книги из ГПНТБ / Крулькевич, М. И. Основы систем производственно-экономической информации учеб. пособие

Для простоты и наглядности анализ 'информации доку­ мента произведем на уровне десятичных символов.

Всего в одной строке представлен 31 десятичный символ. При использовании ЭВМ, телетайпной связи и технических средств в управлении потребителю информации для оценки наблюдаемогопроцесса добычи угля достаточно первого числа каждого месяца представлять данные трех колонок (2-й, 4-й, 9-й), а в остальные дни месяца передавать только фактические данные за прошедшие сутки. Указанная инфор­ мация позволит полностью восстановить все необходимые показатели документа как по данной строке, так и по всем предыдущим. Для этого в памяти ЭВМ достаточно хранить показатели добычи угля с начала года на конец предыдуще­ го месяца, план на сутки (±) за каждый рабочий день текущего месяца и, естественно, расчетную программу. Все остальные данные учетной ведомости могут быть всегда вос­ созданы, если в этом появится необходимость. К тому же многие из показателей формы нужны лишь при подготовке документа вручную (колонки 4 и 5). Некоторые из них 'дуб­ лируют друг друга (например, колонки 6 и 8). Фактически для анализа и принятия решения достаточно иметь данные всего по трем колонкам: 3-й, б-й и 9-й.

Другими словами, необходимая для принятия решения информация каждые сутки может быть представлена всего 13-ю десятичными символами, или, примерно, 58% всей ин­ формации строки — избыточна.

Эффект от использования данного способа описания со-, общений очевиден:

—передача и представление значительно.меньшего ко­ личества символов, что весьма благоприятно для АСУ;

—лучшее восприятие информации состороны ее потре­

бителя;

—упрощение формы документа;

—более - оперативное и качественное управление про­ цессом производства.

Редукция или свертка информации — это представле­ ние'результатов наблюдения за объектом в компактной фор­ ме, удобной для опубликования, хранения, контроля и сопо­ ставления с другими данными.

70

Областью применения данного'метода сжатия информа­ ции являются случайные процессы, количественная опенка которых производится на основании статистического анализа результатов наблюдений. Примером таких процессов могут быть оценки времени обработки деталей, выемки полосы угля в лаве, фактические скорости перевозок грузов и т.'д.

Сущность, метода проиллюстрируем на следующем при­ мере.

Пусть имеем выборку (табл. 3), характеризующую дли­ тельность выемки полосы угля в лаве.

ной генеральной совокупности, вместо того, чтобы приводить значения всех наблюдений (длительностей времени) и их количество, достаточно привести три величины — выбороч­

ное среднее х, выборочную дисперсию з 2(х) и число наблю­ дений п.

Эти три величины дают всю необходимую информацию, содержащуюся в выборке. Они позволяют оценивать не только интересующие нас параметры — среднее и диспер­ сию, но и доверительные границы, задаваемые размером вы­ борки, то есть числом наблюдений.

Итак, в общем случае, если ИТР или служащему пред­ приятия необходимо представить информацию о распределе­ нии случайной величины через несколько описывающих ее параметров или определить форму интересующего распреде­ ления, то для этого достаточно вычислить на основе имею­ щихся статистических данных следующие показатели.

П

1.Точку, вокруг которой группируется распределен

Известны три различных способа определения этой точки:

а) наиболее распространенный способ определения це ра распределения является вычисление математического ожидания случайной величины, которое равно

М (х) = J xf(x)dx

—00

для непрерывной и случайной величины и

М (х )= 2iх , Р, (х, ),

если х — дискретная случайная величина с распределени­ ем P(xi).

Эмпирический центр распределения, обозначенный через х, вычисляется как

п

2Xj

—i = l

где Xi(i = l, 2, ...n) — значения результатов наблюдений;

б) другой характеристикой центра распределения яв ется срединная точка (медиана). Для плотности распреде­ ления непрерывной случайной величины f (х) медианой яв­ ляется такая точка А, что

Уf(x)dx — 0,5.

—00

Другими словами, медиана равна такому значению слу­ чайной величины, которая делит пополам площадь, распо­ ложенную под кривой плотности распределения. При опре­ делении медианы дискретной случайной величины интеграл заменяется суммой значений случайной величины.

Медиана, в отличие от математического ожидания, яв­ ляется удобной характеристикой центра распределения слу­ чайных величин, распределение которых не является симмет­ ричным. Она к тому же не так чувствительна к небольшому количеству крайних значений.

