Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

спадает	с ростом	отношения	\| п — г 2 \|	к	длине	волны.
Если апертура велика по сравнению				с длиной		волны,
a Vj(ri,	юі, г2 , Ю2)	являются	медленными		функциями п,

Гг по сравнению с К(г), то последнюю в интегралах с Vj можно считать эквивалентной о-функции:

/ ( ( Г ) ^ О ( Г ! — г 2 ) .

(2.1.11)

В этом случае условие (2.1.9) эквивалентно следую щему:

	О О
	dr j	%md<s> [V5 ( Г „ CD,, Г, CD) Vfc (Г,	CD, r2 > co2) —
S	0
-	Vk	(r,, со,, r, CD) V> (r, CD, r2 , CD2)J =	0.	(2.1.12)
В частности, для случая, описываемого			(2.1.4), и доста

точно узкополосных сигналов, когда можно считать

%ш^%а>0,	условие (2.1.12)			сводится		к требованию		взаим
ной ортогональности весовых					функций		gj(r, со) и gj{r,t)
с разными индексами /.
Коммутирующие		эрмитовские интегральные операторы
с ядрами	(Vj (х,, х2 )	имеют общий				набор взаимноортого-
нальных	нормированных			собственных			функций	{уу (х)}
[2,3,10]. Каждое ядро			может		быть представлено рядом
	Ut (x,.xs ) =		S	ч [ \	(и,) ѵ\	(х2 ),		(2.1.13)
			V

сходящимся в среднеквадратичном [2] (у( у 7) — собствен ные значения). Подставляя (2.1.13) в (2.1.7), получаем

где
6V =	jVv (x)a(x)dx.	(2.1.15)
В силу ортонормированности { У ѵ (х)} [£у, 6*] =		8,,,,.
Найдем совместную характеристическую		функцию
для совокупности {і7 ,}:
Ф ( Ы ) =	( е х р ( / 2 Л ) .	(2.1.16)

Оператор		Ф ( { ^ } ) .			используя	(2.1.14), можно	предста
вить	в виде
	Ф (Ы)	=	П Е Х		Р ѴяЛЬ	= ф> Ш).	(2-1	• 17)
				V
где	<7Ѵ = Ц		а	Ф, ( { ^ } ) — характеристическая				функ-
	і
ция	величин п. =Ъ+Ъ .
		V	V	V
Усредним (2.1.17), используя Я-представление опе
ратора плотности
	р\= J р [а (х) ] Д I а (к) ) ( а (х) \| сРа (х).						(2.1.18)

Для усреднения каждый сомножитель в (2.1.16) удобно представить в нормальной форме (1.2.35). Учи тывая (2.1.15), получаем

Ф ( Ы )

Ф.

( { ? , } ) = Тг (?Ф)

р [а

( X ) ] ( {а ( X ) } j

Ф ( Ы ) i {« (*)} > П d 2а м=I р іа (*)] П Е Х Р A Р» Г X

0 0

X (е'? ѵ

1)} П d'à. (

* )

Р і ! Л ({л J )

X ПехрК (е і 9 ѵ

- 1)) dn,4

Ф к д

({i (1 -

e*v ))),

(2.1.19)

где

I {а (х)}) == Y[ I а (х) );

п== | ßv |2 ; ßv

— величины,

связан-

ные с а(х) соотношением

(2.1.15);

р к л ({/гѵ }) — совместное

распределение вероятностей для /гѵ,

связанное

с р[а(х)]

обычным преобразованием

распределения

вероятностей.

В (2.1.19) приведена вся цепочка преобразований,

связанных

с нахождением

характеристической

функции

рассматриваемой

совокупности

функционалов Fj.

Оказалось,

что искомая

характеристическая

функция

просто связана

с характеристической

функцией

величин'

/гѵ,

получающейся

при классическом

рассмотрении

поля.

То,

что

Ф, ({?„]) зависит^только^от

е"? ѵ

означает,

что

при

квантовомеханическом

рассмотрении

лѵ

принимают

целочисленные	значения	(причем, согласно	(2.1.19), толь
ко неотрицательные).		Возможные значения Fj		опреде
ляются формулой
		V
т. е. являются	линейными комбинациями		целых,	чисел.

Основную роль здесь играют числа квантов, а величины являются масштабными коэффициентами.

Если все /гѵ, имеющие заметную вероятность, намно го больше единицы, то при интегрировании по я у в (2.1.19) можно воспользоваться методом перевала. При

этом е — 1 следует заменить на

и получится та

кой же результат, как при классическом рассмотрении.

