Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Действительно,

Pl = Tr{%t

p} =£

р}к(и5

\щ I uk)

I.k

— S pjh

(UJ I щ ) (щ I uh)

ргг,

где

щ =

I иг) (щ | — оператор

проекции.

Сумма

[диагональ

ных элементов

р и равна,

как

и должно

быть,

единице.

В представлении с непрерывными собственными зна

чениями *)

I ѵ) = j < ы \ ѵ ) \ и } du

оператор плотности будет записан в виде

р =

j j p ( и ' ,

и")

\и'у

<u"\du'du",

(1.1.29)

где

Р (и', u")'=Jp (о)

I о) (и 1 ""> Л ,

(1.1.30

Плотность вероятностей

р(и)

находим

как

среднее

зна

чение оператора проекции

ъ(и)

— \и>

<ы|,

и она равна

р (u) =

f jp («', и") S (и' — и) 5 (и" — и) du'du"

= р(и, и),

(1.1.31)

т. е.

совпадает

с диагональным значением

«матрицы»

плотности р(и>',

и").

Используя

предположение

о полноте функции

| у>,

можно линейным преобразованием

I ы> =

<Ü I

и> I о> du,

вернуться

к ^-представлению:

р (ѵ', ѵ")=

j jp (и', и")

< Ü ' |

и'}

<ы" I v">

du'du".

*> Жирной пол'ушобкой, как и іраиее,

обозначены ô-інормироваи-

ные

векторы.

Подставив сюда (1.1.30), получим

р (о', ѵ") = J p	(и) (a I v">	W\v)dv	=
= h(v)Vb(v-v')b(ü-v")	dv=	{ ° -	П Р И V ' ^	ü " '
•J		Ip(f')	при v"	=v'.
				(1.1.32)

Таким образом выяснен вид, который имеет матрица плотности в том представлении через б-нормированные собственные векторы, в котором матрица диагональна.

На этом закончим краткий обзор общих положений квантовой механики и перейдем'к рассмотрению более конкретных вопросов. Начнем с рассмотрения системы квантовых осцилляторов, квантовое описание которой используют при построении квантовой теории поля.

1.2. Квантовый осциллятор и система осцилляторов

Рассмотрим одиночный	осциллятор — систему, пол
ная энергия которой
H = -4m-{p"	+ m^q%	(1.2.1)

где m — масса, р — импульс, q— координата, ©•—часто та собственных колебаний.

Заменяя р и q операторами, из (1.2.1) можно полу чить гамильтониан осциллятора и найти из соответству ющего уравнения собственные значения и собственные векторы гамильтониана. Не будем рассматривать это уравнение в координатном представлении (это подробно сделано в [5]), а нужные свойства собственных векторов •исследуем более удобным способом. Введем оператор

Поскольку операторы р aq самосопряженные, оператор а+, копряженный а, запишем в виде

* + = т і ^ ( т ш ? _ г Я

{ 1 - 2 - 3 )

Для произведения а+а, используя								(1.1.15), имеем
		1mh(ù [(р3 +		' п 2 ш Ѵ ) + ішп (pq — qp)\ =
					H					(1.2.4)
				hui

Аналогичное			выражение		для аа+		будет		отличаться		от
(1.2.4) знаком перед 1/2,					поэтому
			[а, а+] =		а а	+ - а > = 1 .				(1.2.5)
	Введем собственные векторы \Н) оператора									энергии
H	и покажем,		как они преобразуются						операторами		а и
а+.	Для этого		воспользуемся			перестановочными				соотно
шениями,		получаемыми		из (1.2.4), (1.2.5):
			[о, Н\ ~ %ю		а, аг	а —
=%ш{аа+а			— а + а а )	= Аш (а а+				- а +	а)а —^ш,	(1.2.6)
			а+,	а+а		^
			- а + а а +		) =	-	^ша+ .			(1.2.7)
Применяя		оператор H ка\Н)				и	Ъ+\Н),		находим
	На\Н)=аН\Н)		— %ш\Н)			=	[Н-%т)а\Н),			(1.2.8)
Ha+\H)=â+H\H)			+%ш+\Н)			= (Н + %а>)а+ \Н).				(1.2.9)

Таким образом, а\Н) с точностью до нормирующего множителя совпадает с собственным вектором операто ра Н, соответствующим собственному значению H— %а>,

а а+\Н) — с собственным вектором Я,			соответствую
щим //-{-ft* 0 - Поскольку	в соответствии		с (1.2.8)		опера
тор а „уничтожает" один квант		($ш) энергии		осциллято
ра, этот оператор называют оператором			уничтожения, а
оператор а+, действие которого		согласно (1.2.9)			приво
дит к рождению одного	кванта,	называют		оператором
рождения.

