
книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)
.pdfСуществующие оптические фильтры весьма широкопо
лосны: |
Д/^— I0 U , а время |
Г ~ Ю - 8 — Ю - 7 , |
поэтому m |
обычно |
очень велико. Множитель 2 в (3.4.2) |
учитывает |
|
наличие двух независимых |
поляризаций. |
|
|
Законы распределения |
выходных сигналов приемни |
ков с непосредственным фотодетектпрованием можно не которыми упрощениями свести к законам распределения, рассмотренным в § 2.2. Для этого достаточно аппрокси мировать импульсную переходную функцию 'пространст венно-временного фильтра, следующего за фотодетекто
ром, функцией, принимающей |
только два |
значения (О |
и 1), т. е. предположить, что в |
приемнике |
подсчитыва- |
ются электроны, появляющиеся за время Т на поверх ности 5 Д фотодетектора. Для других видов импульсной переходной функции удается рассмотреть только пре дельный случай, при котором распределение для сигна ла можно считать гауссовым.
Распределение для числа электронов помехи, обу словленных собственным шумом приемника и фоном, можно, в соответствии с уже сказанным, считать пуассоновским. Величину порога, соответствующую заданному среднему числу помеховых электронов WE и выбранной
вероятности ложной тревоги F, можно найти из табл. 2.1, а при JVs ^>1 МОЖНО воспользоваться гауссовым прибли
жением.
При наличии на входе приемника регулярного сиг нала z(r, t) и фона распределение для числа электронов можно также считать пуассоновским со средним числом электронов
т |
|
71 = /VS + M, где М= \\\z(r,t)\2 |
dt |
поскольку мало среднее число электронов, приходящих ся на одну степень свободы фона (§ 3.2).
Пуассоновским распределение получается и в случае флюктуирующего сигнала, если мало число сигнальных фотоэлектронов, приходящих на одну степень свободы сигнала. Для некогерентного источника, например,
|
т с ^ 2 Д / 7 , ( 1 + О ц 5 / Я 2 ) , |
(3.4.3) |
где А/ — полоса |
фильтра (обычно Д / Г » 1 , |
поэтому знак |
«целая часть» |
здесь можно опустить). |
Множитель 2 |
120
здесь, как и в (3.4.2), учитывает наличие двух незави симых поляризаций.
При M r f - A / j ^ l пуассоновское распределение для сигнала с помехой можно заменить гауссовым.'При этом
пороговый сигнал |
определяется формулой (2.2.6) и про |
|
порционален Y |
В |
э т о м случае легко получить |
явное выражение для пороговой мощности сигнала Р.
Считая Ar £ = |
v u 5 Ä j r |
и |
M = qPT, |
где q — квантовая |
|
эффективность, |
из (2.2.6) |
получаем |
|
||
р==Ѵ^гѴ-^ГІФ-ЧІ |
|
|
+ |
- ß ) l = |
|
~ Ѵ |
^ Г |
[Ф-1 (1 - |
+ |
Ф - 1 (1 - Р ) ] . (3-4.4) |
Величину D, имеющую размерность см Гц1 / 2 /Вт,' назы вают обнаруживающей способностью приемника и широ
ко |
используют в литературе по инфракрасной технике |
в |
качестве параметра, характеризующего чувствитель |
ность фотодетектора. Формулу (3.4.4) можно получить, как легко видеть, и не предполагая поток темновых элек тронов пуассоновским, амплитудные флюктуации отсут ствующими, а приемник эквивалентным счетчику элек тронов. Учет всех факторов скажется лишь на величине D, определяемой обычно для ИК приемников экспери ментально. Из-за инерционности фотодетектора и осо бенностей спектра шума различного происхождения величина D зависит от быстроты изменения сигнала. Обычно указывают значение частоты модуляции светово
го потока, к которой относится измеренное |
значение D. |
|||
В случае, если число степеней свободы сигнала неве |
||||
лико, |
распределение для |
числа электронов |
получаем |
|
в виде свертки отрицательно-биномиального |
и пуассонов- |
|||
ского |
распределений. Для расчета характеристик обна |
|||
ружения в этих случаях можно воспользоваться |
прибли |
|||
жениями, рассмотренными |
в § 2.2. При / п с = 1 для поро |
|||
гового |
сигнала получаем |
явное выражение |
(2.2.23) : |
|
|
І Д 7 ^ ( / г 0 - Л д / 1 п ( 1 - р ) . |
|
(3.4.5) |
При т с > 1 для оценок порогового сигнала можно, как было показано в § 2.2, использовать интегральный закон отрицательно-биномиального распределения (рис. 2.4—
121
2.8), учитывая наличие помехи уменьшением порога на величину N,..