Каждый сомножитель под интегралом по /гѵ в (2.1.19) представляет собой характеристическую функцию расп ределения Пуассона. Следовательно, для /мтредставимых операторов плотности поля распределение вероятностей совокупности величин дѵ , имеющих смысл чисел квантов,

можно найти, усредняя	пуассоновские	распределения
с помощью классических	распределений	для этой же

совокупности величин. Заметим, что аналогичный ре зультат был получен в [7] при рассмотрении распреде ления числа квантов излучения в заданном объеме. Этот результат подтверждает правильность методов

полуклассического		рассмотрения	оптических	приемни
ков, в которых	используется фотоэффект (см. гл. 3).
Как следует	из	полученных	результатов,	определе
ние характеристической функции совокупности {Fj}

свелось, в основном, к нахождению собственных значе

ний	и	собственных	функций совокупности		ядер
{Uj(xi,	иг)}. Естественно поэтому перейти к рассмотре
нию	частных случаев, для которых это удается			сделать.
При отсутствии последетекторного сглаживания, ког
да ядра		Uj(üi, яг) вырождены (см. (2.1.4), (2.1.8)],			т. е.
		Uj{94, *г) = £ / І ( Х І )		(2.1.20)
где			. (о

І М * ) = Р ( р ) 4 £ - /			- ^ j ^ ( r . " ) e ~ ' ~ p r d r ,	(2.1.21)
			s

интегральный оператор с ядром i7j(xi, хг) имеет только два собственных значения:

(2.1.22)

Первому собственному значению соответствует соб

ственная функция	Uj (х)/]/у( ; і >, а [второму — все	функ
ции, ортогональные	t7j(x) {это могут быть tVj(x)	с дру

гими значениями индекса, поскольку их взаимная орто гональность следует из требования коммутации инте гральных операторов].

Для совокупности из m функционалов с ядрами ви да (2.1.20) можно построить систему собственных функ ций, в которой первые m функций совпадают с {iVj(jt)}.

Тогда для /-го интегрального						оператора			отличным		от
пуля	будет	/-е собственное значение,						так	что	qj=r[jyp)
и Fj	будет отличаться от iij только масштабным									множи
телем. Для itj			согласно		(2.1.15)	имеем
	Щ =		I j	U*i (х) а (х) ак \|а			/ J	I £//(«) l 2 du,			(2.1.23)
Для	больших		по	сравнению		с длинами			принимаемых
волн размеров апертуры и «медленных» весовых функ
ций g.; (см. (2.1.10)]
			2л	J" rfco j" g*j (г,		to) у	(г, ш) rfr
				о	s
	іц	=								(2.1.24)

			- ^ - j " ftcorfcù j" I gj (г,				ш)\|2	rfr

Если поле представляет собой суперпозицию регу лярного сигнала и гауссова фона, то п при классиче ском рассмотрении подчиняется известному закону рас пределения для квадрата огибающей сигнала с шумом (соответствующее распределение для огибающей назы вается 'Обобщенным релеевским) с характеристической функцией

Фкл 0і) = -	exp	1 — й)/Ѵ	(2.1.25)
где N— среднее значение	п при наличии только		фона,
M — значение я при наличии		только сигнала. Для при»

пятой модели			фона
			J	N (tù) ftcùrfw j		I g (г, tû)\|2 rfr
		N = °—			5		,		(2.1.26)
				j hcùda ^	I g-	(r. w)\|2 rfr
где	N(a)—число			квантов,	приходящихся			на одну сте
пень свободы			(см. § 1.4). Если				приемник	узкополосный,
так что в полосе пропускания							можно считать		# ( с о ) ~
~N(a0),		то	N~N(ao).
Выражение для M можно получить из (2.1.24), за
меняя		у (г, со)	напряженностью				ноля полезного		сигнала
U(г,	со). Для дальнейшего				удобно представить				M в ви
де	произведения			полного числа			квантов	в сигнале Mo

на коэффициент корреляции полезного и опорного сиг налов:

0 0

М = МЛ = Ма		со	!	° І	оо
о	о	со			оо
	І	[	A u	, A ° jï g (г.в>)Р	rfr\|xi[^-f\|t7 (r.m)\|«rfr
		O		S	0 i -

(2.1.27)

где

0 0

ôs

Заметим, что вид коэффициента корреляции в дан ном случае отличается от классического. Это отличие исчезает для узкополосных сигналов.

Условие статистической независимости фоновых со ставляющих в п.], tih имеет вид

°\

[ g*i (г, со) gk (г, т) dr = 0

(/ ф k).

Оно отличается от условия одновременной измеримости множителем Л^(со) под интегралом и совпадает с этим условием, если N[&) ~Af(co0 ).

