Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
7.08 Mб
Скачать

изменение-на единицу сравнительно мало изменяет лороговый сигнал, ів то время, как вероятность ложной тре­ воги меняется существенно. Поэтому при 10 порого­ вый сигнал можно 'рассчитывать, используя гауссово приближение.

Если Nr >> 1, то пороговый сигнал при типичных зна­ чениях ß намного меньше N,.. При этом уравнение ха­ рактеристик обнаружения -имеет вид

 

М=уТ71[Ф-1(1

- ^ ) - г - Ф - 1 ( 1 -p)J.

(2.2.6)

Условия

применимости

этого приближения

выполняют­

ся, как

будет показано далее, в пассивной локации,

а также при достаточно больших длительностях сигна­

ла в активной

локации.

 

 

 

 

Если в (2.2.1) N^> 1,'то распределение можно рассмат­

ривать как квазинепрерывное, так как

 

п+і—рп\<£.1-

Вводя новую переменную

x = n/N и устремляя N к оо,

получаем

 

 

 

 

 

 

р(х) =

(х/(х) ( '" - 1 ) / 2 / т _ , (2Ѵ^)

е-А"->\

(2.2.7)

•где

\.i = M/,N.

Полученное

выражение

представляет со­

бой

плотность

вероятностей нецентрального

^ р а с п р е ­

деления [29]. При (.1 = 0 оно превращается

в

центральное

Х2 -распределение с 2 т степенями свободы

(или, как его

еще называют, гамма-распределение с m степенями свободы)

 

 

р{х)

=*m -1 e-*/(/n— 1)!,

 

 

(2.2.8)

интегральный

закон

распределения

которого

имеет вид

 

 

F = p(x^x0)=T(m,

Xo)/T(m),

 

 

(2.2.9)

и протабулирован (с пятью

знаками

после

нуля)

в [29].

При расчете вероятности ложной тревоги F<£.\ можно

воспользоваться формулой

 

 

 

 

 

F

 

1 J _ V ('" ') ••• ("I v) _

х о

е

 

F -

1)1

+

 

^

)

(/и—1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.2.10)

Суммой в скобках (2.2.10), как нетрудно видеть, можно пренебречь, если хо/(m—1)3>1. Получаемое выражение совпадает по виду с (2.2.5), однако воспользоваться данными табл. 2.1 нельзя — нас интересуют теперь ббль-

70

шие корни того же трансцендентного уравнения. Резуль­ таты расчета приведены в табл. 2.2, где указаны значе­ ния хо, соответствующие различным F и т.

В последней графе таблицы указаны значения хо, по­ лученные из нормального приближения для (2.2.8) с теми же средним значением (т) и дисперсией (т).

Т А Б Л И Ц А 2.2

х0

F

т = 1

ш=2

»1=3

»1=4

»1=5

»1=6

»1=8

»1=10

»1=15

т = 1 5

 

10-я

4,6

6,7

8,4

10.0

11,5

13,0

16,0

18,8

25,4

23,9

ю-*

6,9

9,2

П,2

13,1

14,8

16,5

19.5

22,6

29,4

27,0

9,2

11,6

13,9

15.9

17,7

19,5

23,0

26,0

33,9

29,3

іо-=

11.5

14,0

16,5

18,5

20,3

22,1

25,5

29,0

37,0

31.8

ю-»

13,8

16,6

19,2

21,1

23,0

25,0

28,8

32,4

40,2

33,4

ю-»

18,4

21,5

24,0

26,3

28,7

31,8

34,6

38,5

-17,1

37,0

10-ю

23

26,6

29,0

31,7

33,9

36,2

40,4

44,3

53,8

40,3

При F ^ I O - 4 ошибка установления порога при

ис­

пользовании

гауссова

приближения

весьма

велика

(на

три порядка

при F=\0~8).

Заметим,

что для

правильно­

го установления порога необходимо учитывать число

ячеек m, а не только суммарный уровень фонового

излу­

чения. Для

иллюстрации в табл. 2.3 приведены отноше­

ния порог/фон — Хо/т при разных m и F.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т А Б Л И Ц А 2.3

 

 

 

 

 

Хв/іП

 

 

 

 

F

»1=1

ш=2

»1=3

»1=4

ш = 5

»і=б

»1=8

пі=10

т = 1 5

Ю - 3

6,9

4,6

3,7

3,3

3,0

2,75

2,4

2,2

2,0

ю - 6

13,8

8,3

6,4

5,3

4,6

4 . 2

3,6

3,2

2,6

При расчете вероятности пропуска для распределе­ ния (2.2.7) (ц,#0) можно воспользоваться аппроксима­

цией его с помощью центрального

^-распределения,

предложенной

Э. Пирсоном {29]. Аргументы

х'о и т!

