Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)

.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
7.08 Mб
Скачать

Существующие оптические фильтры весьма широкопо­

лосны:

Д/^— I0 U , а время

Г ~ Ю - 8 — Ю - 7 ,

поэтому m

обычно

очень велико. Множитель 2 в (3.4.2)

учитывает

наличие двух независимых

поляризаций.

 

Законы распределения

выходных сигналов приемни­

ков с непосредственным фотодетектпрованием можно не­ которыми упрощениями свести к законам распределения, рассмотренным в § 2.2. Для этого достаточно аппрокси­ мировать импульсную переходную функцию 'пространст­ венно-временного фильтра, следующего за фотодетекто­

ром, функцией, принимающей

только два

значения (О

и 1), т. е. предположить, что в

приемнике

подсчитыва-

ются электроны, появляющиеся за время Т на поверх­ ности 5 Д фотодетектора. Для других видов импульсной переходной функции удается рассмотреть только пре­ дельный случай, при котором распределение для сигна­ ла можно считать гауссовым.

Распределение для числа электронов помехи, обу­ словленных собственным шумом приемника и фоном, можно, в соответствии с уже сказанным, считать пуассоновским. Величину порога, соответствующую заданному среднему числу помеховых электронов WE и выбранной

вероятности ложной тревоги F, можно найти из табл. 2.1, а при JVs ^>1 МОЖНО воспользоваться гауссовым прибли­

жением.

При наличии на входе приемника регулярного сиг­ нала z(r, t) и фона распределение для числа электронов можно также считать пуассоновским со средним числом электронов

т

 

71 = /VS + M, где М= \\\z(r,t)\2

dt

поскольку мало среднее число электронов, приходящих­ ся на одну степень свободы фона (§ 3.2).

Пуассоновским распределение получается и в случае флюктуирующего сигнала, если мало число сигнальных фотоэлектронов, приходящих на одну степень свободы сигнала. Для некогерентного источника, например,

 

т с ^ 2 Д / 7 , ( 1 + О ц 5 / Я 2 ) ,

(3.4.3)

где А/ — полоса

фильтра (обычно Д / Г » 1 ,

поэтому знак

«целая часть»

здесь можно опустить).

Множитель 2

120

здесь, как и в (3.4.2), учитывает наличие двух незави­ симых поляризаций.

При M r f - A / j ^ l пуассоновское распределение для сигнала с помехой можно заменить гауссовым.'При этом

пороговый сигнал

определяется формулой (2.2.6) и про­

порционален Y

В

э т о м случае легко получить

явное выражение для пороговой мощности сигнала Р.

Считая Ar £ =

v u 5 Ä j r

и

M = qPT,

где q — квантовая

эффективность,

из (2.2.6)

получаем

 

р==Ѵ^гѴ-^ГІФІ

 

 

+

- ß ) l =

~ Ѵ

^ Г

[Ф-1 (1 -

+

Ф - 1 (1 - Р ) ] . (3-4.4)

Величину D, имеющую размерность см Гц1 / 2 /Вт,' назы­ вают обнаруживающей способностью приемника и широ­

ко

используют в литературе по инфракрасной технике

в

качестве параметра, характеризующего чувствитель­

ность фотодетектора. Формулу (3.4.4) можно получить, как легко видеть, и не предполагая поток темновых элек­ тронов пуассоновским, амплитудные флюктуации отсут­ ствующими, а приемник эквивалентным счетчику элек­ тронов. Учет всех факторов скажется лишь на величине D, определяемой обычно для ИК приемников экспери­ ментально. Из-за инерционности фотодетектора и осо­ бенностей спектра шума различного происхождения величина D зависит от быстроты изменения сигнала. Обычно указывают значение частоты модуляции светово­

го потока, к которой относится измеренное

значение D.

В случае, если число степеней свободы сигнала неве­

лико,

распределение для

числа электронов

получаем

в виде свертки отрицательно-биномиального

и пуассонов-

ского

распределений. Для расчета характеристик обна­

ружения в этих случаях можно воспользоваться

прибли­

жениями, рассмотренными

в § 2.2. При / п с = 1 для поро­

гового

сигнала получаем

явное выражение

(2.2.23) :

 

І Д 7 ^ ( / г 0 - Л д / 1 п ( 1 - р ) .