Рассмотрим точность измерения дальности измерите лем с -двумя расстроенными по дальности каналами, когда последовательность электронов пуассоповская. Оценка выражается формулой, аналогичной (2.4.4) :
|
|
|
J 1/(0 |
|
|
dt |
|
|
|
|
àx \ |
Дт |
(3.4.6) |
|
|
|
|
|
||
|
|
( J ' < " |
|
|
|
|
где |
y(t)=Yib(t |
— |
{tj} — моменты |
появления элек- |
||
тронов. |
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
(3.4.1), имеем |
|
|
||
|
J |
K + V o |
( 0 ] |
|
|
'dt |
|
|
|
|
|
|
(3.4.7) |
|
|
С И |
|
|
dtj |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
V J |
I , vc{t) |
—частоты появления помеховых и сигналь |
ных электронов. Можно убедиться, что при оптимальном
опорном сигнале (v(t) = ln(l + ѵ с ( / ) / ѵ п ) |
и |
(3.4.7) |
|||
переходит в |
выражение |
для |
дисперсии |
эффективной |
|
оценки |
|
К (01= |
|
|
|
|
|
•dt |
|
(3.4.8) |
|
|
|
* п + Ѵ 0 ( 0 |
|
|
|
Формула (3.4.7) отличается от дисперсии аналогич |
|||||
ной оценки, |
получаемой |
по выходному |
сигналу квадра |
тичного приемника поля, отсутствием слагаемого, свя занного с классически описываемыми флюктуациями поля. Это вполне понятно, так как переход к пуассоновскому распределению эквивалентен отказу от учета этих флюктуации. Аналогичным образом меняются результа ты для точности измерения угла.
Вопрос о разрешающей способности по дальности для локационных приемников с фотодетектированием оказы
вается 'Несколько |
сложнее, |
чем в |
радиодиапазоне. |
В данном случае |
не удается |
ввести |
какую-либо одну |
функцию, характеризующую разрешающую способность, поскольку распределение для выходного сигнала, пред ставляющего собой сумму возмущений, обусловленных 122
отдельными электронами, является многопараметрнческим. Семиинварианты этого распределения [59]
0 0
|
—оо |
|
(ѵ\1)—опорный |
сигнал) могут ібыть выражены |
через |
один параметр только в простейшем случае, когда |
v(t) — |
прямоугольный импульс. Тем не менее, вопрос о вели чине интервала разрешения можно решить достаточно просто для произвольного импульсного сигнала.
Сложнее оказывается решение при непрерывном из лучении с дополнительной модуляцией по интенсивности. В этих случаях необходимо учитывать возможность по явления откликов при больших расстройках между опор ным и принимаемым сигналами (аналог боковых лепест ков функции неопределенности в радиолокации).
Рассмотрим для примера случай сигнала в виде по следовательности прямоугольных импульсов с линейно изменяющейся частотой повторения (аналог линейной 4M) или с кодовой модуляцией периода (аналог ФК.М). Пусть опорный сигнал совпадает по форме с излучае мым. Функция
оо
—оо
пропорциональная среднему значению выходного сигна ла, является аналогом функции неопределенности. В этой формуле Г0 — суммарная длительность всех импульсов в последовательности. Легко видеть, что
оо |
|
|
Ç C , ( ^ = |
7V |
|
— 0 0 |
|
|
Поскольку при хорошо выбранной модуляции |
периода |
|
длительностью основного пика |
функции Ci(тг) |
можно |
пренебречь, полученное равенство определяет средний уровень баковых лепестков: Та/2Т, где Т — общая дли тельность сигнала. Эта величина, очевидно, определяет степень использования .генератора непрерывного излуче ния и не может быть сделана малой.