72

Для определения медианы по эмпирическим, данным их Еначале следует упорядочить по величине; При этом, если п нечетное число, то медиана равна

то есть значению П - упорядоченного наблюдения. Если

же п четное число, то медиана равна среднему значению*

Ме = х ( т + ( т + 1}) ;

в) третья характеристика центра распределения — мо­ да. Для дискретной случайной величины модой является значение случайной Величины, имеющей наибольшую веро­ ятность. Мода непрерывной случайной величины равна зна­ чению, соответствующему максимуму плотности распределе-

.ния, если, конечно, максимум один.

По эмпирическим наблюдениям мода находится как ре­ зультат наблюдений, который встречается наиболее часто. Если же данные группируются по интервалам частот одина­ ковой длины, то мода при этом берется как центральная точ­ ка частотного интервала, содержащего наибольшее число наблюдений, то есть

М0 = X {fli max}-

2. Показателем рассеяния наблюдений относительно среднегоявления является дисперсия з2, которая представ­ ляет собой математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математическим ожиданием

D(x) = Mf х — M(x)J*.

Квадратный корень из дисперсии называют средним квадратичным отклонением и обозначают символом з. Он’ предназначен для тех же целей, что и дисперсия.

73

Эмпирической формулой для определения дисперсии яв­ ляется

2 ( х , - X)2

1=1

где х — эмпирическое математическое ожидание, или выбо­ рочное среднее.

Известно, что при нормальном распределении случайной

Указанные пределы значений случайной величины часто бывает целесообразно определять не только для нормально­ го распределения, но и для других распределений случайных величин.

Теорема Чебышева, согласно которой для любого рас­ пределения с конечным математическим ожиданием и дне-

величины находится в интервале х ± кз часто, с достаточной степенью точности позволяет осуществлять редуцирование информации о случайной величине на основе ее статистичес­ ких данных.

3. Асимметрия или показатель оценки симметричнос распределения случайной величины удобно использовать для унимодальных (одновременных) распределений. Она соот­ ветствует третьему моменту относительно среднего и опреде­ ляется по эмпирическим данным с использованием выраже­ ния

При Шз<0 имеет место левосторонняя отрицательная асимметрия (хвост распределения слева). Если же пгз>0, то распределение правостороннее. Для симметричного распре­ деления т 3=0. Сигнал об изменении знака асимметрии рас­ пределения, полученный от какого-либо производственного

74

объекта, может вызвать необходимость в срочном анализе причин, обуславливающих его.

4. Эксцесс или четвертый момент относительно среднего связан с островершинностью распределения. По эмпиричес­ ким данным он определяется до формуле

В производственной практике этот показатель удобно использовать когда, например, необходимо установить, как устойчиво появление' наиболее благоприятствующих призна­ ков какой-либо производственной ситуации.

5. Квантили, представляющие собой такие значения слу­ чайных величин, ниже которых располагается часть функции распределения.

Определение квантилей для дискретной случайной вели­ чины производится суммированием аналогично интегриро­ ванию. При этом обычно точного решения получить невоз­ можно.

Примером квантилей может быть м'едиана. Но в произ­ водственной практике интерес' часто могут представлять точки, далеко отстоящие от среднего значения, такие как А (0,01). Квантили, выраженные в процентах, называют процентилями.

Способы определения показателей распределения как дискретных, так и непрерывных случайных в'еличип при за­ ранее известных законах их распределения изложены во многих работах по математической статистике. Их можно найти для следующих распределений: нормального, Гаммараспределения, Бетта-распределения, логарифмически нор­ мального, Коши, Релея, Вейбула, равномерного, треугольно­ го, параболического, биноминального, гипергеометрического, геометрического, Паскаля и Пауссоновского.

■ В принципе круг процессов, имеющих случайный харак­ тер, учитывая требуемую точность, всегда может быть опи­ сан одним из приведенных распределений.

При рассмотрении показателей, с помощью которых можно рационально свертывать производственно-экономиче­ скую информацию, обращает на себя внимание простота рас­

75

четных алгоритмов. Благодаря этому для свертывания ин­ формации могут быть применены сравнительно простые вы­ числительные устройства, которые можно располагать в не­ посредственной близости от управляемых объектов. Редуци­ рованная информация частично может преобразовываться в управляющих ЭВМ и использоваться в оперативном управ­ лении, а частично транзитом через управляющую машину по телетайпным или другим каналам связи передаваться в кус­ товой вычислительный центр.

Сжатие информации с учетом количества • информации сообщений основной своей областью применения имеет про­ цесс оперативного управления предприятием или совокуп­ ностью предприятий. Так, например, в оперативном анализе часто используется такой показатель, как процент выполне­ ния плана за определенный отрезок времени (смену, сутки, неделю, декаду, месяц). Этот показатель необходим для то­ го, чтобы определить момент, когда следует вмешиваться в процесс производства. Исходя из плана и анализа динамики

интервал значений с наименьшими вероятностями. Интерва­ лы уровня выполнения плана можно рассматривать как воз­ можные исходы. В табл. 4 приведены реальные, вероятности

известно, количество информации зависит от числа возмож­ ных исходов и вероятности каждого из них. При меньшей вероятности исхода получаем большее количество информа­ ции, узнав о наступлении интересующего события.