 

(3.4.5)

При т с > 1 для оценок порогового сигнала можно, как было показано в § 2.2, использовать интегральный закон отрицательно-биномиального распределения (рис. 2.4—

121

2.8), учитывая наличие помехи уменьшением порога на величину N,..

Рассмотрим точность измерения дальности измерите­ лем с -двумя расстроенными по дальности каналами, когда последовательность электронов пуассоповская. Оценка выражается формулой, аналогичной (2.4.4) :

 

 

 

J 1/(0

 

 

dt

 

 

 

 

àx \

Дт

(3.4.6)

 

 

 

 

 

 

 

( J ' < "

 

 

 

где

y(t)=Yib(t

{tj} — моменты

появления элек-

тронов.

 

 

 

 

 

 

Используя

(3.4.1), имеем

 

 

 

J

K + V o

( 0 ]

 

 

'dt

 

 

 

 

 

 

(3.4.7)

 

 

С И

 

 

dtj

 

 

 

 

 

 

 

где

V J

I , vc{t)

—частоты появления помеховых и сигналь­

ных электронов. Можно убедиться, что при оптимальном

опорном сигнале (v(t) = ln(l + ѵ с ( / ) / ѵ п )

и

(3.4.7)

переходит в

выражение

для

дисперсии

эффективной

оценки

 

К (01=

 

 

 

 

 

•dt

 

(3.4.8)

 

 

* п + Ѵ 0 ( 0

 

 

Формула (3.4.7) отличается от дисперсии аналогич­

ной оценки,

получаемой

по выходному

сигналу квадра­

тичного приемника поля, отсутствием слагаемого, свя­ занного с классически описываемыми флюктуациями поля. Это вполне понятно, так как переход к пуассоновскому распределению эквивалентен отказу от учета этих флюктуации. Аналогичным образом меняются результа­ ты для точности измерения угла.

Вопрос о разрешающей способности по дальности для локационных приемников с фотодетектированием оказы­

вается 'Несколько

сложнее,

чем в

радиодиапазоне.

В данном случае

не удается

ввести

какую-либо одну

функцию, характеризующую разрешающую способность, поскольку распределение для выходного сигнала, пред­ ставляющего собой сумму возмущений, обусловленных 122

отдельными электронами, является многопараметрнческим. Семиинварианты этого распределения [59]

0 0

 

—оо

 

(ѵ\1)—опорный

сигнал) могут ібыть выражены

через

один параметр только в простейшем случае, когда

v(t) —

прямоугольный импульс. Тем не менее, вопрос о вели­ чине интервала разрешения можно решить достаточно просто для произвольного импульсного сигнала.

Сложнее оказывается решение при непрерывном из­ лучении с дополнительной модуляцией по интенсивности. В этих случаях необходимо учитывать возможность по­ явления откликов при больших расстройках между опор­ ным и принимаемым сигналами (аналог боковых лепест­ ков функции неопределенности в радиолокации).

Рассмотрим для примера случай сигнала в виде по­ следовательности прямоугольных импульсов с линейно изменяющейся частотой повторения (аналог линейной 4M) или с кодовой модуляцией периода (аналог ФК.М). Пусть опорный сигнал совпадает по форме с излучае­ мым. Функция

оо

—оо

пропорциональная среднему значению выходного сигна­ ла, является аналогом функции неопределенности. В этой формуле Г0 — суммарная длительность всех импульсов в последовательности. Легко видеть, что

оо

 

 

Ç C , ( ^ =

7V

 

— 0 0

 

 

Поскольку при хорошо выбранной модуляции

периода

длительностью основного пика

функции Ci(тг)

можно

пренебречь, полученное равенство определяет средний уровень баковых лепестков: Та/2Т, где Т — общая дли­ тельность сигнала. Эта величина, очевидно, определяет степень использования .генератора непрерывного излуче­ ния и не может быть сделана малой.

'На первый взгляд кажется, что для устранения по­ бочных пиков Сі(т) достаточно исключить из опорного

сигнала постоянную составляющую, т. е. заменить ѵ(t)

123

в (3.4.9) на vi{t) =v(t)—Т0

{0<t<T).

