
книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)
.pdfизменение-на единицу сравнительно мало изменяет лороговый сигнал, ів то время, как вероятность ложной тре воги меняется существенно. Поэтому при 10 порого вый сигнал можно 'рассчитывать, используя гауссово приближение.
Если Nr >> 1, то пороговый сигнал при типичных зна чениях ß намного меньше N,.. При этом уравнение ха рактеристик обнаружения -имеет вид
|
М=уТ71[Ф-1(1 |
- ^ ) - г - Ф - 1 ( 1 -p)J. |
(2.2.6) |
Условия |
применимости |
этого приближения |
выполняют |
ся, как |
будет показано далее, в пассивной локации, |
а также при достаточно больших длительностях сигна
ла в активной |
локации. |
|
|
|
|
|
Если в (2.2.1) N^> 1,'то распределение можно рассмат |
||||||
ривать как квазинепрерывное, так как |
|
\рп+і—рп\<£.1- |
||||
Вводя новую переменную |
x = n/N и устремляя N к оо, |
|||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
р(х) = |
(х/(х) ( '" - 1 ) / 2 / т _ , (2Ѵ^) |
е-А"->\ |
(2.2.7) |
||
•где |
\.i = M/,N. |
Полученное |
выражение |
представляет со |
||
бой |
плотность |
вероятностей нецентрального |
^ р а с п р е |
|||
деления [29]. При (.1 = 0 оно превращается |
в |
центральное |
||||
Х2 -распределение с 2 т степенями свободы |
(или, как его |
еще называют, гамма-распределение с m степенями свободы)
|
|
р{х) |
=*m -1 e-*/(/n— 1)!, |
|
|
(2.2.8) |
||
интегральный |
закон |
распределения |
которого |
имеет вид |
||||
|
|
F = p(x^x0)=T(m, |
Xo)/T(m), |
|
|
(2.2.9) |
||
и протабулирован (с пятью |
знаками |
после |
нуля) |
в [29]. |
||||
При расчете вероятности ложной тревоги F<£.\ можно |
||||||||
воспользоваться формулой |
|
|
|
|
|
|||
F — |
|
1 J _ V ('" — ') ••• ("I —v) _ |
х о |
е |
|
|||
F - |
1)1 |
+ |
|
^ |
) |
(/и—1)! |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2.10) |
Суммой в скобках (2.2.10), как нетрудно видеть, можно пренебречь, если хо/(m—1)3>1. Получаемое выражение совпадает по виду с (2.2.5), однако воспользоваться данными табл. 2.1 нельзя — нас интересуют теперь ббль-
70
шие корни того же трансцендентного уравнения. Резуль таты расчета приведены в табл. 2.2, где указаны значе ния хо, соответствующие различным F и т.
В последней графе таблицы указаны значения хо, по лученные из нормального приближения для (2.2.8) с теми же средним значением (т) и дисперсией (т).
Т А Б Л И Ц А 2.2
х0
F |
т = 1 |
ш=2 |
»1=3 |
»1=4 |
»1=5 |
»1=6 |
»1=8 |
»1=10 |
»1=15 |
т = 1 5 |
|
||||||||||
10-я |
4,6 |
6,7 |
8,4 |
10.0 |
11,5 |
13,0 |
16,0 |
18,8 |
25,4 |
23,9 |
ю-* |
6,9 |
9,2 |
П,2 |
13,1 |
14,8 |
16,5 |
19.5 |
22,6 |
29,4 |
27,0 |
9,2 |
11,6 |
13,9 |
15.9 |
17,7 |
19,5 |
23,0 |
26,0 |
33,9 |
29,3 |
|
іо-= |
11.5 |
14,0 |
16,5 |
18,5 |
20,3 |
22,1 |
25,5 |
29,0 |
37,0 |
31.8 |
ю-» |
13,8 |
16,6 |
19,2 |
21,1 |
23,0 |
25,0 |
28,8 |
32,4 |
40,2 |
33,4 |
ю-» |
18,4 |
21,5 |
24,0 |
26,3 |
28,7 |
31,8 |
34,6 |
38,5 |
-17,1 |
37,0 |
10-ю |
23 |
26,6 |
29,0 |
31,7 |
33,9 |
36,2 |
40,4 |
44,3 |
53,8 |
40,3 |
При F ^ I O - 4 ошибка установления порога при |
ис |
||||
пользовании |
гауссова |
приближения |
весьма |
велика |
(на |
три порядка |
при F=\0~8). |
Заметим, |
что для |
правильно |
го установления порога необходимо учитывать число
