книги из ГПНТБ / Магалинский, В. Б. Методы статистической теории равновесных состояний

f * . T > , q , k T \ -

(4.52)

В остальном конкретный вид функции I

( Т ) может быть

установлен более подробным анализом псевдопотенциала ;

здесь для нас он не

существен. .

При расчете с

помощью статистической

суммы (или рав­

все

термодинамические, функции определяются обычным обра­

зом,. т.е.. согласно

( і ,І 8 )

, ( і . І 4 / -

І . і б ') ,

(ІДЭУ

из

§2,

гл Д . Остается в

сила и формула (З.ІЗ),поскольку

оп­

ределение. _Р

не

содержит производных DO

Т

►Одиако.

формула ( З . Л ')

уже

н е

с п р а в е д л и в а ,

так

как

псевдопотенциал

зависит

от

"1

„ а

определение

(l.I & ')

содержит производную до

Т

.

Выберем за

единицу длины радиус

квантовых, корреля­

ций

і

( Т )

,

а

за

единицу энергии-величину

Т ( Т ) =

= в 2/

1ГТ)

; согласно (4.52)1= Хопри. Т SS

О, Ц І

0.

Все величины, измеренные в

этих единицах (приведеішые ве­

личины) будем отмечать штрихом,

_

/

Тогда в новых переменных, температуры

I

- Т

/ Л

( Т )

и длины

' z '

~ ~L / Ь

(Т ) эффективное. взаимодействие сог­

ласно (4.50-) не

зависит

от

температуры, и конфигурацион­

д а в я о г

о в §, І„ гл.ІУ,-

. (

.

Введем

новую функцию состояния

W ( L , Г

) ,

При

в ы с о к и х , температурах, и

фиксированной

плотности

квантовые эффекты вообще малы

и псевдоэнергия

му-виду и определениям (З .ІЗ )

„ (4J53) и (4.54)

из тео­

ремы вириала Клауіуса сл езет

W

= б

f

f

§6,

(4.57)

(сравните с формулой

(1 .40') из

гл Л ) .

Тогда из

(4,56)

-г м

1 I п

u

--

1W//2'

rtje')

т .е . псевдоэнергия равна удельной конфигурационной

энергии,

отнесенной к эффективному потенциалу ионизации I ( Т ) . Под­

ставляя в (4.57) для

U

его высокотемпературное

д е ­

б а е в с к о е

значение

1/2.3

_ 1/2

L I- - 7 T

е

(Тяг)

(4.5 8 )

и используя из (4 ^5 2 )1 = 0

/ X , получаем простое соотно­

IV

= Ѣ

с о £

/ т ,

сор = e W I f A i r ,

(4>&а0

где СОр ~ 0\[9 - /{U V

- п л а з

м е

и н а я ( л э н

г м ю-

р о в с к а я ) ч а с т о т а ,

■Дня того,

чтобы воспользоваться для описания рассмат­

риваемой квантовой плазмы методом оптимального

оды. 'парамет­

рического

моделирования,

необходимо выбрать подходящую од­

нопэра метрическую моделирующую систему ( М.С.),

т .е ,

систе­

му,

удовлетворяющую требование

I -

3, изложенным в

§ 2

этой

главы,.

В качестве такой

системы (М.С„)

выберем

д

е б а е в ­

с к у ю

п л а з м у ,

і . е , классическую систему

точечные

зарядов. Кулоновское взаимодействие в такой системе под­

чиняется

степенному закону ( і.3 9 ) с

Ж = - | ,

и, поэтому.,

в

силу упоминавшейся в

гл Л , § 5

т е о р е м ы

К л е й -

to

а

М.С. имеет только од н у

термодияамичеокую степень

свободы,

т .е ,

является

о д н о

п а р а м е т р а ч е с -

к

о

й.

При этом,

очевидно,, требования I и 2 из §2 выполнены.