'На первый взгляд кажется, что для устранения по бочных пиков Сі(т) достаточно исключить из опорного
сигнала постоянную составляющую, т. е. заменить ѵ(t)
123
в (3.4.9) на vi{t) =v(t)—Т0/Т |
{0<t<T). |
Однако в этом |
случае побочные максимумы |
появятся |
в дисперсии |
Средний уровень С2 (т) равен |
Т0/2Т(1—Т0/Т). |
Из этого примера можно |
сделать вывод, что в тех |
случаях, если достоверность обнаружения и точность из мерения параметров определяются флюктуациями выход ного полезного сигнала, не удается подобрать закон модуляции интенсивности, обеспечивающий высокую раз решающую способнсть. Отраженные сигналы, распола гающиеся на оси задержек в пределах длительности Т, могут давать значительный вклад в помеху в канале, настроенном на какое-либо значение задержки.
Если же уровень помехи достаточно высок, так что можно считать сигнал гауссовым и пренебречь добавка ми к дисперсии, обусловленными как полезным, так и мешающими сигналами, то разрешающая способность полностью определяется функцией Сі(-т) и для модуля ции сигнала по интенсивности справедливы все резуль таты (при исключении постоянной составляющей), полу ченные для радиолокации.
4 |
ПРИЕМНИКИ С УСИЛЕНИЕМ |
|
И ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ЧАСТОТЫ |
||
Создание оптических приемников с когерентным уси |
||
лением |
света |
и с преобразованием частоты представляет |
интерес |
как |
один из путей повышения чувствительности |
•и помехоустойчивости по отношению к фоновому излу чению. Кроме того, приемники с преобразованием часто
ты позволяют извлекать |
информацию, заключенную |
|
в фазе светового |
сигнала. |
|
Исследованию |
шумовых |
характеристик и анализу |
чувствительности приемников с когерентным усилением света посвящено довольно много работ. В наиболее ран
них из них [60] рассчитывалась средняя мощность |
шума |
в усилителе с помощью известных соотношений |
между |
интенсивностями спонтанного и индуцированного излу чений. В [61, 27] усиление излучения рассматривалось как процесс размножения и гибели фотонов, причем роль
124
усиливаемого сигнала играло начальное число фотонов. В [63, 64] задача решалась методами квантовой теории: отыскивался оператор плотности поля в момент t (вы ходной сигнал) при заданном начальном операторе (входной сигнал). В [65, 66] аналогичное рассмотрение проводилось для параметрических усилителей. К недо статкам постановки задачи в этих работах следует от
нести то, что усиление рассматривалось |
как временной |
|
процесс |
(в линейном приближении, |
использованном |
в этих |
работах, коэффициент усиления |
неограниченно |
нарастает со временем), а также излишнюю детализа цию рассматриваемой модели усилителя. Первый из этих недостатков отсутствует в [67], где усилитель представ лен некоторым «черным ящиком», преобразующим поле. Однако в этой работе математическое описание «черного ящика» содержит ряд неоправданных идеализации. При водимое далее рассмотрение усилителей будет основано главным образом на результатах работы [68]. Подход, использованный в этой работе, базируется на идеях флюктуацнонио-днссипационной теоремы и общих свой
ствах линейных |
преобразовании |
поля*> и |
позволяет |
с общей точки зрения рассмотреть |
квантовые >и парамет |
||
рические усилители, а также преобразователи |
частоты |
||
излучения. Для |
описания поля воспользуемся аппаратом |
характеристических функционалов, развитым для кван товых полей в [65, 66].
Из всех возможных вариантов приемников с преоб разованием частоты довольно подробно изучен только вариант с преобразованием на фотокатоде. В работах [52—54] рассматривалась оптимальная обработка сигна ла в приемнике с таким преобразователем и проводи лось сравнение [54] с приемником прямого детектирова ния. В [69] рассмотрена угловая селективность преобра зователя. В [70, 71] обсуждалось влияние на характе ристики супергетеродинного приемника флюктуации поля, связанных с распространением в атмосфере. Име ются (Сообщения о попытках использовать супергетеро динный приемник с преобразованием на фотодетекторе
воптической локации [72].
Вданной главе будет показано, что приемник с пре образователем на фотодетекторе при определенных усло-
*' В опублиіковамяой несколько позже работе {62] описан метод анализа шума в линейной системе с распределенными параметрами, близкий к использованному в [68].
125
виях эквивалентен приемнику с усилением светового сигнала, будут рассмотрены пути обеспечения шпрокополосности и «широкоугольное™» приема и сформули рованы условия, при которых использование супергете родина повышает чувствительность по сравнению с чув ствительностью приемника прямого фотодетектирования.