ячеек m, а не только суммарный уровень фонового |
излу |
||||||||
чения. Для |
иллюстрации в табл. 2.3 приведены отноше |
||||||||
ния порог/фон — Хо/т при разных m и F. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Т А Б Л И Ц А 2.3 |
||
|
|
|
|
|
Хв/іП |
|
|
|
|
F |
»1=1 |
ш=2 |
»1=3 |
»1=4 |
ш = 5 |
»і=б |
»1=8 |
пі=10 |
т = 1 5 |
Ю - 3 |
6,9 |
4,6 |
3,7 |
3,3 |
3,0 |
2,75 |
2,4 |
2,2 |
2,0 |
ю - 6 |
13,8 |
8,3 |
6,4 |
5,3 |
4,6 |
4 . 2 |
3,6 |
3,2 |
2,6 |
При расчете вероятности пропуска для распределе ния (2.2.7) (ц,#0) можно воспользоваться аппроксима
цией его с помощью центрального |
^-распределения, |
|||||||
предложенной |
Э. Пирсоном {29]. Аргументы |
х'о и т! |
||||||
в аппроксимирующей формуле |
типа |
(2.2.9) |
определя |
|||||
ются следующими |
выражениями: |
|
|
|
||||
, |
_ |
д + |
2р. |
/ |
Y |
т |
, _ о ( и |
+ 2к-)- |
л » |
~ |
т + |
Зр |
\^ло~Г т + 3р |
у |
т |
— ^ ( о т + 3 ( х ) 2 ' |
71
При | л » 1 + ( т — I ) 2 можно воспользоваться |
асимптоти |
ческим выражением для функции Бесселя |
в (2.2.7). |
Тогда |
|
?жФ(Ѵ2Г0-Ѵ2£). |
(2.2.11) |
Для обычно рассматриваемых значений ß условием
применимости |
(2.2.11) |
при |
расчете |
порогового |
ц. явля |
|||
ется выполнение неравенства |
Хо^>т2. |
|
|
|
||||
Из табл. 2.3 видно, что при F=lQre, |
например, |
фор |
||||||
мула (2.2.11) |
справедлива |
|
вплоть |
до |
т = 4н-5. |
При |
||
т > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р~Ут[ф-1'(1 |
- |
f |
) - f ф - і ( 1 |
_ р ) ] . |
(2.2.12) |
Вернемся к распределению (2.2.1) и рассмотрим промежуточный случай, когда условия перехода к тгуассоновскому и нецентральному ^-распределениям не вы полнены. При отсутствии сигнала (М = 0) (2.2.1) при обретает вид так называемого отрицательно-биномиаль ного распределения [29, 30]:
|
(т |
+ п — 1 \ |
/V" |
/п о |
i о\ |
|
Рп={ |
Z - 1 |
|
( 2 " 2 Л З ) |
|
Вероятность |
превышения порога |
(п^по) |
для этого |
рас |
|
пределения |
(в данном случае эта вероятность есть |
ве |
роятность ложной тревоги) можно представить следую щим образом:
оо
F = {m-i)W |
+ N)m% <й |
+ 1) - |
('* + |
m + 1) ( г т л г ) |
" = |
||
|
|
п=п0 |
|
|
|
|
|
(от — 1)! (1 +N)m |
dg™-' |
1—1 |
|
|
|||
|
= ( г ^ П |
ш—1 |
|
|
|
|
|
|
( " , + Г ' ) ^ |
(2.2.14) |
|||||
|
|
|
ѵ=0 |
|
|
|
|
Зависимость /го(Л''), рассчитанная по (2.2.14) |
при |
F = |
|||||
= 10- 5 , приведена на рис. 2.2. Сравнение значений |
tio/N |
||||||
для Л^= 10 со значениями |
лго из табл. 2.2 свидетельствует |
||||||
о высокой |
точности %2 -приближения. Уже при л 0 > 3 |
за |
|||||
висимость tio(N) |
почти не отличается |
от линейной. Срав |
|||||
нение значений |
n^—mN |
при N = 0,1 |
с данными |
табл. 2.1 |
|||
указывает |
на удовлетворительное совпадение пуассонов- |
72
ского 'Приближения с результатами |
точного расчета при |
|
т > 8 - 1 0 . |
|
малых F вы |
Как видно из рис. 2.2, яри достаточно |
||
полняется неравенство iio/N^m. |
При |
этом условии |
можно оставить в сумме в (2.2.14) последний член и
получить приближенную |
формулу |
|
|||
р^. |
N"° |
К |
+ ' ) • • • |
(и. + лі — 1) . |
|
|
(1 + yv)«b+m -1 |
|
{m- |
1)! |
|
которая |
переходит в |
(2.2.10) |
(с |
отброшенной суммой) |
при / г 0 > т и УѴ2>/г0/2.