Значения	энергии	осциллятора	образуют, как	видно
из (1.2.8), (1.2.9), последовательность вида
где il — целое	Hn	= Ha + nfa,	(1.2.10)
где il — целое	число.	Постоянную	Я 0 и диапазон	изме

нения и определим, исходя из условия положительности

нормы вектора	а\Нп),	т. е.
( Я п \ а ^ а \ Н п ) =	^(Нп\Н\	Нп) - - L = n -	±+-^3*0.

Диапазон изменения ѣ должен быть ограничен снизу. Если принять, что ѣ меняется от нуля до бесконечно сти, то Я 0 мо;кно положить равной fip/2. Тогда а\ #„)= = 0 и последовательность а | Я п ) ^ |Я„_,) естественным образом обрывается. При этом ( Я „ | а + а \ Нп) = п — число

квантов в состоянии \Нп).		Естественно в		связи с
этим	рассматривать оператор	7і=а+а	как	оператор
числа	квантов.

Оператору а можно поставить в соответствие в каче стве динамической переменной комплексную амплитуду колебаний осциллятора а, точнее, комплексно-сопряжен ную величину .а*. Справедливость такого сопоставления подтверждается тем, что связь амплитуды а* в вещест венном гармоническом колебании *)

<7 = Re а* е - ' " '

отличается от формулы (1.2.2) только нормировочным

м.ножителем, и тем, что зависимость a(t) согласно (1.1.23) и (1.2.6) имеет вид

2(f) = 2 ( 0 ) е _ і ш ' •

Последующее рассмотрение подтверждает эти сообра жения.

Рассмотрим свойства состояний, характеризуемых заданной амплитудой а. Вектор такого состояния опре деляем уравнением

2 \| а ) = а * \| а ) .	(1.2.11)
) Пишем а, a не а, чтобы сохранить привычный в теории связи
вид гармонического колебания <хе'ш' (а не	а е —

Найдем распределение вероятностен для координаты и импуль са. Использовав координатное представление *) и выражение а через операторы координаты и импульса (1.2.2), решив эквивалентное диф ференциальное уравнение (1.2.11), можно показать, что вектор | » ) в координатном представлении имеет вид

	{q\a) = jf	m<ù/2h exp (— (х — Re о)= +		2lx Im a } ,	(1.2.12)
где X = q Vinfäßh		— безразмерная	координата.
Переход к импульсному представлению от координатного					требует
отыскания
		<Р\ а) = j <Я	I <*> <Р\ <7> dq
и, поскольку собственная функция оператора				импульса р —— ihd/dq
в координатном представлении есть
		<<7ІР>
сводится к преобразованию (1.2.12) по Фурье:
		1
	<Р I а ) =	/—т— ехр {— {у — Im о)2 — 2iy Im а +
		+ 2« Re a Im о},		(1.2.13)
где у =	р/Уг2тѢ<а.
Из	(1.2.12), (1.2.13) и для импульса, и			для координаты полу

чаем гауссовы распределения со средними значениями, определяе мыми как Re a и Im-a соответственно, и с дисперсиями

aq2=hj2m(ù, о-р2=;пЙ.ш/2,

произведение которых имеет минимальную величину Й.г/4, опреде ляемую соотношением неопределенностей (1.1.14). Таким образом, квантовый осциллятор в состоянии | а ) , называемом обычно коге рентным состоянием, в максимальной допускаемой квантовой тео

рией степени близок	к своему			классическому аналогу		и переходит
. в этот аналог, если	параметры задачи таковы, что /і можно считать
малой величиной. Для этого			требуется		выполнение	неравенств
	(q) >		ag	и {р) >	ор
или
	Re a >	1/2,		Im a >	1/2.	(1.2.14)
Заметим, что состояние		с	заданной энергией \| Я Я ) или, что одно
и то же, с заданным	числом квантов \п),				не переходит	в классиче
ское ни при каком п.	Это ясно хотя бы из того, что \гі) существенно
отличается от \| « + 1).

