книги из ГПНТБ / Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория)

(3.2.22) о (3.2.17) позволяет записать в виде ряда по Л,- с коэффи­ циентами Gi(si, ... , Si) логарифм производящего функционала

-1 + S Ä *»(s - s,)l

/

после чего, используя связь между разложениями в степенной ряд функции и ее логарифма, можно найти распределения p,t(si, ... , s„)

в виде

Для тех реализаций, в которых расстояние между электронами велико по сравнению с радиусом корреляции поля, go(S), su; а) 4С1

при іФк. При этом Fn(si, ... , Sn)«=Gi(Si) . . . Gi(s„), и распреде­ ление pn(si Sn) получается квазппуассоиовскнм:

Опуская тривиальные, но довольно громоздкие преобразования, по­ лучаем выражения для G0(Q) и Gi(s):

I

Gi (s) — H- (s) £ g» ( S i . s ; » — a ^g 0 (s, S ' ) H . ( S ' ) X

оL

ная составляющая отсутствует, случайная составляющая стационар­

110

В (3.2.30) xs — скалярное произведение. Из вывода (3.2.26) сле­ дует, что равенство (3.2.29) верно в том случае, если

v(s) = n(s) + |z(s)|-.

Распределение для числа фотоэлектронов Р„ получаем усред­ нением по v(s) пуассоновского распределения. Ряд получаемых та­ ким образом распределений для суперпозиции регулярного и гауссо­ ва случайного полей и соответствующие характеристики обнаруже­ ния подробно рассмотрены в § 2.2. Здесь ограничимся получением асиміГтотпческой формулы, пригодной, как будет ясно из вывода, для вычисления вероятностей появления сравнительно малого числа элек­ тронов и, следовательно, для расчета пороговых сигналов, соответ­ ствующих малым вероятностям пропуска.

Для простоты сначала рассмотрим случай, при котором регу­ лярная составляющая <поля отсутствует. Топда производящая функ­

где

i

\ t = ll^a'-'da ^ ... jg0(su sa ; o) . . . g „ ( S i _ , , st ; a) X

оs

112

3.3. Оптимальная последегекторная обработка

Задачу синтеза системы последетекторпоіі обработки при опре­ деленных ндеалнзациях легко решить стандартными методами тео­ рии статистических решении. Будем считать, что импульсы тока,

где Я; — амплитуды импульсов тока.

В реальных приемниках разброс амплитуд может быть обуслов­ лен, например, флюктуацнями коэффициента умножения в ФЭУ или ЭОП. Амплитуды а; будем считать статистически независимыми. Заметим, что закон распределения амплитуд может быть, вообще говоря, разным для темповых импульсов и импульсов, обусловлен­ ных фотоэлектронами. Это различие может быть обусловлено, на­

зволяет выяснить предельные возможности приемника. Для некото­ рых типов ФЭУ это предположение хорошо выполняется при реаль­ ных плотностях темповых и сигнальных электронов. Последствия нарушений этого условия будем обсуждать по ходу рассмотрения.

Поток электронов будем сначала считать пуассоновским. Вопрос о влиянии коррелировапностн электронов в потоке будем рассма­ тривать отдельно. Для пуассоиовского потока, состоящего как из

114

ние, правдоподобия для гипотезы о наличии сигнала равно отноше­

пде %(а)=рі(а)ІРй(а) —отношение правдоподобия для амплитуды.

Как видно из (3.3.4), при непостоянных амплитудах импульсов оптимальная обработка оказывается нелинейной по отношению к вы­ ходному сигналу детектора. Только если амплитуды постоянны, сумл«у в (3.3.4) можно записать в виде

и оптимальную обработку свести к линейной фильтрации. В этом случае несущественно, если отдельные импульсы не разрешены, по­

мальной обработки сводится к нормировке одноэлектроиных им­ пульсов по амплитуде перед их линейной фильтрацией в соответ­ ствии с (3.3.5). Оптимальная обработка делится на безынерционное нелинейное преобразование и линейную фильтрацию и тогда, когда %(а) принимает только два значения: 0 и оо, т. е. когда области

возможных значений амплитуд темповых и световых импульсов не перекрываются. Требуемое в этом случае нелинейное преобразова­ ние сводится к амплитудной селекции и нормировке, а фильтрация определяется (3.3.5) при ѵ0 =0.

Заметим, что в перечисленных случаях переменность амплитуд не вносит существенных усложнений в расчет характеристик прием­ ника, поскольку после нелинейного преобразования получается пуассоновская последовательность нормированных импульсов.

В общем случае оптимальная обработка сложна для техниче­ ского воплощения. Однако можно предложить ряд технически при­ емлемых упрощенных преобразований (типа ограничения снизу, когда среди темповых есть импульсы с малой амплитудой, маловероятной

для световых импульсов), реализирующпх хотя бы частично прин­ ципы оптимальной обработки.

