книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)

для выяснения основных особенностей оптимальной об­

где размерность у (г, ш) выбрана так, что \y(r, t)\~ сов­ падает с плотностью потока мощности; а(р,ш) — опера­ тор уничтожения, соответствующий элементарной пло­

а+ (р, ео) = а(р,—со) подчиняются перестановочным соот­

ношениям (1.4.6).

Сопоставляя (5.3.1) и (5.2.11), замечаем, что роль суммирования по индексу в (5.3.1) играет интегрирова­ ние по р, а со играет роль индекса, значения которого

одинаковы и в â(p, со), и в у(г, со). Поэтому ядро K(Si, S 2 ) в данном случае имеет вид

эта функция имеет спектр, постоянный в области про­ странственных частот \p\<k и равный нулю вне этой области. Пренебрегая краевыми эффектами вблизи гра­

160

При этом ядро оператора, обратного оператору с ядром (5.3.2), запишем в виде

достаточно узкополосными, чтобы пренебречь изменени­ ем энергии кванта в пределах полосы сигнала, получаем

—оо S

(5.3.5)

Величины | ß j 2 образуют достаточную статистику.

Этот результат совпадает с получающимся при клас­ сическом рассмотрении (умножение на ожидаемый сиг­ нал и интегрирование). Подчеркнем, что в рассматривае­ мом высокочастотном приближении (когда длина волны мала по сравнению с размерами апертуры) одновремен­ но измеримыми оказываются величины ßv , соответствую­ щие просто ортогональным (без всякого веса) сигналам

а также сигналам на неперекрывающихся частях апер­ туры.

Рассмотрим теперь случай гауссова поля, состоящего из излучения фона с равномерным распределением по углам прихода и полезного сигнала в виде пакета пло­ ских волн со средним направлением прихода р0 . Закон изменения сигнала во времени будем считать стационар­ ным случайным процессом со спектральной плотностью среднего числа квантов Л^с(со), промодулированным функцией u(t). При этом функцию корреляции поля у(г, со) записываем в виде

ния фона на одну степень свободы (в элементарной пло­ ской волне); -ф(г, со) характеризует пространственную

161

фазовую модуляцию поля на апертуре;

со

R*c (со,, ш2 ) = - i - j " W c (eu) U (со, - со) (7* (со, - со) й Ц (5 . 3 . 7)

и

с7(со)—спектр нормированного закона модуляции «СО- Задача отыскания достаточной статистики сводится в этом случае к'решению уравнения ( 5 . 2 . 2 0 ) , записывае­

мого в виде

Для отыскания решения прибегнем к ряду упрощений.

Это уравнение удается решить для двух крайних случа­ ев: когда спектр /Ѵс(си) значительно уже или значительно шире спектра модуляции іУ(со). Результат для первого случая получается таким же, как и для регулярного сиг­ нала со случайной фазой. Соответствующая функция правдоподобия получается из функции правдоподобия

162

163

Достаточной статистикой является совокупность ве­ личин /гѵи. = 2*ѵ [ і гѵ и ., причем

пропускание каждого ц-го сигнала через фильтр с ча­ стотной характеристикой вида (sin я)/я и отсчет ннтенсивностей на выходах фильтров в дискретные моменты времени \ =ѵД. Эту достаточную статистику можно, очевидно, использовать как в задачах проверки гипотез и оценки параметров, так и в задачах фильтрации мо­ дулирующего сигнала.

Если рассматривается совокупность сигналов с орто­ гональными законами пространственной модуляции

- j - \ е х Р *— [Ь (г -ш ) - Ф* ( г . Ш Л d T = hb>

s

164

то достаточная статистика для всей совокупности сигналов может быть составлена из величин |zv [ i |2 , определяемых формулами (5.3.15), (5.3.16) с различ­ ными Фэ- (г, ш).

5.4. Основные особенности структуры

оптимального приемника, связанные

сучетом квантовых эффектов

Вэтом параграфе выделим и обсудим основные осо­ бенности оптимальной обработки поля с учетом кванто­

вых эффектов и сравним эту обработку с получающейся

вклассическом случае.

