книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)

гих случаях. Так, например, в задаче определения на­ правления на цель, угловое положение которой может меняться непрерывно, в качестве квазиоптималы-юго, можно использовать приемник, рассчитанный на диск­ ретные направления, для которых сигналы на приемной апертуре ортогональны. Такой принцип построения при­ емника очень часто реализуют на практике.

Обсуждаемое требование не выполняется в важной для практики задаче разделения сигналов от близкорас­ положенных целей, решению которой для классических сигналов уделялось и продолжает уделяться большое внимание. В квантовомеханическом случае пока не уда­ лось найти оптимальный приемник для этой задачи. Возможные постановки задачи синтеза и ограничения, связанные с кватовой структурой поля, будут обсужде­ ны в § 5.5.

Итак, описаны общие • подходы к задаче проверки статистических гипотез о квантовомеханической системе. В случае, если такой системой является поле, заполняю­ щее, вообще говоря, все пространство, немаловажно и то, какая часть поля считается доступной для наблюде­ ния. В работе К- В. Хелстрома ,[86] в качестве доступной для наблюдений системы рассматривалось поле в огра­ ниченном объеме — ловушка с затвором со стороны входной апертуры. В этой части подход К. В. Хелстрома близок к использованному П. А. Бакутом в (84, 85].

В работе автора ,[88] доступным для наблюдения счи­ талось изменяющееся поле на плоской апертуре. Эта ситуация ближе, по-видимому, к имеющимся на прак­ тике. Такой же случай был рассмотрен и К. В. Хелстромом в [90].

Результаты синтеза оптимального приемника для различных вариантов наблюдения поля (в объеме, на апертуре и т. д.), разумеется, получаются различными. Однако для поля в ловушке и на апертуре эти результа­ ты, как справедливо отмечено в (91], могут быть преобра­ зованы друг в друга, поскольку эти поля связаны взаим­ нооднозначно.

Процедура синтеза во всех случаях содержит два этапа. Сначала по оператору плотности поля во всем пространстве необходимо построить оператор плотности доступной для наблюдения части поля (подсистемы по отношению к полю), а затем .применить к подсистеме опи-

151

санную процедуру нахождения оптимального способа принятия решения.

Для большей наглядности сначала рассмотрим более простой случай дискретной совокупности мод, а затем задачу оптимальной регистрации поля на апертуре.

5.2. Оптимальный приемник для дискретной совокупности мод

Рассмотрим сначала случай, при котором исследуе­ мое поле представляет собой дискретную совокупность конечного числа (т.) мод. Будем считать, как и раньше, что оператор плотности поля представлен в виде

ния, совпадающая с классической функцией распреде­ ления для комплексных амплитуд; интегрирование про­ изводится по комплексным плоскостям CZJ.

Хотя по форме представление (5.2.1) диагонально,

нельзя рассматривать как вероятностную меру на мно­ жестве состояний |{«j}> из-за их неортогональности. Нужно искать диагонализирующее представление, свя­ занное с собственными функциями каких-либо эрмито­ вых операторов.

Рассмотрим два случая: гауссова сигнала и регуляр­ ного сигнала со случайной фазой при наличии аддитив­ ной гауссовой помехи с некоррелированными значениями

Nj — среднее число квантов помехи в у'-й моде, ||i?jftcll— корреляционная мятрица полезного сигнала.

152

Перейдем от комплексных амплитуд d,- к новому на­ бору амплитуд ß„ с помощью унитарного линейного пре­ образования, матрица которого ЦУ^ІІ составлена из соб­

' і

можно рассматривать как амплитуды ортонормированных негармонических колебаний, в виде суперпозиции которых представимы колебания рассматриваемой си­ стемы гармонических осцилляторов.

Операторы bv, b*. соответствующие амплитудам ß*v, ßv, обладают всеми свойствами операторов уничтожения

операторов {Ьѵ} и могут быть представлены в виде про­ изведений собственных векторов |ßv ):

|{«*}>=П|«*)=1Ш>=П|р,>.

зуется в произведение операторов плотности для типов колебаний с амплитудами ßv

Подставляя в (5.2.4) разложение (1.2.15) |ßv ) по соб­ ственным векторам оператора числа квантов

получаем

К" К"

"С + "ѵ )

!J]Pv(")l'0(«J- (5.2.6)

Согласно (5.2.6) оператор рѵ днагонален в представ­ лении чисел заполнения. Таким образом, для рассматри­ ваемого случая достаточной статистикой является сово­ купность чисел заполнения /?.ѵ для комплексных типов

колебаний с амплитудами ßv , связанными с амплитудами üj колебаний в исходных модах унитарным линейным преобразованием, диагоиализирующим корреляционную матрицу.