в аппроксимирующей формуле

типа

(2.2.9)

определя­

ются следующими

выражениями:

 

 

 

,

_

д +

2р.

/

Y

т

, _ о ( и

+ 2к-)-

л »

~

т +

Зр

\^ло~Г т + 3р

у

т

— ^ ( о т + 3 ( х ) 2 '

71

При | л » 1 + ( т — I ) 2 можно воспользоваться

асимптоти­

ческим выражением для функции Бесселя

в (2.2.7).

Тогда

 

?жФ(Ѵ2Г0-Ѵ2£).

(2.2.11)

Для обычно рассматриваемых значений ß условием

применимости

(2.2.11)

при

расчете

порогового

ц. явля­

ется выполнение неравенства

Хо^>т2.

 

 

 

Из табл. 2.3 видно, что при F=lQre,

например,

фор­

мула (2.2.11)

справедлива

 

вплоть

до

т = 4н-5.

При

т > 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Р~Ут[ф-1'(1

-

f

) - f ф - і ( 1

_ р ) ] .

(2.2.12)

Вернемся к распределению (2.2.1) и рассмотрим промежуточный случай, когда условия перехода к тгуассоновскому и нецентральному ^-распределениям не вы­ полнены. При отсутствии сигнала (М = 0) (2.2.1) при­ обретает вид так называемого отрицательно-биномиаль­ ного распределения [29, 30]:

 

+ п 1 \

/V"

/п о

i о\

 

Рп={

Z - 1

 

( 2 " 2 Л З )

Вероятность

превышения порога

(п^по)

для этого

рас­

пределения

(в данном случае эта вероятность есть

ве­

роятность ложной тревоги) можно представить следую­ щим образом:

оо

F = {m-i)W

+ N)m% <й

+ 1) -

('* +

m + 1) ( г т л г )

" =

 

 

п=п0

 

 

 

 

 

(от — 1)! (1 +N)m

dg™-'

1—1

 

 

 

= ( г ^ П

ш—1

 

 

 

 

 

( " , + Г ' ) ^

(2.2.14)

 

 

 

ѵ=0

 

 

 

 

Зависимость /го(Л''), рассчитанная по (2.2.14)

при

F =

= 10- 5 , приведена на рис. 2.2. Сравнение значений

tio/N

для Л^= 10 со значениями

лго из табл. 2.2 свидетельствует

о высокой

точности %2 -приближения. Уже при л 0 > 3

за­

висимость tio(N)

почти не отличается

от линейной. Срав­

нение значений

n^—mN

при N = 0,1

с данными

табл. 2.1

указывает

на удовлетворительное совпадение пуассонов-

72

ского 'Приближения с результатами

точного расчета при

т > 8 - 1 0 .

 

малых F вы­

Как видно из рис. 2.2, яри достаточно

полняется неравенство iio/N^m.

При

этом условии

можно оставить в сумме в (2.2.14) последний член и

получить приближенную

формулу

 

р^.

N

К

+ ' ) • • •

(и. + лі — 1) .

 

(1 + yv)«b+m -1

 

{m-

1)!

которая

переходит в

(2.2.10)

отброшенной суммой)

при / г 0 > т и УѴ2>/г0/2.

200

Рис. 2.2. Зависимость по­ рога, соответствующего вероятности ложной тре­ воги F=IQ-5, от средне­ го числа шумовых кван­ тов для отрицательно-би­ номиального распределе­

ния с m степенями свободы.

10 N

При наличии полезного сигнала упростить сущест­ венно распределение (2.2.1) для промежуточного слу­ чая не удается. На рис. 2.3 приведены вычисленные по

(2.2.1) зависимости ß(M)

( ß — вероятность пропуска)

при -N=l, -F=10- 3 для ряда

значений т. Сравнение этих

зависимостей с результатами расчета по приближенной формуле (2.2.11) при т = 1 , 2 показывает их удовлетво­

рительное

совпадение,

несмотря

на то, что эта формула

получена

для случая

N^>1. При больших m (2.2.11)

дает

завышенный результат

(почти ів два раза

при

m = 20), что связано, по-видимому, с. нарушением

усло­

вия

Хо~^>тг.

 

 

 

Перейдем теперь к рассмотрению флюктуирующих сигналов. Соответствующие законы распределения мож­ но получить, усредняя рассмотренные распределения по флюктуациям. В соответствии с принятой здесь мо­ делью сигнала среднее число квантов M считаем рас-

73

пределенным

экспоненциально.

Отдельно

рассмотрим

случаи дружных и независимых

флюктуации сигналов

в ячейках.