Расчетная формула для определения количества инфор­ мации имеет вид

1 = — log Pi ,

где Pi — вероятность 1-го исхода.

По данным таблицы видно, что сообщения, относящиеся к различным интервалам, в значительной мере неравнове­ роятны и содержат неодинаковое количество информации.

76

Так, сообщения, относящиеся к четвертому интервалу, со­ держат примерно в 16 раз меньше информации, чем сообще­ ния, относящиеся к седьмому интервалу, или в 7,5 раза меньше, чем сообщения, относящиеся ко всем шести интер­ валам.

Другими словами, значительные отклонения процесса функционирования от планового режима, требующие опера­ тивного вмешательства управляющего органа, как правило, маловероятны, но сообщения о них содержат значительно большее количество информации. Напротив, незначительные отклонения, не выходящие за пределы допустимых значений, весьма вероятны, но обычно не требуют вмешательства в процесс производства. Зная предварительно допустимые пре­ делы невмешательства в процесс, которые для каждого предприятия хотя и конкретные, но легко определимые, и используя приведенный метод определения' количества ин­ формации, можно получить рациональную схему представ­ ления данных.

Так, для условий приведенного в табл. 4 примера исклю­ чение сообщений, относящихся к четвертому интервалу, поз­ воляет сократить поток регистрируемых, передаваемых и пе­ рерабатываемых показателей на 75% от общего числа пока­ зателей данной совокупности. При этом потеря полезной информации совсем незначительна — 0,41 бит. Такая потеря вполне допустима для практики.

77

§ 3. С татистическое к оди ров ан и е

Сжатие данных с использованием статистического коди­ рования представляет сббой сокращение среднего числа сим­ волов, передаваемых в кодах по каналам связи и хранимых в памяти ЭВМ, для чего при статистическом кодировании элементам сообщений с высокой вероятностью появления ставятся в соответствие более короткие кодовые комбинации.

Априори, зная статистические свойства источника сооб­ щения, можно минимизировать среднее число двоичных или* иных символов, требующихся для выражения одного элемен­ та сообщения, что в итоге позволяет уменьшить время пере­ дачи информации и объем запоминающих устройств ЭВМ.

В основу статистического кодирования положена теоре­ ма Шеннона о кодировании для дискретного капала без по­ мех. Согласно теореме, если источник информации имеет эн­ тропию Н единиц информации на символ сообщения, а ка­ нал связи обладает пропускной способностью С единиц ин­ формации в единицу времени, то сообщения источника всегда можно закодировать таким образом, чтобы скорость V' их передачи была сколь угодно близкой к величине, определяе­ мой соотношением

и не существует способа кодирования, позволяющего достичь таково положения, чтобы выполнить неравенство V>V z . При этом величину H'=VH называют потоком информации, созда­ ваемой источником.

Теорема фактически не указывает конкретного способа кодирования, но из нее следует весьма важное свойство, что при выборе каждого символа кодовой комбинации необ­ ходимо стараться, чтобы он нес максимальную информацию.

Другими словами, по возможности каждый символ со­ общения должен принимать значения 0 и 1 с равными веро­ ятностями, 'и каждый выбор должен быть независим от. зна­ чений предыдущих символов.

Рассмотрим следующий пример. Пусть необходимо оп­ тимально закодировать наименование некоторых материа-

78

лов, отпускаемых со склада. Перечень материалов и вероят­ ность запроса на них представлены в табл. 5.

С учетом вероятности запроса на представление и пере­ дачу всех сообщений о материалах необходимо затратить в среднем двоичных символов

i= m

О = 2 Pi ni , i=i

где Pj — вероятность запроса на i-й материал;

n г — количество двоичных символов в коде i-ro мате­ риала.

В нашем случае; а) при традиционном кодировании

Q=0,15-1+0,10-1+0,05-2+0,3-2+0,18-2 + 0,22-3= 1,9'

дв. символов; б) при использовании теоремы Шеннона

<3 = 0,15-2 + 0,10-3+0,05-3+0,3-1+0,18-2+0,22-1 = 1,63 дв. сим­ волов.

Таким образом, использование принципов статистичес­ кого кодирования позволяет в данном случае сократить коли­ чество двоичных символов, необходимых для передачи сооб­ щений или ^отражения в соответствующих документах про­ цесса движения материалов, примерно на 20%.

79