книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)

В режиме свободных колебаний системы осциллято­ ров такой функцией является любая координата систе­ мы. Формулу (1.2.33) можно рассматривать как раз­ ложение в ряд Фурье, если скалярное произведение двух комплексных функций времени определить сле­ дующим образом:

зом, величины ßi, ... , ßjt имеют смысл амплитуд негар­ монических колебаний, описываемых функциями {<ру(0}-

этим операторам, действительно принимают дискретные целочисленные значения, убедимся, рассмотрев их ха­

30

чтобы все операторы рождения предшествовали операгорам уничтожения. Этого можно добиться, используя перестановочные соотношения (1.2.32). Такое представ­ ление оператора в виде ряда упорядоченных произведе­ ний называют нормальной формой оператора [6, 7] и обозначают обычно как : Л :.

Итак, требуется найти коэффициенты Ci(q), где 9=іт), разло­ жения

е рт = g = Ц С ѵ (?) (6+ У V .

V

Дифференцируя обе части последнего выражения по q и используя

v = l

Почленно приравнивая коэффициенты рядов, получаем систему диф­ ференциальных уравнении

C'Aq)^^Cv(q) + C^](q),

причем, очевидно, Со((/) = 1. Решая уравнения одно за другим, на­ ходим

С , fa) = ( e « - l ) 7 v l

и, следовательно,

Из полученного результата уже ясно, что искомая

характеристическая функция будет зависеть от е и, следовательно, соответствует дискретному распределе­ нию вероятности для целочисленных значений nij. Тем не менее, вычисление характеристической функции до­ ведем до конца, поскольку и методика вывода, и окон­ чательный результат понадобятся в дальнейшем.

31

Используя (1.2.35), (1.2.27), (1.2.16), находим

{ß;}, {ß';}. В силу предполагаемой унитарности преобра­ зования (1.2.30) якобиан преобразования равен едини­ це и выражения типа скалярного произведения 2a';a*;,

входящие в показатель экспоненты, сохраняют в новых переменных прежний вид:

32

Если только одна из этих вероятностей отлична от нуля, то соответствующая функция fi (с точностью до несу­ щественного постоянного фазового сдвига) есть

и совпадает с произведением весовых функций в разло­ жении |/?.) по |<х) [см. (1.2.17)].

Приведенное рассмотрение показывает, что введен­ ными операторами rrij, bi% соответствующими представ­ лению колебаний в виде суперпозиции негармонических, вообще говоря, комплексных ортонормированных функ­ ций, можно пользоваться так же, как операторами чи­ сел заполнения и уничтожения квантов, соответствую­ щими реально существующим осцилляторам.

1.3. Квантование поля излучения

Наиболее простой путь перехода от классического к квантованному полю излучения заключается в сведении поля к эквивалентной системе гармонических осцилля­ торов. Первым этапом пути является уменьшение числа переменных, описывающих поле. Такое упрощение за­

В (1.3.1) использована гауссова система единиц и при­ няты обычные обозначения для напряженностей элек­ трического (Е) и магнитного (Н) полей, плотностей заряда (р) и тока (j) и для скорости света (с).

Вспомним, в чем состоит избыточность уравнений (1.3.1). Плотности тока и заряда в (1.3.1) не могут

быть произвольными, они связаны уравнением непре­ рывности

каким бы ни было поле А). Однако эта связь касается только переменной части р. Постоянная составляющая заряда может быть распределена в пространстве как

цированное по времени уравнение (1.3.1.1). Таким обра­ зом, если (1.3.1.1) выполнено в начальный момент вре­

ниями представить по-другому, воспользовавшись спек­ тральным представлением полей. Уравнения для спек­

a ü ( d i v E m - 4 n p J = 0,

где индексом ш отмечены спектры соответствующих функций.

Для <&ф0 это равенство совпадает с тем, которое получается преобразованием (1.3.1.1) по Фурье. Таким образом, для переменных составляющих Е и р, пред­ ставляющих собой суперпозиции всех спектральных составляющих с ш=^=0, уравнение (1.3.1.1) является следствием уравнения (IV). Для составляющих с ю = 0, т. е. для постоянных составляющих полей, представлен­ ных в спектрах слагаемыми в виде Ео(ш) (волнистая черта означает усреднение то времени), уравнение (1.3.1.1) нужно 'рассматривать как самостоятельное.

Число переменных, описывающих поле, уменьшают, вводя .векторный А и скалярный ср потенциалы. Вектор-

34

« * ( = + - г £ ) = о -

определяющее связь Е и А с точностью до градиента некоторой функции ср, поскольку rotVcp=0:

Потенциалы А и q> определяются уравнениями (1.3.1.1) и (1.3.1.IV), которые, как только что было по­ казано, не являются вполне независимыми. Поэтому в выборе потенциалов имеется некоторый произвол, ко­ торый устраняют, вводя дополнительное (так называе­ мое калибровочное) соотношение, позволяющее упро­ стить задачу.

Широко известны кулоновская (divA = 0) и лоренцовская ^div A - J — - ^ j - = калибровки [8]. Кулоновская

калибровка очень удобна при отсутствии токов и заря­ дов, и ее часто применяют при квантовании поля в сво­ бодном пространстве. В этом случае ср = 0, а А подчи­ няется однородному волновому уравнению. При наличии токов и зарядов кулоновская калибровка приводит к искусственному с физической точки зрения разделе­ нию тока и электрического поля на продольную и по­ перечную составляющие. Скалярный потенциал <р под­ чиняется уравнению Пуассона, поэтому соответствую­ щая составляющая электрического поля определяется распределением заряда >в тот же момент без запаздыва­ ния. Этот,'.в общем формальный, результат также нелег­ ко воспринимается с позиций привычных физических представлений.