Квазиклассичиость когерентных состояний определяет их аде кватность для описания систем, которые по своей физической сущ ности при больших амплитудах колебаний должны подчиняться за конам классической физики.

*) В координатном представлении q — q и р = — ih(d/dq).

Как и всякий вектор состояния,	\| а)	можно разло
жить в ряд по собственным векторам	\| п)=	\Нп) операто
ра числа квантов:

л= 0

Подставляя это разложение б (1.2.11) и используя вы

текающее

из (1.2.8)

равенство^! п)—Уп

\ /г— 1) (наличие

множителя Уп обусловлено величиной нормы

{п\а+а\п)=

= п),

получаем

0 0

(п I а)У~п~ I и — 1 ) = а*5] ('?• I а) |

и),

л=І

л= 0

откуда

следует,

что

( л | а ) = Са*я /Ѵг лГ,

где

С — нормировочная

постоянная.

Произведя

норми

ровку

О О

0 0

( а | а ) = £ | ( Я | « > | «

С* £ ЦР=С»е^ = 1.

л=0

л = 0

получаем

окончательно

л=0

Аналогичным

образом можно

определить

собственные

векторы оператора

а+,

которые сопряжены с векторами

| а ) и

которым

соответствует динамическая

переменная а.

На

векторы

|а)

не

распространяются

многие

свой

ства собственных векторов, рассмотренные в

§ 1.1,

поскольку

операторы а не самосопряженные. В

частно

сти,

векторы |<х), |ß) при о.ф§

не ортогональны:

О О

п, т—0

оо

_ Ѵ »

( « И п

о ѵ п

(

І « І ' + І Р П _

Œ - e x

^ e x p | - l ^ - ü y i + « P * | -

.(1-2.16)

Можно, однако, показать, что векторы \а) образуют полную систему векторов. Для доказательства доста точно убедиться, что любой вектор | я), входящий в полную систему векторов, можно представить в виде линейной комбинации \ а). Умножим (1.2.15) на

(а'»/ Ут\) ехр (— I а |3 /2)

и проинтегрируем полученное выражение по всем (комп

лексным)

значениям а.

Интегрирование

легко

провести

в полярных координатах

а —re"*. Все члены ряда в пра

вой части, кроме т-го, обращаются

в нуль, и получается

I m) =

- 1 - J

в " 1 а | 1 / 2 1 a)d>a = ±

j(a|m)|a)d=a

(1.2.17)

(dza

подчеркивает,

что интегрирование

ведется

по двум

переменным на плоскости).

Разложение произвольного вектора по [а)

получа

ем

из разложения

по |/г),

подставляя

(1.2.17):

i f > = 5 j f < « i o i « > = 4 - n s < « i / > - ^

п=0

1-/1=0

е - ^ ' 2 1 a)fa =

±-

f (a) е " 1 Л

= 4-j<a|/>ja>rf=a.

(1.2.18)

Существенно, что

0 0

/(<*)= 2

{>i\t)°-nIVn\

п=0

—

аналитическая

функция

по

всей

плоскости

при

любом I / ) .

Условие только

что

доказанной полноты

системы

векторов

[та),

как

видно из

(1.2.18),

можно записать

в привычном

виде

- ^ j | a ) ( a | d 2 a = l .

(1.2.19)

Можно

получить, в

частности,

разложение

|а) по

|р), из которого следует, что в интегралах

вида (1.2.18)

скалярное

произведение

(a|ß)

[см. (1.2.16))

играет

роль

8-функции*'. Это же свойство произведения (a|ß) прояв ляется, как легко убедиться, в формуле

- L j f (Р) (а I р) е - | ? № б Г р = / (а) е~ '", / 2 ,

(1.2.20)

справедливой для любой аналитической функции f(a). Поскольку разложение (1.2.18) является общим, лю бые преобразования вектора состояния | / ) с помощью операторов можно представить как преобразование соот ветствующих весовых функций f(a). Формулы таких пре образований удобно получать, пользуясь «-представле

нием.

