книги из ГПНТБ / Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами

со

+ slnu>* J y(x,t)gz(x)dx\ - T (t)mf(t),

о

Сравним алгоритмы (2 . 78) и (2 . 42). Различные по фор­ ме, при выборе у (/) =/С (t) они совпадают.

Применение настраиваемых моделей

Пусть параллельно объекту подключена модель с фикси­ рованной структурой и настраиваемыми параметрами Ш(, i = 1 ,

2 , п.

Примем в качестве критерия близости объекта и модели математическое ожидание некоторой функции потерь

тде 5 /= ддк — функции чувствительности. Помеху h считаем dm i

непрерывной с вероятностью единица случайной функцией с нулевым математическим ожиданием. Из (2. 79) следует, что для идентификации распределенных объектов требуется помимо настраиваемой модели с иррациональной передаточ­ ной функцией построить модель чувствительности с переда­

точной функцией ФГ1 (р), учитывающей специфику распреде­ ленной системы

Рассмотрим для конкретности, какой вид имеет модель 'чувствительности для объекта с передаточной функциейV

тде В(р) и D(p)— многочлены.

440

Дифференцируя Ф(о) до параметрам mt, находим

В табл. 1 приведены выражения Ф/ (р) для некоторых типичных случаев. В последней графе содержится ссылка на лите* ратуру, где исследуются системы с функцией Ф(р) соответ­ ствующего вида. Перечень передаточных функций, конечно* может быть значительно расширен. Однако из приведенной таблицы видно, что лишь в некоторых случаях для получе­ ния функций чувствительности можно использовать звенья с рациональными передаточными функциями.

Итак, применение методов теории чувствительности и стохаотической аппроксимации может привести к решению по­ ставленной задачи. Но изложенный формальный подход стра­ дает некоторыми недостатками. С одной стороны, построение распределенных моделей и тем более настраиваемых моделей представляет трудную техническую задачу. С другой сторо­ ны, эго не является необходимым. Рассмотрим способ определения неизвестных параметров без использования мо­ дели с распределенными параметрами [2. 32].

141

Попытаемся ослабить ограничения, накладываемые на модель объекта и модель чувствительности, п сформулиро­ вать условия, которым должны удовлетворять функции Ф(р) Ф'г (р), чтобы обеспечивалась асимптотическая сходимость с вероятностью единица оценок к истинным значениям па­ раметров. Достаточное условие сходимости алгоритма стоха­ стической аппроксимации состоит в том, чтобы критерий

Здесь Q — область изменения параметров р, и т, f(p) — вза­ имнооднозначная функция. В частном случае f(p )= p . Отсю­ да следует, что необязательно, чтобы структуры объекта и модели совпадали, но они должны быть известными для нахождения f(p). При идентификации распределенного объ­ екта можно использовать модель с сосредоточенными пара­ метрами.

Следующий этап упрощения алгоритма (2. 79) состоит в замене функций чувствительности 5 некоторыми функциями vlt которые вычисляются проще.

Можно показать, что для обеспечения сходимости т к т* достаточно, чтобы выполнялись условия (одномерный случай):

Аналогичные условия можно выписать и для многомерного случая. Условия (2. 85), (2. 86) позволяют упростить и в от­

142

дельных случаях исключить модели чувствительности из си­ стем. Они же определяют область сходимости алгоритма на­ стройки в пространстве параметров jj., т.

2. 6. СХОДИМОСТЬ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ

Этот и последующий подразделы посвящены изучению не­ которых свойств дискретных алгоритмов идентификации. Ана­ лиз работоспособности и эффективности алгоритмов включа­ ет следующие важные моменты. Во-первых, необходимо убе­ диться в том, что задача оценки неизвестных параметров име­ ет решение и это решение единственно, т. е. объект идентифи­ цируем по доступным для измерения переменным. Во-вторых, нужно доказать, что полученные оценки параметров являются состоятельными и сходятся по мере накопления данных к зна­ чениям, при которых наблюдается иаилучшее в каком-то смысле совпадение измеренных на объекте и рассчитанных на модели выходных переменных. В-третьих, при использовании УВМ. и дискретных алгоритмов для оценки параметров не­

ции существует и единственно, модель в частных разностях является адекватной и погрешностью дискретизации можно пренебречь. Сформулируем условия, при которых обеспечива­

части в квадрат и возьмем условное математическое ожида­

.1.43

lim(/?z[s]—|а)=(/я до —|j.)2< co .