Характеристическую функцию Ф(г\) для я при кванговомеханическом рассмотрении в соответствии с (2.1.19)

•получаем из (2.1.25), заменяя т\| на			і(1 — е'"1):
Ф(ті) =	—,	exp f		Мя\-
				(2.1.29)
Для случая, когда M0		— случайная	величина,	характе
ристическую	функцию	можно	получить,	усредняя
(2.1.29) поМо.

При наличии последетекторного сглаживания доста точно простые результаты можно получить, если это сглаживание можно приближенно представить как сум мирование некоторого числа одновременно 'измеримых и статистически независимых сигналов, полученных без последетекторного сглаживания. Класс таких случаев весьма широк. Речь может идти о суммировании сиг налов в различных угловых, частотных или временных каналах. Все это — частные случаи задачи о последетекторном суммировании по ячейкам фазового пространст

ва	сигналов.
	Если	сигналы в		ячейках		регулярны,	характеристичес-
					т
кая	функция		суммы	F0	= y£l	ТЛ" имеет вид
ф М =		П	-WT-			1 - е " " '
ф М =		П	-WT-		е х	Р	ит,	м -
								(2.1.30)

где все обозначения те же, что и в (2.1.29). Упростить результат можно, принимая Yj = const.

Характеристическую функцию для флюктуирующего сигнала получаем из (2.1.30) усреднением. Различные варианты получающихся таким образом распределений и соответствующие характеристики обнаружения будут

рассмотрены в следующем параграфе.
Для моментов совокупности функционалов	ряд

соотношений можно найти в общем случае Р-предста- вимого оператора плотности, если воспользоваться раз ложением в ряд по щ самой правой и самой левой частей (2.1.19). Так, приравнивая члены первого и вто-

5—220

рого порядков в этих разложениях, получаем

=	( W K	»	- (рі)** (^)кл +	S Ы к Л І Ѵ .	(2.1.31)
			*
где (),<„ означает			усреднение без учета квантовых эф
фектов.
Как	видно	из	(2.1.31), средние	значения в квантовом

и классическом случае совпадают (здесь проявляется «квазиклассичность» Р-представимых состояний поля). Коэффициент взаимной корреляции в квантовом случае

отличается	добавлением	суммы	дисперсий	пуассоиов-
ских распределений для		я ѵ с соответствующими коэф
фициентами.	Выражение	(2.1.31)	будет использовано
при анализе	точности измерительных систем			в § 2.3.

2.2. Законы распределения выходных сигналов. Характеристики обнаружения

Закон распределения, соответствующий характери стической функции (2.1.30), удается представить доста точно компактной формулой, если при всех j yj=y, Nj = N. Во многих случаях этим приближением можно воспользоваться, заменяя весовую функцию лоследетекторного сглаживания некоторым эквивалентным прямо угольником. Анализ полученного таким образом резуль тата позволяет получить представление об эффектив ности последетекториого сглаживания в различных случаях.

	Полагая			для сокращения			записи	вес yj=h		из (2.1.30)
получаем *'										м__
										м__
	р	—		N "	г С"-') (		м	\ с	л ' + \|		/9 2 П
				m
где M =			М 0	2 kj — суммарное			среднее		число		квантов
сигнала,			L ( m		(z) — полином		Лагерра		[26], т — число
			71
	*' Это		распределение .было			©первые,		іпо-водшому,			получено
в	[27]	при рассмотрении задачи				о	случайном размножении фотонов
в	активной		среде, а затем в несколько ином						виде	найдено в [28]
для числа квантов в моде. Его асимптотическое									поведение		при силь
ных и слабых сигналах и шуме рассмотрено в [25].
ßß

ячеек, по которым производится суммирование. Среднее значение и дисперсия для распределения (2.2.1) выра жаются формулами

	п — niN -		j - M,	(2.2.2)
				(2.2.2)
	J=,nN{N	+ 1) +	М(1+2УѴ). .
Подчеркнем,	что эти результаты не зависят от того, как
распределен	полезный	сигнал	по ячейкам. В	частности,
в некоторых	ячейках	сигнал	может вообще	отсутство

вать. Так получается, например, при приеме сигнала с определенной поляризацией приемником, нечувстви тельным к поляризации сигнала.