Получим формулы преобразования функций /(а) для

операторов а и а+. Пусть /(«) —весовая функция векто ра состояния до воздействия оператора, a /і(а) — после воздействия. Поскольку

	со		со
\| f , ) = S \| / )	= a E	{n\f)\n)=%(n\f)Vn\n-l)		=
	п=0	л=1
О О				О О
= Е	<"• + 1 1 / ) Ѵ ^ + ~ Ц п )		= S	(п\h)\n),
п = 0				rt=0
то (п. I /,) =	(п -\- 1 I /) у и -\-1 и,		следовательно,
0 0		со		à] (а)
				à] (а)

да '

U Vnl

Li K(n-f- 1)! 1 '

(1.2.21)

Аналогично для J /,) = а+	\f)	(1.2.22)
h	(«)=«/(«).

Перейдем к рассмотрению совокупности /г квантовых осцилляторов. ЕГО удобно вести в нормальных коорди натах, при переходе к которым совокупность связанных осцилляторов заменяют эквивалентной совокупностью невзаимодействующих осцилляторов. Для каждого из не взаимодействующих осцилляторов можно ввести опе раторы координаты, импульса, энергии, рождения и уничтожения кванта, причем любые операторы, относя-

*> Поэтому	«двойная» нормировка, описанная в § 1.1, оказы
вается в данном	случае ненужной.

щиеся к различным осцилляторам, должны (поскольку они действуют на разные составляющие векторов состо яния) коммутировать между собой. В частности, для

2j, a+(j, k = l,...,	k)
[ait	2 + ] = ^ + - а ^ = 8д а .	(1.2.23)

Векторы состояния системы осцилляторов в коорди натном представлении являются нормированными функ

циями k

координат <7і, . . . ,

qu- Перейти

к другим

пред

ставлениям

можно

по обычным правилам, изложенным

в § 1.1. Из

всего

многообразия

представлений

будем

использовать

представление

чисел

заполнения

(чисел

квантов)

когерентное

представление

(через

векторы

•с заданными

амплитудами

aj).

Векторы

состояния

заданными

числами

квантов

являются собственными векторами всех

операторов

чисел

квантов

п^—Ъ^а^

(}=1

и могут

быть представ

лены в

виде

произведения

соответствующих

векторов

для отдельных осцилляторов:

К , . . . , «0 = 1 W > = П1Я3>-	(1.2:24)
/=і

Аналогично собственный вектор всех операторов уничто

жения определяется	системой		уравнений
â j l a , , . . . , ah) = a*j\ai		aft)	при / = 1	k (1.2.25)
и представляется в	виде
К	«*> = І Ы > = Л > і > -			^1 -2 -2 6 )

Любой вектор состояния системы с k степенями сво боды можно разложить по системам векторов (1.2.24), (1.2.26). Эти разложения являются элементарным обоб щением соответствующих разложений для одиночного осциллятора. Формуле (1.2.18) соответствует следующее обобщенное выражение:

OD	k
i / > = £	< K } i / № • } > = \ ( ы \ т ы ) Ц а - ^ >

{«,}=о

(1.2.27)

где

< ы і о = S	( { Ä j } 1 / > P - f e - e 2 ° ' ' ( 1 ' 2 " 2 8 )
Векторы (1.2.26) являются собственными для любой
линейной комбинации	операторов	с комплексными ко
эффициентами
	к
bj = S » * i Â		(1.2.29)
	/=і
которой соответствует собственное		значение
	k
ßj = £ o > V i -		(1-2.30)
	1=1

Совокупность k линейно независимых комбинаций ßi,..., (Зл однозначно определяет совокупность амплитуд <ц,..., ал и, следовательно, вектор |{а3 }). Таким образом,

| ß i , . . . , ß*> = 1 ai

af c ).

(1-2.31)

Определим сопряженный оператор b* как

Можно потребовать, чтобы операторы удовлетво ряли тем же перестановочным соотношениям, что и опе

раторы	<2j. Это требование					наложит существенные огра
ничения	на матрицу			\| \| Œ > * J Z \| \|		преобразования				{аэ-} в {Ь$}:
(ëj,		Ъ+] =	И	w*jiwkm8im			=	Hw*jiWM	=	8jk.	(1.2.32)
			I, m					I
Из	(1.2.32)		следует,		что		преобразование				должно
быть унитарным — матрица						обратного			преобразования
совпадает		с транспонированной						комплексно-сопряжен
ной. Покажем, что введенное преобразование											соответ
ствует	переходу		от системы				гармонических				функций
с частотами ті,				m	к новой			системе	ортонормнро-
ванных функций: Пусть x(t)—комплексная											функция
времени,		представимая			в	виде		суммы	гармонических

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