +

ß ll'

9 s

=

2

е

"

X X

p f 'P s '

-'

L y s Q ,

( 6 ’2e)

где

*2 =

- а

к т

и

в

н

о

с т

ь

(см.

(.1.48)) .

Так как ионы предполагаются

т о ч е ч н ы м и ,

то

в (5 .1 9 ')

Ѵ (П )

= О

и

из

(5 .1 9 '),

(5 .2 0 "),

(5.18)

и

(5 .2 8 )

(при

11^ = 0 )

следует

Л 0 Ы

=

! ■ № ' + a J s '0 .fe .2 9 )

ü

(b,29)

и в интеграле

(5.15)

сделаем замену пе­

ременной интегрирования согласно

IJs — Х^Т і (((/. Б случае

слабого взаимодействия

мало,

и

(5 .29) можно разло­

жить в рад по степеням

„ ограничиваясь малыми, до вто­

рого

порядка включительно. Коли к тому же учесть

(5.27),

(5..І6)

и (5 .1 4 )

,

то

из

(5.15)

получим

ехр

г

Е С

-

L

ß E

S

l f ~ ) cJX„ ( 5 . 3 0 )

X Xi' - I ь ■sJ &

*’

где

SS'

SS'

s

*

c .S'

c s v

h .

:

(5.31)

c

Ss,

-I-

e

- J .

^

Ü

4

Sr t ~ ^ , ° S I ■| .

U S2

Очевидно,

-

шлотность заряда двух

фиксированных

источников.

Б формуле (б;30)

опущен множитель,

не зависящий от

координат

^

р , -

он определится впоследствии из ус­

ловия ослабления корреляций (5 .2 6 ').

Интеграл (5.30) -

г а у с с о в с к и й

и выяв­

ляется с

помощь© (5 .1з)

,

где

следует

заменить С

на

С

,

О

на

(5S

. В результате,

учитывая (5.32)

,

получим

S

(г) = ехр[--|}е1егССг)].

Се.зз)

F

i / t f ,

равен

T U

'T ъ =

= \ \i 1 , - Т

’

( 5 , 3 6 ' )

ßX

VНIIQ

величина

7

D

навивается

д е б а е в с к и м

р

а д и -

у с о м.

Удельная конфигурационная энергия вычисляется по фор­

муле ,аналогичной

оо

(4 , £Ч)

'•

и =-(і/2 )^ (еѴ

г)9

(г )/ 'Т х 2с/г...

Сб.зэ)

Подставляя

сюда

о

ѵр ( z ) из

(5.38) „ (5.36.0 ,

получим

и (Т,гг) = - е~/Я.гD - - eâѴтГ/і/тхг,

(suo)

т .е . формулу

(4 5 S')

. Зная энергию, можно найти все

остальшіе

термодинамические функции. В частности,

по тео­

реме вяриала для однородного

потенциала(см.формулу

(1.40'))

Ряг = Т

+

I

U .

(1.40")

г

Рассмотренное

приближение называется д е

б а

е в ­

с к и м приближением в

теории плазмы. Условие

его

приме­

нимости есть малость средней энергии взаимодействия по.

сравнению с

тепловой

энергией,, т .е ,.

=рг

<"< I .

(5*41)

С помощью (5.36/) и

(5.40)

нетрудно

проверить, чт#

(5 .4 1 )

эквивалентно

^

'

•y'/â-j-

«

)

'•

N D-

“ гг

<^< і

(5.41)