В

отношении требования 3,

т .е , условия т е р м

о ­

д и н а м и ч е с к о й у с т о й ч и в о с т и

примем

вместе

с К р а м е р с о м ,

Б е р л и н о м

и Мо

а-

ного

параметра

СХ

, меньших некоторого критического зна­

чения

CX Q ,

такая

система устойчива и может быть описа­

на известными формулами дебаевской • теории, а при

V Q

Лия дебаевской М.С.. в приведенных переменных соглас­

но

(4 ,5 5 )

_

і

^ і

tV

(Li) ä(j(V) - в

'/irrCzfrUw,

где

Ъ'р

-

Z j ,

f t

-• приведенная длина дебаевской

экранировки.

В дальнейшем расчет

термодинамических функций рассма­

триваемой квантовой плазмы осуществляется по правилам,

из­

ложенным в

§ 2 этой главы.

R

Сначала представим

Q (~С')

из

(4 .5 9 ) в переменных

=ъ' /Li

= ~ c / L -

и

б" согласно

(4.17):.

*

,2 - 1 R

(4.17а)

q ( V ) = T e - ' " / A u R - Гт (R О.

,

откуда

следует,

что

безразмерная величина

J =■ L /

"£ rj =■

=. L, / Z D ( плазменный параметр ) должна быть представлена

в

виде функции конфигурационной

энтропии

б -

Для дебаевской плазмы эта зависимость легко находит­

ся

из

ее термодинамических функций и имеет

простой вид

3

( 0

■=

-

( 2

4 т т б ) |/ а .

(4 .60)

Мз (4.54)

(4 .59)

,

(4.17а)

находим общую формулу

для расчета псевдоэнергии

IV

,

причем W

автоматически

оказывается термодинамическим потенциалом в переменных

U , <э

. Эта формула имеет

вид

W ( U , e )

= ЛеО^ФО-'РОе

RdR. U -и )

После этою

приведенные

значения давления и темпе­

ратуры вычисляются по формулам (4 .2 0 ),

(4.21)

раздела 3„

где

вместо U

следует

взять

W

..

_

Остается

задать

псевдодотенциап

Ф

( і О

и вычислить

интеграл ( 4 .S I)

. В частности,

аппроксимируя псевдопо­

тенциал

ф о р м у л о й

К р а м е р с а

фСх'ЬОгО'Ті-ехрС-г')

(4.50)

легко

найти

— •-ф, W ( / - W ) = S

p ' u ' / r '

- р и / т

(4.621

и вычислить основные термодинамические функции.

Если подставить

(4.5 0 )

,

(4 .6 0 )

в (^1.60

и вычис­

лить

интеграл,

то

получим

IV ( L ' ,

O') . Затем из формулы

( V 2-1)

можно найти

зависимость

конфигурационной

энтро­

пии от приведенных переменных

L \

Т / ,

т.е»

функцию

б 'С

^ . т О .

(^/-6 2 )t

подучим калоричес­

Подставляя эту функцию в

кое

уравнение

состояния.

Этому уравнению можно придать следующий вид:.

£

р р / т

=

X -

( ' K

V

Z

A T T ) ,

№ 6 3 )

г ю

x = ( u y 5 - w f V v

И -6 '*

X = w / O - w ) = (2

+ ( W l /

где У =

I / 2 T

' -

Х Г П / 2 Т .

Для расчета

энергии

согласно (А, 5 6 ) , а также для

пере- .

хода к переменным Т

, 1Г

требуются дополнительные

све­

дения

относительно зависимости радиуса квантовых корре­

ляций

I от температуры Т

(см.формулы (4.50) ,

(4.52)),

С помощью формул

(4 .6 3 )

и

(4 .6 5 )

нетрудно

рассчи­

тать изотермы сильно неидеальной квантовой плазмы..

•Оказывается, что при достаточно низких температурах

ати

изотермы имеют характерный

п е р е г и б

,

наличие,

которого указывает на возможность фазового перехода пер­

вого

рода,

т.е»

на возможность расслоения на две

фазы с

различной

рлотностью.'

Г р а н и ц а , у с т о й ч и в о с т и

по отноше­

нию к такому'расслоению определяется обычным условием,,

которое

имеет

вид

/л

ч

=

О .