4.1. Связь состояний поля на выходе и на входе линейной системы
Представим скалярное поле на входе и на выходе линейной системы в виде суперпозиции соответствующим образом выбранных ортоиормироваиных типов колеба ний (вообще говоря, различных на входе и па выходе). Операторы коэффициентов разложения, т. е. операторы рождения н уничтожения фотонов в -соответствующих модах, в силу линейности системы связаны линейной зависимостью. В общем случае эту зависимость можно представить в виде
a, (s) = j |
[и (s, s') я, (s') + |
V (s, s1) a* (s')] ds' +1 (s), |
|
|
|
|
(4.1.1) |
где индексы «1» и «2» относятся к входным и |
выходным |
||
величинам |
соответственно; |
s — индекс моды |
(частота, |
направление распространения, поляризация), b(s) — опе ратор, учитывающий собственное излучение системы.
Вопрос о связи характеристик собственного излуче ния линейной среды с ее восприимчивостью уже затра гивался в § 1.3. Оказывается, что такого рода связь мо жет быть установлена на основе весьма формальных соображений для любой линейной системы, в чем сейчас убедимся.
Операторы рождения и уничтожения на входе и на выходе должны подчиняться перестановочным соотноше ниям:
[a (s,). a(s2 )] = [ a + ( S l ) , a+ (s2 )] = 0,
(4.1.2)
[a (s,), a + (s a )]^8 . (s, - s 2 ) .
126
Подставляя (4.1.1) в эти соотношения, |
получаем |
|||||
\Ь (s,),- b+ (s2)] = S (s, - Sa) - |
j |
[u ( S l , |
S ' ) u* (S2, |
5') - |
||
— o(s,. |
s')v*(s„ |
|
s')]ds', |
|
|
|
|
|
|
(4.1.3) |
|||
[£(*,), Î(sa )] = |
- J [ u ( s 1 , |
s > ( s 2 , |
s ' ) - |
|
||
- o(s, , |
s')«(s2 , |
s')]ds'. |
|
|
(4.1.4) |
|
Таким образом, коммутаторы |
операторов b(s) |
и ö + |
||||
однозначно определены |
передаточными |
характеристика |
||||
ми линейной системы. |
Покажем, |
что для |
ряда |
важных(5) |
случаев полученные перестановочные соотношения опре деляют характеристики поля собственного излучения на выходе системы.
Состояние поля на входе и на выходе будем описы
вать |
с помощью нормализованного (т. е. представлен |
|||
ного |
в |
нормальной |
форме) характеристического функ |
|
ционала |
6[ T ) ( S )] |
(СМ . 1.4.13), |
взаимооднозначно свя |
|
занного |
с оператором плотности |
р: весовой функционал |
в Я-представлении оператора плотности выражается формулой
Р [a (s)} = j Ф [т, (s)) ехр { — i J [a (s) т,* (s) +
Рассмотрим характеристический функционал поля на
выходе и подставим в него вместо «2(s) правую часть выражения (4.1.1). Для перегруппировки членов в пока зателях экспонент в полученном выражении удобно вос пользоваться операторным равенством [1]
е Г е " = е М / Ѵ ^ , |
(4.1.6) |
справедливым, если [Â, В] коммутирует с Â и В.