200
Рис. 2.2. Зависимость по рога, соответствующего вероятности ложной тре воги F=IQ-5, от средне го числа шумовых кван тов для отрицательно-би номиального распределе
ния с m степенями свободы.
10 N
При наличии полезного сигнала упростить сущест венно распределение (2.2.1) для промежуточного слу чая не удается. На рис. 2.3 приведены вычисленные по
(2.2.1) зависимости ß(M) |
( ß — вероятность пропуска) |
при -N=l, -F=10- 3 для ряда |
значений т. Сравнение этих |
зависимостей с результатами расчета по приближенной формуле (2.2.11) при т = 1 , 2 показывает их удовлетво
рительное |
совпадение, |
несмотря |
на то, что эта формула |
||
получена |
для случая |
N^>1. При больших m (2.2.11) |
|||
дает |
завышенный результат |
(почти ів два раза |
при |
||
m = 20), что связано, по-видимому, с. нарушением |
усло |
||||
вия |
Хо~^>тг. |
|
|
|
Перейдем теперь к рассмотрению флюктуирующих сигналов. Соответствующие законы распределения мож но получить, усредняя рассмотренные распределения по флюктуациям. В соответствии с принятой здесь мо делью сигнала среднее число квантов M считаем рас-
73
пределенным |
экспоненциально. |
Отдельно |
рассмотрим |
случаи дружных и независимых |
флюктуации сигналов |
||
в ячейках. |
|
|
|
Для случая дружных флюктуации, усредняя (2.1.30) |
|||
при Nj=iN, |
\>І=\ по M, получаем характеристическую |
||
|
• |
|
|
|
un=20 |
|
|
|
|
Рис. 2.3. Зависимость ве |
|
|
|
роятности |
пропуска ß от |
|
|
среднего |
числа квантов |
|
|
сигнала M для квантово |
го аналога нецентрально го ^-распределения
( Т = 1 0 - 3 , N=1).
О |
10 20 |
30 |
W |
50 M |
функцию и соответствующее ей распределение для чис ла зарегистрованных квантов в виде
Ф(ч) = |
= |
- |
= |
, (2.2.16) |
Уп |
(, _|_yV)m-i |
(1 + |
N + М)"+ , / Ч |
|
Л 2 Д |
' " - 2 / |
(I + |
/V)(М+М)\ ' |
К*-*.") |
где M — среднее значение числа сигнальных квантов. Среднее значение и дисперсия для распределения (2.2.17) выражаются формулами
п = mN -)- yî?,
а* = UTF2 -J- j/j? ( 1 + 2N) -f- /яЛ^ ( 1 - f N).