Однако в этом

случае побочные максимумы

появятся

в дисперсии

Средний уровень С2 (т) равен

Т0/2Т(1Т0/Т).

Из этого примера можно

сделать вывод, что в тех

случаях, если достоверность обнаружения и точность из­ мерения параметров определяются флюктуациями выход­ ного полезного сигнала, не удается подобрать закон модуляции интенсивности, обеспечивающий высокую раз­ решающую способнсть. Отраженные сигналы, распола­ гающиеся на оси задержек в пределах длительности Т, могут давать значительный вклад в помеху в канале, настроенном на какое-либо значение задержки.

Если же уровень помехи достаточно высок, так что можно считать сигнал гауссовым и пренебречь добавка­ ми к дисперсии, обусловленными как полезным, так и мешающими сигналами, то разрешающая способность полностью определяется функцией Сі(-т) и для модуля­ ции сигнала по интенсивности справедливы все резуль­ таты (при исключении постоянной составляющей), полу­ ченные для радиолокации.

4

ПРИЕМНИКИ С УСИЛЕНИЕМ

И ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ЧАСТОТЫ

Создание оптических приемников с когерентным уси­

лением

света

и с преобразованием частоты представляет

интерес

как

один из путей повышения чувствительности

•и помехоустойчивости по отношению к фоновому излу­ чению. Кроме того, приемники с преобразованием часто­

ты позволяют извлекать

информацию, заключенную

в фазе светового

сигнала.

 

Исследованию

шумовых

характеристик и анализу

чувствительности приемников с когерентным усилением света посвящено довольно много работ. В наиболее ран­

них из них [60] рассчитывалась средняя мощность

шума

в усилителе с помощью известных соотношений

между

интенсивностями спонтанного и индуцированного излу­ чений. В [61, 27] усиление излучения рассматривалось как процесс размножения и гибели фотонов, причем роль

124

усиливаемого сигнала играло начальное число фотонов. В [63, 64] задача решалась методами квантовой теории: отыскивался оператор плотности поля в момент t (вы­ ходной сигнал) при заданном начальном операторе (входной сигнал). В [65, 66] аналогичное рассмотрение проводилось для параметрических усилителей. К недо­ статкам постановки задачи в этих работах следует от­

нести то, что усиление рассматривалось

как временной

процесс

(в линейном приближении,

использованном

в этих

работах, коэффициент усиления

неограниченно

нарастает со временем), а также излишнюю детализа­ цию рассматриваемой модели усилителя. Первый из этих недостатков отсутствует в [67], где усилитель представ­ лен некоторым «черным ящиком», преобразующим поле. Однако в этой работе математическое описание «черного ящика» содержит ряд неоправданных идеализации. При­ водимое далее рассмотрение усилителей будет основано главным образом на результатах работы [68]. Подход, использованный в этой работе, базируется на идеях флюктуацнонио-днссипационной теоремы и общих свой­

ствах линейных

преобразовании

поля*> и

позволяет

с общей точки зрения рассмотреть

квантовые >и парамет­

рические усилители, а также преобразователи

частоты

излучения. Для

описания поля воспользуемся аппаратом

характеристических функционалов, развитым для кван­ товых полей в [65, 66].

Из всех возможных вариантов приемников с преоб­ разованием частоты довольно подробно изучен только вариант с преобразованием на фотокатоде. В работах [52—54] рассматривалась оптимальная обработка сигна­ ла в приемнике с таким преобразователем и проводи­ лось сравнение [54] с приемником прямого детектирова­ ния. В [69] рассмотрена угловая селективность преобра­ зователя. В [70, 71] обсуждалось влияние на характе­ ристики супергетеродинного приемника флюктуации поля, связанных с распространением в атмосфере. Име­ ются (Сообщения о попытках использовать супергетеро­ динный приемник с преобразованием на фотодетекторе

воптической локации [72].

Вданной главе будет показано, что приемник с пре­ образователем на фотодетекторе при определенных усло-

*' В опублиіковамяой несколько позже работе {62] описан метод анализа шума в линейной системе с распределенными параметрами, близкий к использованному в [68].

