книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)

Существующие оптические фильтры весьма широкопо­

ков с непосредственным фотодетектпрованием можно не­ которыми упрощениями свести к законам распределения, рассмотренным в § 2.2. Для этого достаточно аппрокси­ мировать импульсную переходную функцию 'пространст­ венно-временного фильтра, следующего за фотодетекто­

ются электроны, появляющиеся за время Т на поверх­ ности 5 Д фотодетектора. Для других видов импульсной переходной функции удается рассмотреть только пре­ дельный случай, при котором распределение для сигна­ ла можно считать гауссовым.

Распределение для числа электронов помехи, обу­ словленных собственным шумом приемника и фоном, можно, в соответствии с уже сказанным, считать пуассоновским. Величину порога, соответствующую заданному среднему числу помеховых электронов WE и выбранной

вероятности ложной тревоги F, можно найти из табл. 2.1, а при JVs ^>1 МОЖНО воспользоваться гауссовым прибли­

жением.

При наличии на входе приемника регулярного сиг­ нала z(r, t) и фона распределение для числа электронов можно также считать пуассоновским со средним числом электронов

поскольку мало среднее число электронов, приходящих­ ся на одну степень свободы фона (§ 3.2).

Пуассоновским распределение получается и в случае флюктуирующего сигнала, если мало число сигнальных фотоэлектронов, приходящих на одну степень свободы сигнала. Для некогерентного источника, например,

120

здесь, как и в (3.4.2), учитывает наличие двух незави­ симых поляризаций.

При M r f - A / j ^ l пуассоновское распределение для сигнала с помехой можно заменить гауссовым.'При этом

явное выражение для пороговой мощности сигнала Р.

Величину D, имеющую размерность см Гц1 / 2 /Вт,' назы­ вают обнаруживающей способностью приемника и широ­

ность фотодетектора. Формулу (3.4.4) можно получить, как легко видеть, и не предполагая поток темновых элек­ тронов пуассоновским, амплитудные флюктуации отсут­ ствующими, а приемник эквивалентным счетчику элек­ тронов. Учет всех факторов скажется лишь на величине D, определяемой обычно для ИК приемников экспери­ ментально. Из-за инерционности фотодетектора и осо­ бенностей спектра шума различного происхождения величина D зависит от быстроты изменения сигнала. Обычно указывают значение частоты модуляции светово­

При т с > 1 для оценок порогового сигнала можно, как было показано в § 2.2, использовать интегральный закон отрицательно-биномиального распределения (рис. 2.4—

121

случаях, если достоверность обнаружения и точность из­ мерения параметров определяются флюктуациями выход­ ного полезного сигнала, не удается подобрать закон модуляции интенсивности, обеспечивающий высокую раз­ решающую способнсть. Отраженные сигналы, распола­ гающиеся на оси задержек в пределах длительности Т, могут давать значительный вклад в помеху в канале, настроенном на какое-либо значение задержки.

Если же уровень помехи достаточно высок, так что можно считать сигнал гауссовым и пренебречь добавка­ ми к дисперсии, обусловленными как полезным, так и мешающими сигналами, то разрешающая способность полностью определяется функцией Сі(-т) и для модуля­ ции сигнала по интенсивности справедливы все резуль­ таты (при исключении постоянной составляющей), полу­ ченные для радиолокации.

•и помехоустойчивости по отношению к фоновому излу­ чению. Кроме того, приемники с преобразованием часто­

чувствительности приемников с когерентным усилением света посвящено довольно много работ. В наиболее ран­

интенсивностями спонтанного и индуцированного излу­ чений. В [61, 27] усиление излучения рассматривалось как процесс размножения и гибели фотонов, причем роль

124

усиливаемого сигнала играло начальное число фотонов. В [63, 64] задача решалась методами квантовой теории: отыскивался оператор плотности поля в момент t (вы­ ходной сигнал) при заданном начальном операторе (входной сигнал). В [65, 66] аналогичное рассмотрение проводилось для параметрических усилителей. К недо­ статкам постановки задачи в этих работах следует от­

нарастает со временем), а также излишнюю детализа­ цию рассматриваемой модели усилителя. Первый из этих недостатков отсутствует в [67], где усилитель представ­ лен некоторым «черным ящиком», преобразующим поле. Однако в этой работе математическое описание «черного ящика» содержит ряд неоправданных идеализации. При­ водимое далее рассмотрение усилителей будет основано главным образом на результатах работы [68]. Подход, использованный в этой работе, базируется на идеях флюктуацнонио-днссипационной теоремы и общих свой­

характеристических функционалов, развитым для кван­ товых полей в [65, 66].