 

 

 

Для случая дружных флюктуации, усредняя (2.1.30)

при Nj=iN,

\>І=\ по M, получаем характеристическую

 

 

 

 

un=20

 

 

 

 

Рис. 2.3. Зависимость ве­

 

 

роятности

пропуска ß от

 

 

среднего

числа квантов

 

 

сигнала M для квантово­

го аналога нецентрально­ го ^-распределения

( Т = 1 0 - 3 , N=1).

О

10 20

30

W

50 M

функцию и соответствующее ей распределение для чис­ ла зарегистрованных квантов в виде

Ф(ч) =

=

-

=

, (2.2.16)

Уп

(, _|_yV)m-i

(1 +

N + М)"+ , / Ч

 

Л 2 Д

' " - 2 /

(I +

/V)(М+М)\ '

К*-*.")

где M — среднее значение числа сигнальных квантов. Среднее значение и дисперсия для распределения (2.2.17) выражаются формулами

п = mN -)- yî?,

а* = UTF2 -J- j/j? ( 1 + 2N) -f- /яЛ^ ( 1 - f N).

Вероятность превышения порога для такого распре­ деления простыми преобразованиями приводим к виду

74

 

П=І10

 

(2.2.18)

где Fm-i(N,

По)—вероятность ложной тревоги при том

же пороге щ и числе ячеек m—1. Эта вероятность опре­

деляется,

как

и

ранее, формулой

(2.2.14).

Очевидно,

FM-\<FM

= F

и,

если ß > / " , Fm-i в

(2.2.18)

можно пре­

небречь.

 

 

 

 

 

Для дальнейшего упрощения формулы (2.2.18) за­ метим, что сумма в (2.2.17) имеет вид интегрального закона отрицательно-биномиального распределения. Ис­ пользуя это сходство, определяем

 

-F(^(1+N

+ №), « „ + l ) ] .

(2.2.19)

При

ÏÏJ^>\-\-N, что

является необходимым

условием

для обеспечения достаточно малых 'вероятностей про­ пуска, вероятность F в скобках последнего выражения можно отбросить. В результате получаем

Если выполняются

условия 2 [LÏ7/(yV-f-l)]2>/î0,

 

2(\Äf[N)2^

> m — 1 ,

то

уравнение (2.2.20) легко

разрешить

отно­

сительно

Щ:

 

 

 

 

 

 

 

 

я , —(/к 1) ІѴ _ , /г0 (от 1) N

/ 9 о 9 п

 

J l i

~

In CI Р)

Р

'

V-Z-Zl>

Подчеркнем, что приближенная формула (2.2.20) справедлива как для зесьма низкого уровня фонового •излучения, при котором распределение для числа фоно­ вых квантов можно считать пуассоновским, так и для высокого уровня фонового излучения, при котором это распределение превращается в гамма-распределение. В последнем случае формула (2.2.20) переходит в свой «классический» аналог [31]:

1 - р » (1 + 1 / ^ - 1 е -*о/о+^) #

(2.2.22)

75

0.1 0,2

0.5

Ю 20

50 а

Рис. 2.4. Зависимость ß(rt<«0 ) от параметра отрицательно-бино­ миального распределения а при числе степеней свободы т—1:

— аппроксимация Г-распределсшіем.

 

 

 

 

 

!

 

 

0.8

VS.

 

 

 

т-2

 

 

 

ч \\\ \ \

 

 

 

 

 

0,5

 

 

 

 

 

\

\

—\U VЛ5ѴѴ\1o\j5\20

 

 

 

 

 

Ofi

\

j

 

 

 

 

 

 

1 ч

\

 

\

\

 

 

 

 

 

 

 

\

\

 

\

\

 

0.2

 

\

 

 

К

\

 

 

\ ч

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

0$

ч

s

 

 

 

o.i 0,-г

w

10

20

50 а

 

Рис. 2.5. Зависимость

$ ( « < Я о )

от а

при

т=2:

•аппроксимация

Г-распределением; — • — • — аппроксимация распре­

 

 

 

делением Пуассона.

 

 

76

Заметим, что полученные результаты остаются спра­ ведливыми и для случая, когда в одном приемном кана­ ле суммируется когерентно несколько статистически не­ зависимых составляющих сигнала. Такое когерентное суммирование может происходить, например, при интер­ ференции сигналов двух близко расположенных целей,

сигналы

которых

флюктуируют

независимо,

если эти

цели

не

разрешаются приемным

устройством. В

этом

случас

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

где Mj — средние

числа

квантов

в суммируемых

сигна­

лах,

К] — коэффициенты

корреляции этих

сигналов

с опорным сигналом рассматриваемого приемного ка­ нала.