125

виях эквивалентен приемнику с усилением светового сигнала, будут рассмотрены пути обеспечения шпрокополосности и «широкоугольное™» приема и сформули­ рованы условия, при которых использование супергете­ родина повышает чувствительность по сравнению с чув­ ствительностью приемника прямого фотодетектирования.

4.1. Связь состояний поля на выходе и на входе линейной системы

Представим скалярное поле на входе и на выходе линейной системы в виде суперпозиции соответствующим образом выбранных ортоиормироваиных типов колеба­ ний (вообще говоря, различных на входе и па выходе). Операторы коэффициентов разложения, т. е. операторы рождения н уничтожения фотонов в -соответствующих модах, в силу линейности системы связаны линейной зависимостью. В общем случае эту зависимость можно представить в виде

a, (s) = j

(s, s') я, (s') +

V (s, s1) a* (s')] ds' +1 (s),

 

 

 

(4.1.1)

где индексы «1» и «2» относятся к входным и

выходным

величинам

соответственно;

s — индекс моды

(частота,

направление распространения, поляризация), b(s) — опе­ ратор, учитывающий собственное излучение системы.

Вопрос о связи характеристик собственного излуче­ ния линейной среды с ее восприимчивостью уже затра­ гивался в § 1.3. Оказывается, что такого рода связь мо­ жет быть установлена на основе весьма формальных соображений для любой линейной системы, в чем сейчас убедимся.

Операторы рождения и уничтожения на входе и на выходе должны подчиняться перестановочным соотноше­ ниям:

[a (s,). a(s2 )] = [ a + ( S l ) , a+ (s2 )] = 0,

(4.1.2)

[a (s,), a + (s a )]^8 . (s, - s 2 ) .

126

Подставляя (4.1.1) в эти соотношения,

получаем

(s,),- b+ (s2)] = S (s, - Sa) -

j

[u ( S l ,

S ' ) u* (S2,

5') -

— o(s,.

s')v*(s„

 

s')]ds',

 

 

 

 

 

(4.1.3)

[£(*,), Î(sa )] =

- J [ u ( s 1 ,

s > ( s 2 ,

s ' ) -

 

- o(s, ,

s')«(s2 ,

s')]ds'.

 

 

(4.1.4)

Таким образом, коммутаторы

операторов b(s)

и ö +

однозначно определены

передаточными

характеристика­

ми линейной системы.

Покажем,

что для

ряда

важных(5)

случаев полученные перестановочные соотношения опре­ деляют характеристики поля собственного излучения на выходе системы.

Состояние поля на входе и на выходе будем описы­

вать

с помощью нормализованного (т. е. представлен­

ного

в

нормальной

форме) характеристического функ­

ционала

6[ T ) ( S )]

(СМ . 1.4.13),

взаимооднозначно свя­

занного

с оператором плотности

р: весовой функционал

в Я-представлении оператора плотности выражается формулой

Р [a (s)} = j Ф [т, (s)) ехр { i J [a (s) т,* (s) +

Рассмотрим характеристический функционал поля на

выходе и подставим в него вместо «2(s) правую часть выражения (4.1.1). Для перегруппировки членов в пока­ зателях экспонент в полученном выражении удобно вос­ пользоваться операторным равенством [1]

е Г е " = е М / Ѵ ^ ,

(4.1.6)

справедливым, если [Â, В] коммутирует с Â и В.

Доказать

это

равенство можно следующим образом. Присово­

купим формально

к А и В множитель X. Дифференциальное урав­

нение dF/d\ =

-{- В) F вместе с начальным условием F = 1 при

А.=0 определяет однозначно оператор е * ' / ! + й ' . Покажем, что оператор

е -[Х. fil V/2eT£Ïe>SŒ Г, (X),

127

удовлетворяющий, очевидно, тому же начальному условию, удовлет­ воряет и дифференциальному уравнению

 

 

 

 

д-~

= — Х [2,

Ъ]1>і = 2?!

- f e % e Ö

=

 

 

 

 

=

(-

Х[2,

Ѣ]

+

3

+

X [2,

В]) ? , = ( Я + 2 ) .