Лоренцовская калибровка свободна от указанных недостатков: и векторный, и скалярный потенциалы под­ чиняются волновым уравнениям с плотностями тока и

времени, приводит к некоторым затруднениям при кван­ товании. Эти затруднения связаны с особой ролью вре­ мени в квантовой теории. Соотношение операторов

дф/dt и А, получаемое из уравнения Гейзенберга (1.1.23), отличается от калибровочного. Поэтому при квантова­ нии предполагают (1], что калибровочное соотношение выполняется в среднем для так называемых физически возможных состояний поля. Введение этих состояний и изучение их свойств усложняют изложение.

Поскольку основное преимущество лоренцовекой ка­ либровки— релятивистская инвариантность — для дан­ ного рассмотрения несущественно, воспользуемся пред­ лагаемым далее усовершенствованным вариантом кулоновской калибровки. Выделим, как это уже было

сделано, переменную рі и постоянную р составляющие

ной форме электростатическое взаимодействие зарядов. Статическое поле можно учитывать при квантовании через взаимодействие зарядов. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением только переменных состав­

Уравнение (1.3.6) вместе с соотношениями (1.3.2), (1.3.3), (1.3.5) полностью определяют поле (за исклю­ чением электростатической составляющей). При отсут­ ствии тока это уравнение имеет те же решения, что и волновое уравнение при дополнительном условии divA = 0. В частности, такими решениями при соответ­ ствующих граничных условиях будут поперечные пло­ ские волны.

Следующим этапом перехода от классического к кван­ товому описанию поля явится построение эквивалентной

36

системы невзаимодействующих гармонических осцилля­ торов и выяснение связанных с этим ограничений.

Рассмотрим уравнение, являющееся преобразова­ нием Фурье (1.3.6) то времени при j = 0:

определенных граничных условиях этот оператор будет самосопряженным, и тогда из его собственных функций (см. § 1.1) может быць образована ортонормированная последовательность, полная по отношению ко всем функциям, удовлетворяющим тем же граничным усло­

дываемых на тангенциальные составляющие векторного потенциала А и соответствующего ему магнитного по­ ля H = rot А на поверхности 5, ограничивающей объем, занимаемый полем. Считая эти ограничения выполнен­ ными, воспользуемся разложением поля А (г, t) в ряд по собственным функциям uv (г) (типам .колебаний или модам) :

37

Функции uv (г) будем считать вещественными, что не нарушит общности. В силу известного свойства вещест­ венности собственных значений самосопряженного опе­ ратора комплексная собственная функция может быть получена только как линейная комбинация веществен­ ных функций, соответствующих одному и тому же соб­ ственному значению. Подставляя (1.3.10) в (1.3.6) и используя ортонормированность собственных функций, получаем бесконечную систему уравнений гармониче­ ских осцилляторов

?', + » ! ? v = ^ [ j ( r , 0 M r ) d r = 4 * c / v . (1.3.11)

Таким образом, уравнение (1.3.6) распалось на ряд несвязанных уравнений, каждое из которых соответст­ вует определенному типу .колебаний. Это еще не значит, что эквивалентные осцилляторы, описываемые этими уравнениями, не связаны через граничные условия. Только в случае линейных граничных условий их выпол­ нение для суммы (1.3.10) следует из выполнения этих условий для отдельных мод uv (r). В общем случае не­ обходимым и достаточным условием отсутствия связи является представимость функций Лагранжа поля в ви­ де суммы функций Лагранжа отдельных осцилляторов. Как известно [9], для электромагнитного поля функция Лагранжа имеет вид

L=:-L^(E°--H°-)dr. (1.3.12)

Подставляя в (1.3.11) выражения для напряженностей электрического и магнитного полей через потен­ циал А, используя тождество (1.3.9), как это уже было сделано в (1.3.8), и подставляя в полученный результат ряд (1.3.10), получаем

(1.3.13)

Перекрестные члены второй суммы (1.3.13) и вся она исчезают, если граничные условия таковы, что для лю-

38

бых функций и и V справедливо равенство

где индексами х и п отмечены тангенциальные и нор­ мальные по отношению к поверхности составляющие векторов.

Условие (1.3.14), гарантирующее выполнение усло­ вия (1.3.8), обеспечивает одновременно несвязанность эквивалентных осцилляторов и самосопряженность гра­ ничной задачи. Это условие выполняется, в частности, если тангенциальные составляющие электрического или магнитного поля на границе области равны нулю. Пер­ вый из этих случаев соответствует бесконечной прово­ димости ограничивающей поверхности, что часто прини­ мают при рассмотрении объемных резонаторов.

Часто рассматривают поле излучения в «безгранич­ ном» пространстве, пренебрегая влиянием условий на границе. Этот случай легко формально свести к рассмат­ риваемому, задав граничные условия типа (1.3.14) на бесконечно удаленной поверхности. Задание этих усло­ вий никак не влияет на изменение поля за конечное время, если в начальный момент поле отлично от нуля в конечной области пространства. При неограниченном увеличении размеров области, занимаемой полем, ди­ скретный спектр собственных частот, сгущаясь, превра­ щается в непрерывный. Это значит, что от бесконечного счетного множества осцилляторов переходим к конти­ нууму.

39