Теперь рассмотрим случай независимых флюктуации сигналов в ячейках. В этом случае, усредняя (2.1.30) при

Nj=-N, Y J = 1 по Mj, которые считаем

распределенными

одинаково, приходим, как и следовало

ожидать, к харак­

теристической функции отрицательно-биномиального рас­ пределения, которое уже рассматривалось [см. (2.2.13)].

При наличии сигнала заменяем N в (2.2.13) на

а=Мі+

где Мі=Мо/іп — среднее число квантов

сигнала,

приходящихся на одну ячейку.

 

Зависимости вероятности ß недостижения порога п0 (вероятности пропуска) от а = М і + УѴ при различных значениях щ для ряда значений числа ячеек т, полу­ ченные численным расчетом, приведены на рис. 2.4—2.7. Для некоторых п0 (достаточно больших) там же для сравнения приведены аналогичные кривые для гаммараспределения, а для больших значений m и малых зна­ чений порога (по<т) —кривые для пуассоновского рас­ пределения. Сравнение кривых позволяет судить о каче­ стве каждого -из этих 'приближений. Из 'рисунков видно, что в окрестности а = 1 при малых ß ни одно из указан­ ных приближений не может считаться удовлетворитель­ ным. При m > 1 для этой области значений а можно воспользоваться гауссовым приближением. Отрицатель­ но-биномиальное распределение приближается в этой области к гауссову, минуя пуассоновское и гамма-рас­ пределения.

Приведем среднее значение и дисперсию, а также ко­ эффициенты асимметрии ( Y I ) и эксцесса (-ys) для отри-

77

цательпо-б'шюмиального распределения:

и = та, а2 == та. ( 1 4- а), 71

,

 

1 +

3rt + 2rt=

 

 

/ т я

(1 + « ) ^ '

l b — 1 / —

(2.2.23)

 

 

 

у 2 = -

1

1 4 - 7 д + 12fl2-r-Grt3

ш

 

( 1 + я ) 2

 

0,1

0,2

0,5

1,0

 

 

 

 

 

Рис. 2.6. Зависимость ß(/i<n0 ) от а при /п = 5:

 

• — аппроксимация

Г-распределеннем;

—• — • — аппроксимация

распре­

 

 

 

 

делением

Пуассона.

 

 

0,8ß

N у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m-10

 

 

 

N>

\

 

 

 

0,6

 

X

 

\\\

 

 

 

 

 

W

\ V

 

 

 

 

 

10

\s\

 

0,2

 

 

 

\V

\\

V \\

 

О*

 

 

 

 

V 1 \

\\\ 1\

\

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

0,01 0,02 0fi5

0,1 0,2

0,5

1 2

S 10a

 

 

Рис. 2.7. Зависимость ${n<n0)

іот a при m=10:

 

— аппроксимация

Г-распределением;

— • — — аппроксимация

распре­

 

 

 

 

делением

Пуассона.

 

 

78

При а<СІ yi, Y2 стремятся

к нулю с ростом т,

как

\jYта

и 1/ma,

a при а ~ 1

-и т > 1 — как

\/Ѵ~гпи

lfm

соответственно.

 

 

 

 

 

 

На

рис. 2 . 8 зависимости, аналогичные

приведенным

на предыдущих

рисунках,

сравниваются

с гауссовым

приближением при

т=20.

 

 

 

 

Как

видно 'из ( 2 . 2 . 2 3 ) , с ростом m флюктуации

сгла­

живаются: Гі2/юп2^00

при m—>-оо.

Поэтому _при больших

m минимальный

обнаруживаемый

•сигнал M становится

ю а

малым по сравнению с фоном niN. При этом уравнение характеристик обнаружения в гауссовом приближении имеет вид

1 Л 7 = - | / т Л ф - I - / V)

[ Ф - 1 (1 - /?)+;Ф ~»(1 — ß ) ] .

(2 . 2 . 24 )

При /Ѵ<СІ эта формула совпадает с ( 2 . 2 . 6 ) ,

полученной

для ігтуассоновского

приближения. При N^l

она пере­

ходит ів классическую формулу для отношения M/N.

Согласно ( 2 . 2 . 2 4 )

пороговая энергия сигнала M рас­

тет с ростом числа ячеек как У т. Однако такой рост получается для флюктуирующего сигнала только при больших т.

Как видно из рис. 2 . 9, в случае слабого шума (аѴ—>-0) пороговый сигнал монотонно убывает с ростом m тем заметнее, чем меньше ß. Это убывание объясняется тем, что относительные флюктуации суммарного сигнала уменьшаются с ростом т. При увеличении m скорость убывания уменьшается.

79

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