В

последнем

 

равенстве

 

использовано

 

соотношение

[^А,

5] =

=

Х[Л, ß ]

e M ,

вытекающее из легко доказываемого методом индук­

ции равенства \2п,

В] = п\2,

Ѣ]

2п~1.

 

 

 

 

 

 

Представляя

с помощью

(4.1.6)

 

<D[r|(s)]

в виде

 

 

 

 

®h(s)] =

e x p [ - - i - J h ( s ) | a * ] X

 

 

 

 

 

X

(exp { i

J [т, (5 )â+ (5) _|_ T,* (s) a (s)] ds] )>

 

 

подставляя

в это выражение

(4.1.1),

перегруппировывая

члены и вновь используя (4.1.6), получаем

 

 

 

 

 

 

Ф= fom

=

Ф, [к (s)] Ф„ [-Q (s)] exp { - i - X

 

 

где

 

 

 

X j i h ( 5 ) | 2 - | x ( 5 ) l 2 ] d s | ,

 

 

(4.1.7)

 

 

x(s')

 

= ^[u*(s,

 

S')H(S)

— Ü(S, s') T,* (s)} ds,

(4.1.8)

Ф,[ті

(5)]

=

(ехр

{i

J h ( s ) ö + ( S ) + V = ( s ) ö ( 5 ) ] & } )

 

(4.1.9)

 

 

 

 

характеристический

функционал,

описывающий

соб­

ственное

излучение

системы

(не

приведенный

к

нор­

мальной форме).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристический

функционал

выходного

излуче­

ния полностью определяется характеристическим функ­ ционалом входного излучения, передаточными функция­ ми системы u(s, s') и v(s, s') и характеристическим функционалом собственного излучения.

В силу линейности системы оператор T>{s), описы­ вающий собственное излучение, линейно связан с опе­ раторами собственного излучения для отдельных атомов. Поскольку спонтанное излучение отдельных атомов -про­ исходит независимо, то при нахождении Фо[п] усредне­ ние нужно производить по различным атомам отдельно.

128

Поскольку число атомов, находящихся в одинаковых

условиях по отношению к полю, предполагаем

большим,

можно для Ф0[т) (s)] использовать гауссово

приближение:

Ф0 [т) (s)]

ехр І2/ Re jTJ (S) (6 (S)) ds

-

 

~ ~ H î

7 1 ( S 2 ) ( [ * ( s J ' f +

+

 

+ F(s,) 6 (s2) + V (s,) ö+ (s2)) ds,rfs2 j

,

(4.1.10)

где [A, Ъ]+ = АЁ-\-ВА— антикоммутатор. Приближение (4.1.10) получено из произведения функционалов для отдельных атомов точно такими же преобразованиями, которые используют при доказательстве центральной пре­ дельной теоремы. Принимая это приближение, сводим

задачу к нахождению первых и вторых моментов b(s),

b+(s), которые линейно связаны с первыми и вторыми моментами излучения отдельных атомов.

В 'большинстве случаев фазы собственного излучения отдельных атомов полностью случайны и

 

 

<ß(s)) =

(V(sl)b(st))=0.

 

 

 

(4.1.11)

Тогда

решение

задачи

сводится

к установлению связи

между

средним

значением

[6 (Sj),

b + ( s 2 ) ] +

и

коммутато

рами,

определяемыми формулами

(4.1.3),

(4.1.4). Если

выполняются условия

 

 

 

 

 

 

 

 

- (b (s,) Ъ+ (s.J) >

0,

(S* (Slfb

(s2)) S* 0,

 

(4.1.12)

то справедливо

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

( [ % , ) ,

Ь+ & ) ] + > > 1

(И*,),

> (s2)))

I,

(4.1.13)

и модуль правой части формулы (4.1.3) определяет минимальный уровень шума линейной системы, который достигается при условии, что хотя бы в одном из нера­ венств (4.1.12) выполняется равенство.

Рассмотрим первые и вторые моменты спектра излу­ чения отдельного атома <7(ш), считая состояние среды стационарным. В соответствии со сказанным в § 1.4, спектральной составляющей q(a>) (CÙ>0) ставится в со­ ответствие оператор <7+(ш), а составляющей q(—со) — оператор q{a).

9—220

129

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