Вероятность превышения порога для такого распре деления простыми преобразованиями приводим к виду
74
|
П=І10 |
|
(2.2.18) |
где Fm-i(N, |
По)—вероятность ложной тревоги при том |
же пороге щ и числе ячеек m—1. Эта вероятность опре
деляется, |
как |
и |
ранее, формулой |
(2.2.14). |
Очевидно, |
FM-\<FM |
= F |
и, |
если ß > / " , Fm-i в |
(2.2.18) |
можно пре |
небречь. |
|
|
|
|
|
Для дальнейшего упрощения формулы (2.2.18) за метим, что сумма в (2.2.17) имеет вид интегрального закона отрицательно-биномиального распределения. Ис пользуя это сходство, определяем
|
-F(^(1+N |
+ №), « „ + l ) ] . |
(2.2.19) |
При |
ÏÏJ^>\-\-N, что |
является необходимым |
условием |
для обеспечения достаточно малых 'вероятностей про пуска, вероятность F в скобках последнего выражения можно отбросить. В результате получаем
Если выполняются |
условия 2 [LÏ7/(yV-f-l)]2>/î0, |
|
2(\Äf[N)2^ |
|||
> m — 1 , |
то |
уравнение (2.2.20) легко |
разрешить |
отно |
||
сительно |
Щ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
я , —(/к — 1) ІѴ _ , /г0 — (от — 1) N |
/ 9 о 9 п |
||
|
J l i |
~ |
In CI — Р) |
Р |
' |
V-Z-Zl> |
Подчеркнем, что приближенная формула (2.2.20) справедлива как для зесьма низкого уровня фонового •излучения, при котором распределение для числа фоно вых квантов можно считать пуассоновским, так и для высокого уровня фонового излучения, при котором это распределение превращается в гамма-распределение. В последнем случае формула (2.2.20) переходит в свой «классический» аналог [31]:
1 - р » (1 + 1 / ^ - 1 е -*о/о+^) # |
(2.2.22) |
75
0.1 0,2 |
0.5 |
Ю 20 |
50 а |
Рис. 2.4. Зависимость ß(rt<«0 ) от параметра отрицательно-бино миального распределения а при числе степеней свободы т—1:
— аппроксимация Г-распределсшіем.
|
|
|
|
|
! |
|
|
0.8 |
VS. |
|
|
|
т-2 |
|
|
|
|
ч \\\ \ \ |
|
||||
|
|
|
|
||||
0,5 |
|
|
|
|
|
||
\ |
\ |
—\U VЛ5ѴѴ\1o\j5\20 |
|
|
|||
|
|
|
|||||
Ofi |
\ |
j |
|
|
|
|
|
|
1 ч |
\ |
|
\ |
\ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
\ |
\ |
|
\ |
\ |
|
0.2 |
|
\ |
|
|
К |
\ |
|
|
\ ч |
|
|
|
|
||
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
0$ |
ч |
s |
|
|
|
o.i 0,-г |
w |
10 |
20 |
50 а |
|||
|
Рис. 2.5. Зависимость |
$ ( « < Я о ) |
от а |
при |
т=2: |
||
•аппроксимация |
Г-распределением; — • — • — аппроксимация распре |
||||||
|
|
|
делением Пуассона. |
|
|
76
Заметим, что полученные результаты остаются спра ведливыми и для случая, когда в одном приемном кана ле суммируется когерентно несколько статистически не зависимых составляющих сигнала. Такое когерентное суммирование может происходить, например, при интер ференции сигналов двух близко расположенных целей,
сигналы |
которых |
флюктуируют |
независимо, |
если эти |
|||
цели |
не |
разрешаются приемным |
устройством. В |
этом |
|||
случас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
где Mj — средние |
числа |
квантов |
в суммируемых |
сигна |
|||
лах, |
К] — коэффициенты |
корреляции этих |
сигналов |
с опорным сигналом рассматриваемого приемного ка нала.
Теперь рассмотрим случай независимых флюктуации сигналов в ячейках. В этом случае, усредняя (2.1.30) при
Nj=-N, Y J = 1 по Mj, которые считаем |
распределенными |
одинаково, приходим, как и следовало |
ожидать, к харак |
теристической функции отрицательно-биномиального рас пределения, которое уже рассматривалось [см. (2.2.13)].