,,

. ,

( Ѵ Р . / а х У

(4.66)

а

Согласно

(4 .6 3 )

и

( 4 .6 5 )

, условие потери

ус-

тойчивости,

( 4 .6 6 )

приводит

к уравнению

( ^

-

8 ' j -

U ) V lJ

=

( в ^ ) Т Х

+

і ) 2 / 2 і Г Х .

(4.67)

Это уравнение на плоскости переменных X , 'j

опре­

1

деляет

кривую

Lj = cj ( (X ) ,

которая

при Х = ХС=

( 6 4 іт)

имеет

м а к с и м у м .

Это

к р и т и ч е с к а я

т о ч к а п о о т н о ш е н и ю к в о з м о ж н о ­

м у

р а с с л о е н и ю с и с т е м ы з а р я д о в

н а

д в е

ф а

з ы. Из (4.67) получаются следующие

зна- <

челнл

п р а в

а д

е я н ы ”

параметров

плазмы в кри­

тической

точке::

4 c = 2 ( 3

+ 2 V ë ) lf c ^

- 2

W

/ 3

l o(c - l6 T r V ^ .

(4.68)

Здесь Ы = >с

/ X

-

п л а з м е н н ы й

ааа р а -

м е т р .

Согласно

определению осмотического коэффициента

~f

.

полное давление

равно

.(«•«)

Р

= PU, (I +f) .

Таким образом, в критической точке полное давление, сог­

ласно

(4

6 в )

и

( 4. 6 9 ) (составляет

лишь около

от

его. газокинетического

значения

Так

как

из

(4.68)

i j c

=

J

/ 2

Тс. »

1

,

то„

соглас­

но

(4 .5 2 )

,

Т

<■<

Ц

и в

критической

точке.

•Поэтому кулоновская энергия системы в целом всегда

о т-

р и ц а т е л ь н а и а д д и т и в н а . .

'

Во-вторых, к л а с с и ч е с к а я система

точеч­

нородная функция относительных координат,

и поэтому по

т е о р е м е

К л е й н а

(см .гл Л ,

§5 и гл .ІУ ) все

за-

виоит от п л а з м е н н о г о

п а

р а

м е і

р а е п

/Т.

Последование проблемы устойчивости классической то­

чечной плазмы проводилось

К р а м е р , с о м ,

а также

Б е р л и н о м

и М о н т р ,

о л а і о м

и другими авто- х

Однако, если вырождение

несущественно, то квантовые

эффекты могут быть учтены в

п р и б л и ж е н и и

п с

е в д о п о т е н ц и а л а (подробнее см.гл.ІУ,, §4),

что

позволяет использовать методы классической

статистики.

В этом приближении кулоновский псевдопотенциал

видоизменя­

ляется приближение

н е п р о н и ц а е м ы х

и о н о в , ,

которое особенно широко используется в теории сильных

электролитов.

В этом приближении кулоновская система рассматривает­

ся как

совокупность

зарядов

= £aG (6 -элементарный за­

ряд.

€ а -

с т е п е н ь и о н и з а ц и и

а т о —

и а), взаимодействие между которыми описывается псевдопо­

тенциалом

оо , z < a

Ф„(г) =

еаб6е /г ,г> а„.

(5 .1 )

L

0 , 0 вдеоь

Радиус двухчастичных квантовых корреляций

выступает как

д и а м е т р

иона, которой, вообще говоря*

растворителя (если таковой имеется) считается

постоянной,

которая положена равной единице.

Таким образом,

эффективное взаимодействие. (5 .1)

мож­

но представить как

с у п е р п о з и ц и ю

непроницае­

мости ионов и их кулоновского взаимодействия согласно

Ф , (і)

= ß( Ъ ) + £

è g С f a )

, (5 .2 )

n , . ab

w

г

г

/

где D C Z ) описывает, непроницаемость иона,

а

- б /

с ,

а заряд иона сорта "а" равен Ѳ д =

. Если короткодей­

ствующие силы отталкивания проявляются как

г

ѳ о м е т -