Доказать |
это |
равенство можно следующим образом. Присово |
купим формально |
к А и В множитель X. Дифференциальное урав |
|
нение dF/d\ = |
(А -{- В) F вместе с начальным условием F = 1 при |
А.=0 определяет однозначно оператор е * ' / ! + й ' . Покажем, что оператор
е -[Х. fil V/2eT£Ïe>SŒ Г, (X),
127
удовлетворяющий, очевидно, тому же начальному условию, удовлет воряет и дифференциальному уравнению
|
|
|
|
д-~ |
= — Х [2, |
Ъ]1>і = 2?! |
- f e % e Ö |
= |
|
|
|||||
|
|
= |
(- |
Х[2, |
Ѣ] |
+ |
3 |
+Ъ + |
X [2, |
В]) ? , = ( Я + 2 ) . |
|||||
В |
последнем |
|
равенстве |
|
использовано |
|
соотношение |
[^А, |
5] = |
||||||
= |
Х[Л, ß ] |
e M , |
вытекающее из легко доказываемого методом индук |
||||||||||||
ции равенства \2п, |
В] = п\2, |
Ѣ] |
2п~1. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Представляя |
с помощью |
(4.1.6) |
|
<D[r|(s)] |
в виде |
|||||||||
|
|
|
|
®h(s)] = |
e x p [ - - i - J h ( s ) | a * ] X |
|
|
||||||||
|
|
|
X |
(exp { i |
J [т, (5 )â+ (5) _|_ T,* (s) a (s)] ds] )> |
|
|
||||||||
подставляя |
в это выражение |
(4.1.1), |
перегруппировывая |
||||||||||||
члены и вновь используя (4.1.6), получаем |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Ф= fom |
= |
Ф, [к (s)] Ф„ [-Q (s)] exp { - i - X |
|
|
||||||||
где |
|
|
|
X j i h ( 5 ) | 2 - | x ( 5 ) l 2 ] d s | , |
|
|
(4.1.7) |
||||||||
|
|
x(s') |
|
= ^[u*(s, |
|
S')H(S) |
— Ü(S, s') T,* (s)} ds, |
(4.1.8) |
|||||||
— |
Ф,[ті |
(5)] |
= |
(ехр |
{i |
J h ( s ) ö + ( S ) + V = ( s ) ö ( 5 ) ] & } ) |
|
(4.1.9) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
характеристический |
функционал, |
описывающий |
соб |
|||||||||||
ственное |
излучение |
системы |
(не |
приведенный |
к |
нор |
|||||||||
мальной форме). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Характеристический |
функционал |
выходного |
излуче |
ния полностью определяется характеристическим функ ционалом входного излучения, передаточными функция ми системы u(s, s') и v(s, s') и характеристическим функционалом собственного излучения.
В силу линейности системы оператор T>{s), описы вающий собственное излучение, линейно связан с опе раторами собственного излучения для отдельных атомов. Поскольку спонтанное излучение отдельных атомов -про исходит независимо, то при нахождении Фо[п] усредне ние нужно производить по различным атомам отдельно.
128
Поскольку число атомов, находящихся в одинаковых
условиях по отношению к полю, предполагаем |
большим, |
||
можно для Ф0[т) (s)] использовать гауссово |
приближение: |
||
Ф0 [т) (s)] |
ехр І2/ Re jTJ (S) (6 (S)) ds |
- |
|
~ ~ H î |
7 1 ( S 2 ) ( [ * ( s J ' f + |
+ |
|
+ F(s,) 6 (s2) + V (s,) ö+ (s2)) ds,rfs2 j |
, |
(4.1.10) |
где [A, Ъ]+ = АЁ-\-ВА— антикоммутатор. Приближение (4.1.10) получено из произведения функционалов для отдельных атомов точно такими же преобразованиями, которые используют при доказательстве центральной пре дельной теоремы. Принимая это приближение, сводим
задачу к нахождению первых и вторых моментов b(s),
b+(s), которые линейно связаны с первыми и вторыми моментами излучения отдельных атомов.
В 'большинстве случаев фазы собственного излучения отдельных атомов полностью случайны и
|
|
<ß(s)) = |
(V(sl)b(st))=0. |
|
|
|
(4.1.11) |
||
Тогда |
решение |
задачи |
сводится |
к установлению связи |
|||||
между |
средним |
значением |
[6 (Sj), |
b + ( s 2 ) ] + |
и |
коммутато |
|||
рами, |
определяемыми формулами |
(4.1.3), |
(4.1.4). Если |
||||||
выполняются условия |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
- (b (s,) Ъ+ (s.J) > |
0, |
(S* (Slfb |
(s2)) S* 0, |
|
(4.1.12) |
|||
то справедливо |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
||
|
( [ % , ) , |
Ь+ & ) ] + > > 1 |
(И*,), |
> (s2))) |
I, |
(4.1.13) |
и модуль правой части формулы (4.1.3) определяет минимальный уровень шума линейной системы, который достигается при условии, что хотя бы в одном из нера венств (4.1.12) выполняется равенство.
Рассмотрим первые и вторые моменты спектра излу чения отдельного атома <7(ш), считая состояние среды стационарным. В соответствии со сказанным в § 1.4, спектральной составляющей q(a>) (CÙ>0) ставится в со ответствие оператор <7+(ш), а составляющей q(—со) — оператор q{a).
9—220 |
129 |