Из всех возможных вариантов приемников с преоб­ разованием частоты довольно подробно изучен только вариант с преобразованием на фотокатоде. В работах [52—54] рассматривалась оптимальная обработка сигна­ ла в приемнике с таким преобразователем и проводи­ лось сравнение [54] с приемником прямого детектирова­ ния. В [69] рассмотрена угловая селективность преобра­ зователя. В [70, 71] обсуждалось влияние на характе­ ристики супергетеродинного приемника флюктуации поля, связанных с распространением в атмосфере. Име­ ются (Сообщения о попытках использовать супергетеро­ динный приемник с преобразованием на фотодетекторе

воптической локации [72].

Вданной главе будет показано, что приемник с пре­ образователем на фотодетекторе при определенных усло-

*' В опублиіковамяой несколько позже работе {62] описан метод анализа шума в линейной системе с распределенными параметрами, близкий к использованному в [68].

125

виях эквивалентен приемнику с усилением светового сигнала, будут рассмотрены пути обеспечения шпрокополосности и «широкоугольное™» приема и сформули­ рованы условия, при которых использование супергете­ родина повышает чувствительность по сравнению с чув­ ствительностью приемника прямого фотодетектирования.

4.1. Связь состояний поля на выходе и на входе линейной системы

Представим скалярное поле на входе и на выходе линейной системы в виде суперпозиции соответствующим образом выбранных ортоиормироваиных типов колеба­ ний (вообще говоря, различных на входе и па выходе). Операторы коэффициентов разложения, т. е. операторы рождения н уничтожения фотонов в -соответствующих модах, в силу линейности системы связаны линейной зависимостью. В общем случае эту зависимость можно представить в виде

направление распространения, поляризация), b(s) — опе­ ратор, учитывающий собственное излучение системы.

Вопрос о связи характеристик собственного излуче­ ния линейной среды с ее восприимчивостью уже затра­ гивался в § 1.3. Оказывается, что такого рода связь мо­ жет быть установлена на основе весьма формальных соображений для любой линейной системы, в чем сейчас убедимся.

Операторы рождения и уничтожения на входе и на выходе должны подчиняться перестановочным соотноше­ ниям:

[a (s,). a(s2 )] = [ a + ( S l ) , a+ (s2 )] = 0,

(4.1.2)

[a (s,), a + (s a )]^8 . (s, - s 2 ) .

126

случаев полученные перестановочные соотношения опре­ деляют характеристики поля собственного излучения на выходе системы.

Состояние поля на входе и на выходе будем описы­

в Я-представлении оператора плотности выражается формулой

Р [a (s)} = j Ф [т, (s)) ехр { — i J [a (s) т,* (s) +

Рассмотрим характеристический функционал поля на

выходе и подставим в него вместо «2(s) правую часть выражения (4.1.1). Для перегруппировки членов в пока­ зателях экспонент в полученном выражении удобно вос­ пользоваться операторным равенством [1]

справедливым, если [Â, В] коммутирует с Â и В.

А.=0 определяет однозначно оператор е * ' / ! + й ' . Покажем, что оператор

е -[Х. fil V/2eT£Ïe>SŒ Г, (X),

127

удовлетворяющий, очевидно, тому же начальному условию, удовлет­ воряет и дифференциальному уравнению

ния полностью определяется характеристическим функ­ ционалом входного излучения, передаточными функция­ ми системы u(s, s') и v(s, s') и характеристическим функционалом собственного излучения.

В силу линейности системы оператор T>{s), описы­ вающий собственное излучение, линейно связан с опе­ раторами собственного излучения для отдельных атомов. Поскольку спонтанное излучение отдельных атомов -про­ исходит независимо, то при нахождении Фо[п] усредне­ ние нужно производить по различным атомам отдельно.

128

Поскольку число атомов, находящихся в одинаковых

где [A, Ъ]+ = АЁ-\-ВА— антикоммутатор. Приближение (4.1.10) получено из произведения функционалов для отдельных атомов точно такими же преобразованиями, которые используют при доказательстве центральной пре­ дельной теоремы. Принимая это приближение, сводим

задачу к нахождению первых и вторых моментов b(s),

b+(s), которые линейно связаны с первыми и вторыми моментами излучения отдельных атомов.

В 'большинстве случаев фазы собственного излучения отдельных атомов полностью случайны и

и модуль правой части формулы (4.1.3) определяет минимальный уровень шума линейной системы, который достигается при условии, что хотя бы в одном из нера­ венств (4.1.12) выполняется равенство.

Рассмотрим первые и вторые моменты спектра излу­ чения отдельного атома <7(ш), считая состояние среды стационарным. В соответствии со сказанным в § 1.4, спектральной составляющей q(a>) (CÙ>0) ставится в со­ ответствие оператор <7+(ш), а составляющей q(—со) — оператор q{a).