При наличии сигнала заменяем N в (2.2.13) на |
а=Мі+ |
где Мі=Мо/іп — среднее число квантов |
сигнала, |
приходящихся на одну ячейку. |
|
Зависимости вероятности ß недостижения порога п0 (вероятности пропуска) от а = М і + УѴ при различных значениях щ для ряда значений числа ячеек т, полу ченные численным расчетом, приведены на рис. 2.4—2.7. Для некоторых п0 (достаточно больших) там же для сравнения приведены аналогичные кривые для гаммараспределения, а для больших значений m и малых зна чений порога (по<т) —кривые для пуассоновского рас пределения. Сравнение кривых позволяет судить о каче стве каждого -из этих 'приближений. Из 'рисунков видно, что в окрестности а = 1 при малых ß ни одно из указан ных приближений не может считаться удовлетворитель ным. При m > 1 для этой области значений а можно воспользоваться гауссовым приближением. Отрицатель но-биномиальное распределение приближается в этой области к гауссову, минуя пуассоновское и гамма-рас пределения.
Приведем среднее значение и дисперсию, а также ко эффициенты асимметрии ( Y I ) и эксцесса (-ys) для отри-
77
цательпо-б'шюмиального распределения:
и = та, а2 == та. ( 1 4- а), 71
, |
|
1 + |
3rt + 2rt= |
|
|
/ т я |
(1 + « ) ^ ' |
l b — 1 / — |
(2.2.23) |
||
|
|
|
|
у 2 = - |
1 |
1 4 - 7 д + 12fl2-r-Grt3 |
|
ш |
|
( 1 + я ) 2 |
|
0,1 |
0,2 |
0,5 |
1,0 |
|
|
|
|
|
Рис. 2.6. Зависимость ß(/i<n0 ) от а при /п = 5: |
|
||||||
• — аппроксимация |
Г-распределеннем; |
—• — • — аппроксимация |
распре |
|||||
|
|
|
|
делением |
Пуассона. |
|
|
|
0,8ß |
N у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<х |
|
|
|
|
m-10 |
|
|
|
N> |
\ |
|
|
|
||
0,6 |
|
X |
|
\\\ |
|
|||
|
|
|
|
W |
\ V |
|
||
|
|
|
|
10 |
\s\ |
|
||
0,2 |
|
|
|
\V |
\\ |
V \\ |
|
|
О* |
|
|
|
|
V 1 \ |
\\\ 1\ |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
0,01 0,02 0fi5 |
0,1 0,2 |
0,5 |
1 2 |
S 10a |
|
|||
|
Рис. 2.7. Зависимость ${n<n0) |
іот a при m=10: |
|
|||||
— аппроксимация |
Г-распределением; |
— • — — аппроксимация |
распре |
|||||
|
|
|
|
делением |
Пуассона. |
|
|
78
При а<СІ yi, Y2 стремятся |
к нулю с ростом т, |
как |
|||||
\jYта |
и 1/ma, |
a при а ~ 1 |
-и т > 1 — как |
\/Ѵ~гпи |
lfm |
||
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
На |
рис. 2 . 8 зависимости, аналогичные |
приведенным |
|||||
на предыдущих |
рисунках, |
сравниваются |
с гауссовым |
||||
приближением при |
т=20. |
|
|
|
|
||
Как |
видно 'из ( 2 . 2 . 2 3 ) , с ростом m флюктуации |
сгла |
|||||
живаются: Гі2/юп2—^00 |
при m—>-оо. |
Поэтому _при больших |
|||||
m минимальный |
обнаруживаемый |
•сигнал M становится |
ю а
малым по сравнению с фоном niN. При этом уравнение характеристик обнаружения в гауссовом приближении имеет вид
1 Л 7 = - | / т Л ф - I - / V) |
[ Ф - 1 (1 - /?)+;Ф ~»(1 — ß ) ] . |
(2 . 2 . 24 ) |
При /Ѵ<СІ эта формула совпадает с ( 2 . 2 . 6 ) , |
полученной |
|
для ігтуассоновского |
приближения. При N^l |
она пере |
ходит ів классическую формулу для отношения M/N. |
||
Согласно ( 2 . 2 . 2 4 ) |
пороговая энергия сигнала M рас |
тет с ростом числа ячеек как У т. Однако такой рост получается для флюктуирующего сигнала только при больших т.
Как видно из рис. 2 . 9, в случае слабого шума (аѴ—>-0) пороговый сигнал монотонно убывает с ростом m тем заметнее, чем меньше ß. Это убывание объясняется тем, что относительные флюктуации суммарного сигнала уменьшаются с ростом т. При увеличении m скорость убывания уменьшается.
79