Распределение (2.2.1) непротабулировано и его та булирование усложняется тем, что оно зависит от мно гих параметров. Ограничимся анализом этого распре

деления	и связанных с ним характеристик обнаружения
сигнала	для крайних случаев Л/<с1 и N^$>1 и,		кроме
того, приведем результаты		расчета на ЭВМ для	Л/ = 1.
Для оптического диапазона типичной является си
туация,	при которой N<^_\.	Если при этом выполняется

условие МЛ/«cl, то, как •видно из выражения для ха

рактеристической		функции, получающегося из (2.1.30)
при	Y J =1 , (2.2.1)	превращается <в распределение Пуас
сона	со средним	значением М + 2ЛЛ,- (этот результат

верен и для неодинаковой интенсивности шума в ячей ках) :

		Рп = (іМ	+^Wv)»	е - ( Л І + Л Г , ).	(2.2.3)
где	Л / £ = ЦЛ/j.	Полученный		результат	подтверждает
правильность		обычно	используемого		пуассоновского
приближения для распределения числа					фотоэлектронов
в	оптических	приемниках		с непосредственным фото-

детектированием и уточняет условия применимости это го приближения. В таких приемниках обычно полоса

фильтра ІДІ/ имеет	порядок величины			10й	Гц, в то время
как длительность	сигнального		импульса		T u ^ 1 0 _ s , так
что яг=іДі/ти^-Ю3 . Условие допустимости					пуассоновского
приближения, состоит в		выполнении		неравенств
MNJm	< 1,	NJm	< 1,	п <	т.

Интегральный закон			распределения,	соответствую
щий	(2.2.3), имеет вид
	«о—І		Г(Яц,«)
			Г(Яц,«)	(2.2.4)
			1)!'	(2.2.4)
			1)!'
	n-Q
где	Т(п, х) —неполная	гамма-функция,		a=M+Ns.

Выражение (2.2.4) определяет вероятность пропуска цели при заданном пороге «о. График зависимости ß(a, По), рассчитанный по (2.2.4), приведен на рис. 2.1.

ѵ	1 \ 2	4 \ . ( Р А	Л 75
о,*			VV
			V
			11
			и

0,6				\\\
0,6				S
				\ \ 'L		i
				\\\\ \	\
0,2
0,1	0,2	0,5	1		10	20	a

Рис. 2.1. Вероятность недостижения порога д 0 величиной, распреде ленной по закону Пуассона с параметром а:

аппроксимация нормальным распределением.

Пунктиром на рисунке показана зависимость ß от а при /г0 =15 для гаусеового распределения с теми же, что и для рассматриваемого распределения, средним значе нием и дисперсий. Сравнение кривых показывает, что при по^\5 нормальное приближение дает достаточно высокую точность в обычно используемом диапазоне значений вероятностей пропуска.

В табл. 2.1 для различных значений порога по при ведены значения Л^, при которых превышается указан ная в левом столбце вероятность ложной тревоги F. Для расчета По при малых значениях F можно восполь-

зоваться следующим прибли жением:

Г(«о,Л/£ )

/Ѵ»о -Nr

+ L ( " o + О - (n. + v)

(2.2.5)

/г 0 =15, гауссовоприближение

1Î

СО II

Значение отбрасываемого чле

на

скобках

(2.2.5)

лежит

со

между

.нулем

величиной

(Njft0)l{l—NJn0).

Следова

тельно,

приближение

(2.2.5)

справедливо

при

N^n0.

г: Ю

Согласно

данным

табл.

2.1

во

всех

представляющих

инте

рес случаях это условие вы

полняется.

2.1

последней

графе

табл.

приведены

значения

Nit

•#

найденные из гауссова прибли

IIо

жения. Как видно из сравне

ния

двух последних

столбцов,

при

/ ^ Ю - 4

ошибка

гауссова

приближения

еще велика. При

СО

jp=10~

например

установле

IIо

ние

порога

по

нормальному

приближению приведет к ошиб

ке в

предсказании

вероятности

ложной

тревоги

более•чем

на

три

порядка.

IIо

При

расчете

порогового

сигнала,

соответствующего

выбранным F и ß, к точности

определения

порога

предъяв

ляют

менее

жесткие

требова

ния. Как видно из рис. 2.1, при

больших значениях

порога

его

SOOC^N	ci
СО t*- СО іП	СО

m s со г— (M — ю N. ю ^ со со см —

О	4 Ю СО4
— CM CM t - СО I - т
СМ СМ — — о о
	СП СП со
о>см Tt-со -^- см —
см	— о о о" о
	г
	-с о

со — с- -ч* со —• —«

— —< ОО о о

	со*
МПШСОСО '	'
со см
я
смmco V О7
о о ' о о Т л \ "Т
см
СО сг> -tf« ' "	?
•V см о о 2 о	2
о о о ' о ' а д - ^
—•	со

w g o o o o o ° ° ч*- Ю -^-

ГГ 7 1 ? 7 Г

оо о о о о о

et n ^ ю о а 5 1 I 1 1 1 1 1

о о о о о о о

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