Вслучае регулярного сигнала со случайной фазой обработка не отличается от классической. Если рассма­ тривается совокупность взаимно ортогональных сигна­ лов, то способ объединения величин лѵ , полученных для

каждого из них (см. (5.3.5)], определяется функцией правдоподобия, записываемой в виде произведения рас­ пределений (5.2.10). При произвольных значениях пара­ метров это выражение получается, очень сложным. Для сильных сигнала и шума ( М » 1 и N^>1) оно переходит в классическое (с обобщенными релеевскими распреде­

165

формулой (5.2.7). Для отношения правдоподобия имеем

где все обозначения те же, что и в § 5.3. Выражение для А(у(г, t)] можно существенно упростить, если заменить суммирование по \а интегрированием по частоте. В ре­ зультате, используя предположение о широкополосное™ флюктуации, получаем

пульсная переходная функция фильтра, квадрат модуля частотной характеристики которого медленно меняется

Множитель l/fco обеспечивает измерение выходного сиг­ нала в числах квантов независимо от их энергии.

166

Это выражение совпадает с получающимся при класси­

к измерению мощности сигнала и шума в абсолютных единицах. Квантовые эффекты в этом случае совершен­ но несущественны.

При А/(со)3>1 это слагаемое совпадает с получающимся при классическом рассмотрении.

Таким образом, отличие временной и спектральной обработок в квантовом случае по сравнению с классиче-

-скими сводится к видоизменению характеристики филь­ тра. Пространственная обработка для одиночного точеч­ ного источника не отличается от классической.

При рассмотрении совокупности точечных источников или протяженного источника первостепенными становят­ ся требования одновременной измеримости сигналов от отдельных элементов источника. Эта проблема не воз­ никает, если сигналы от отдельных элементов ортого­ нальны. Если элементарные сигналы элемента источника не разрешены по модуляции, то условие ортогонально­ сти можно записать в виде

Без наложения условий ортогональности задача син­ теза сильно усложняется. В дальнейшем будем рассма­ тривать приемник с набором расстроенных угловых ка­

167

Заметим, что для прямоугольной апертуры совокуп­ ность непродетектированных выходных сигналов таких приемных каналов при максимально плотном заполне­ нии ими пространства р образует достаточную статисти­ ку. Это следует непосредственно из теоремы Котельникова. Максимально плотное заполнение получается при расположении каналов в узлах прямоугольной «решет­ ки» с расстоянием (в угловой мере) между линиями X/d, где d— размер соответствующей стороны апертуры.

Для круглой апертуры максимально плотное запол­ нение не исследовано. Приближенно, пренебрегая неор­ тогональностью опорных сигналов в несмежных каналах, можно считать, что это заполнение получается при рас­

Проанализируем оптимальный способ объединения сигналов в угловых каналах при наблюдении заданной совокупности точечных источников, сигналы которых флюктуируют по закону Гаусса. Будем считать сначала сигнал медленно флюктуирующим и достаточно узкопо­ лосным, чтобы пренебречь изменением спектральной плотности фона в полосе сигнала, и полагать ехрг/фг*» »=ехр icûopr/c для всех рассматриваемых р и г. Как сле­ дует из (5.2.7), (5.3.5), отношение правдоподобия в этом случае можно записать в виде

А і У № е х Р { ^ п < ; + : т л і ; ' ' -

где (без учета сферичности волн)

со

Sj|-u(f)|*di

—0 0

одну степень свободы. Для случаев малых и больших чисел квантов из (5.4.8) получаем предельные соотно-

168

стрированы кванты, можно записать (5.4.8) для протя­ женной цели в виде

Л [у (г,

(5.4.10)

При такой форме записи результаты для случаев ма­ лого и большого числа квантов (Л/•< 1, u.<С 1 и Л / > 1 ) пол­ ностью совпадают с результатами для пуассоновского и для классического случаев соответственно.

5.5. Оптимальная обработка поля при наличии фазовых искажений

Определим, как.меняется оптимальная обработка по­ ля при наличии фазовых искажений поля на апертуре. Эти искажения могут быть обусловлены рассеянием на турбулентности в среде (атмосфере, например, см. гл. 1) или погрешностями оптической системы. Известно, что такие искажения существенно снижают разрешающую способность оптических приборов при обычно используе­ мых в этих приборах способах обработки поля.. Синтези­ рованный в {92] для классических полей способ обработ­ ки позволяет, в принципе, обеопечить разрешающую спо-