Из полученных результатов следует, что требования к стабиль­ ности усиления, числу темновых импульсов и разрешающей способ­ ности ФЭУ, диссекторов или электронно-оптических преобразовате­ лей не следует рассматривать независимо. Если коэффициент умно­ жения флюктуирует в широких пределах, но прибор обладает хоро­ шим разрешением, то флюктуации можно, в принципе, устранить амплитудной нормировкой. В этом случае можно также уменьшить число темновых импульсов селектнровапием импульсов, нетипичных по амплитуде.

Здесь рассмотрена пуассоиовская последовательность электро­ нов, в которой отдельные электроны появляются некоррелированно. Чтобы составить представление о качественных особенностях опти­ мальной обработки, связанных с корреляцией электронов, рассмот­ рим следующую задачу.

распределению Бозе — Эйнштейна или распределению Пуассона. Как уже отмечалось в § 3.2, последовательность, соответствующую пер­ вой гипотезе [см. (3.2.30)], можно использовать в качестве модели для случая произвольных гауссовых флюктуации поля. При этом размеры областей Q; определяются радиусом корреляции поля.

- К

где произведение взято по подобластям Q(. Чтобы сделать более заметным отличие от случая, при котором обе последовательности пуассоновские, преобразуем (3.3.6) следующим образом:

тывают, суммируя результаты нелинейного преобразования чисел т.

Характеристика нелинейного преобразования имеет вид

г=Іп[п!/(1+Я) п +Ч .

Для нескольких значений п зависимость z(n) приведена в табл. 3.1.

116

ного светового сигнала, когда среднее число электронов, соответ­ ствующее времени корреляции, сравнимо с единицей или велико по сравнению с ней, целесообразно использовать фильтрацию потока фотоэлектронов фильтром, согласованным со спектром сигнала (это обеспечивает объединение электронов на интервале корреляции)

споследующим нелинейным преобразованием вида (3.3.8).

3.4.Характеристики приемников

снепосредственным фотодетектированием

Воптической связи и оптической локации 'в настоя­ щее время используют много разновидностей приемни­

действие которых основано на внешнем, фотоэффекте: фотоэлектронные умножители, диссекторы, электроннооптические преобразователи, телевизионные трубки раз-

117

личных типов (чаще всего, суперортикон). В инфракрас­ ном диапазоне в основном используют приемники с вну­ тренним фотоэффектом: фотосопротивления (например, германий, легированный ртутью, медью, золотом или цинком), фотодиоды (силикон), источники фотоэ. д. с. фотоэлектромагнитные приемники (полупроводник в маг­ нитном поле, например, антимонид или арсенид галлия).

Раньше в ИК диапазоне широко использовали при­ боры, основанные на тепловом действии света (боломет­ ры), однако теперь они почти вытеснены приемниками перечисленных типов, обладающими более высокой чув­ ствительностью и гораздо меньшей инерционностью.

Каждому из указанных типов приемников присущи свои особенности, свои характерные источники флюктуа­ ции сигнала, свои характеристики шума и т. п. При об­ щем рассмотрении отказ от учета отдельных частных особенностей неизбежен. Будем считать, что флюктуа­ ции амплитуд одиоэлектронных импульсов в приемнике отсутствуют, а поток темповых импульсов является пуассоиовским.

Принятие этих ограничений для приемников видимо­ го диапазона возможно из-за следующих двух обстоя­ тельств. Во-первых, в высокочувствительных приемниках с размножением электронов (ФЭУ, ЭОП) коэффициент умножения на один каскад достаточно велик, чтобы флюктуации амплитуд одиоэлектронных импульсов были несуществениными. В [58] показано, что пересчитанная к фотокатоду дисперсия выходного сигнала системы умножения выражается формулой

где к— коэффициент умножения на один каскад. В ФЭУ

решения отдельных электронов при пороговом сигнале, из-за чего оказывается возможным нормировать ампли­

уровня шума в типичных для практики случаях прихо­ дится иметь дело со сравнительно высоким (в пересчете

118

на кванты или фотоэлектроны) уровнем сигнала. При таком сигнале формируемую в приемнике суперпозицию возмущений, обусловленных отдельными электронами, можно считать (при регулярном световом потоке) гаус­ совой со средним значением и функцией корреляции ви­ да (59, 54]:

совокупности существенную роль играет тепловое излу­ чение элементов конструкции приемника [57, 94]. Шум характеризуется средним значением хш и функцией кор­ реляции Rm{Si—Sz) (естественно считать шум стацио­ нарным). При сигнале, близком к пороговому, диспер­ сия шума намного больше дисперсии сигнала и послед­ ней можно пренебречь. Таким образом, выходной сигнал приемника при регулярном световом потоке

для конкретных приемников отклонения характеристик шума от рассчитанных теоретически.

Последовательность фотоэлектронов, обусловленных фоном, в практически важных случаях можно считать пуассоновской, поскольку среднее число электронов, при­ ходящееся на степень свободы, мало по сравнению с е д и ­ ницей. Число степеней свободы фона определяется вре­ менем наблюдения Т, полосой А/ оптического фильтра, предшествующего фотодетектору, и отношением поля зрения приемника Qn к минимальному разрешаемому телесному углу !k2/S (к — длина волны, 5 — площадь апертуры оптической системы):

где [х] — целая часть х.

119