Совокупность {/гѵ} является, очевидно, достаточной

статистикой для принятия решения и тогда, когда допу­ скаемым гипотезам соответствуют гауссовы поля с ком­

общую систему собственных векторов. Логарифм функ­ ции правдоподобия для совокупности измеренных вели­

Рассмотрим теперь случай, при котором каждая мо­ да представляет собой суперпозицию регулярного сиг­ нала и гауссова фона, причем сигнал во всех модах имеет общую случайную фазу с равномерным распреде­ лением в интервале (0; 2л). Для упрощения предполо­ жим, что интенсивность фона для всех рассматриваемых мод одинакова. Реально это предположение обычно вы-

154

полняется из-за относительной узкополосности регуляр­ ных сигналов. В этом случае

взаимной ортогональности. При этом (5.2.7) преобразует­ ся в произведение распределений для различных ßv, при­ чем каждый сомножитель будет зависеть только от |ßj . Применяя в каждом сомножителе разложение | ßv> по |/гѵ> , легко убедиться, что если p(ßv ) зависит только от Iß,|, то достаточной статистикой является совокупность величин «v = |ßJ 2 . Этот результат верен и для совокуп­ ности m взаимно ортоганальных сигналов, что следует из вида использованного преобразования (5.2.9).

Распределение pv(/z) приобретает вид

о

Произведение распределений рч (яѵ ) определяет опти­ мальный способ объединения результатов измерений «ѵ

в тех случаях, если принимаемое решение касается всех сигналов в совокупности.

В рассмотренном случае доступными для наблюдения являлись амплитуды {щ}. Большой интерес 'представляет отыскание оптимальной обработки, когда наблюдается суперпозиция мод, представляющая поле в определенной области пространства например:

i

Поле в области 5 о не определяет {а;} однозначно и ха­ рактеризует некоторую подсистему поля в целом. Пер­ вым шагом должно быть получение оператора плотности для этой подсистемы.

Пусть У Ѵ (s)—ортогональная система функций в S0. Раз­ ложим у (s) по этой системе (считая, что это возможно):

где Яѵ — нормировочный коэффициент.

Потребуем, чтобы операторы*'уѵ , у* подчинялись та­ ким же коммутационным соотношениям, как и Oj, ay:

*' Напомним, что соглаоно введенным в гл. 1, обозначениям оператору âj соответствуют собственные значения a*j, поэтому в опе­

раторном аналоге соотношений (5.2.11), (5.2.12) коэффициенты за­ менены на комплексно-сопряженные.

156

Шмидта [23]. Заметим, что при этих условиях амплитуды Yv оказываются некоррелированными, если были не коррелированы амплитуды а,-.

Дополним систему функций vv (s) до полной ортого­ нальной системы функций во всем пространстве (дока­ зательство возможности дополнения см. в (3]). Такое построение можно осуществить, введя ортогональную си­ стему функций, полную по отношению к функциям, представимым истокообразно с ядром K(si, S2) в подпро­ странстве So, дополняющем 50 до всего пространства, и полагая эти функции равными нулю на So, а функции

У ѵ (s) считая равными нулю на So. Если подпространст­ ва S0 и So имеют разную размерность, то vv (s) следует домножить на о-функцию с аргументом, обращающимся в нуль на So. Полученную таким образом дополнитель­ ную систему функций обозначим {г^0> (s)}, а коэффициен­ ты в разложении поля по этим функциям — 7'°'.

Таким образом, весовую функцию р . ({YJ) в новом представлении получаем из имеющейся p({<*j}) по обыч­ ным правилам преобразования плоти 'сти вероятностей. Дальнейшая процедура синтеза не отличается от рас­ смотренной в начале данного параграфа.

157

Операции формирования достаточной статистики удобно представить в виде преобразований наблюдаемо­ го поля у (s). Согласно (5.2.5), (5.2.13) элементы доста­ точной статистики для гауссова сигнала есть /?.ѵ = оѵ + Ьѵ - где

п оля, при котором диагонализируются одновременно кор­

зами достаточной статистикой является совокупность величин /гѵ = pvps,=v, где

j j L * (s,, s2 ) L / * V (S,) (/ (sa) ds,ds2

1/2 (5.2.21)

- S0

158

Найденные соотношения показывают, что задача син­ теза сводится к решению однородных интегральных уравнений. Отыскать такие решения в явном виде удает­ ся, как известно, лишь в исключительных случаях. В остальных случаях приходится довольствоваться при­ ближенными решениями. Однако в данном случае ис­

можно ставить под сомнение допустимость приближений в таких задачах, поскольку преобразования сигнала, вы­ текающие из приближенных решений, физически невы­ полнимы.

Опровергнуть это утверждение, конечно, невозможно. Можно лишь противопоставить его категоричности сле­ дующие соображения. Разумеется, не удается построить прибор, измеряющий одновременно неизмеримые величи­ ны. Поэтому фактически прибор, построенный для изме­ рения величин, выбранных по'результатам приближенно­ го решения задачи синтеза, будет измерять не их, а не­ которые другие одновременно измеримые величины. Эти

Применим полученные результаты к задаче отыска­ ния оптимальной обработки поля на апертуре. В каче­

При этом продолжительность наблюдения априори не ограничена. В конкретных задачах эта продолжитель­ ность определяется длительностью сигнала. Такой спек­ тральный подход выбираем здесь из соображений удоб­ ства. Различие со случаем, при котором жестко ограни­ чено время наблюдения, не является принципиальным

159