5—»оо

Используя условие 1) теоремы, получим из (2. 88)

M{X2S+1| Х5}<Х2, - 2 Т[5]Х,М{ у J - e | Xs}+ T2[# [l+ XЛ 1

Ж{Х%+1}<ДИХ12} - 2 2 - г [ / ] ( Л ^ ( У т ^ - е | Х ;))+

/= 1

т. е- алгоритм (2. 57) дает оценку /n[s], сходящуюся к истинному значению ц с вероятностью единица и в средне­ квадратическом.

Если объект линейный, то из (2. 87) следует, что метод стохастической аппроксимации неприменим в том случае, когда функция потерь растет быстрее квадратичной парабо-

144

Всегда M{[signy I —M{signy Г | mis—l] = |j.)]!}<c; c= const

и mis] сходится к р с вероятностью единица при выполнении условия

7'=(m[s]—\>.)M{(signy / — M isigny I | mts] = jj-}) | mls]}>0,

(2. 92)

7 = 0 только при m[s]= |j..

Сходимость алгоритмов для случаев, когда ц, — вектор или матрица параметров, доказывается аналогичным путем.

Сходимость и работоспособность некоторых алгоритмов, в частности для объекта, описываемого уравнением диффузии (2. 58), проверены методом статистического моделирования на аналоговой вычислительной машине типа ЛМУ-1 и ЦВМ [2. 39, 2. 40]. При моделировании на ЛМУ-1 исследовались алгоритмы (2. 78) оценки параметров, входящих в граничные условия, а также алгоритм, аналогичный (2. 64.) для оценки коэффициента диффузии ц:

(Lftt

- f t - = т(0 {2 «(У«м 1—2 у«+Ук- i ) - т1(ук+v- 2 у,+У*-, у — 6о*А]),

где zK=-^+h(l),y,, = y(Kbx,t).

2. 7. ТОЧНОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

К центральным вопросам проблемы идентификации рас­ пределенных систем относятся следующие:

1. Можно ли (и при каких условиях) определить неизвест­ ные параметры, характеризующие динамику непрерывно рас­ пределенных систем по измерениям их текущего состояния в

конечном числе пространственных точек в дискретные момен­ ты времени?

2. Как зависит точность оценок от интервалов квантования Ах и At по пространственной координате и времени?

Рассмотрим задачу идентификации распределенного объ­ екта, описываемого системой линейных относительно неиз­ вестных параметров р дифференциальных уравнений в част­ ных производных первого или второго порядка:

где etx,t).— невязка, lime(x,/)=0 .

Дх—о

Д /-.0

Пусть критерий качества аппроксимации квадратичный вида (2 . 66), и функции состояния q измеряются без помех. Описанные выше алгоритмы (2. 70) обеспечивают сходимость оценок m в. область, для которой

Мб-

Условие существования и единственности решения задачи идентификации

Решение матричного уравнения (2. 98) имеет вид

Условие существования решения (2. 101) задачи идентифи­ кации состоит в следующем: элементы ау существуют в точ- -ке.х=кАх, t = sAt и ранги матриц А и Л.Л, х = 1, 2, ... совпада­

ют, где

147

Приведенные условия по существу являются условиями идентифицируемости. Если не для всех, а лишь для некоторых х имеет место В %-^ 0, можно говорить о частичной идентифи­

цируемости. В этом случае вместо (2. 101) запишем

Аналогичные условия можно получить для системы с по­ мехами h(x, t) в измерительных устройствах. В этом случае

и(2 . 100).

2.Проверка выполнения условий существования и един­

ственности решения.

3. Вычисление по (2. 101) или (2. 102) оценок

148

Ниже, на примере объекта, описываемого уравнением в частных производных второго порядка, проведен анализ точ­ ности идентификации по указанной методике [2. 40].

Точность идентификации распределенного объекта второго порядка

Пусть уравнение объекта имеет вид (2. 58), причем

q(Q'i) = u{t)=sin{ut-\-z)\ х > 0 , ^> 0 ,

где z — случайная величина, равномерно распределенная на интервале (0,2я). При этом взаимнокорреляционная функция R qq между сигналами q{x\, t\) и q{x2, t2) (автокорреляцион­ ная функция поля q(x, t)) определяется выражениями:

Rgq{Xl,X2,tu t2) = K(u},X1)K(w,x2)cOsW(t2—/,) —F(a>)(x2—*i)1;

(2. 104)

Vw? J; F ( a ) = ^ = V w £ .

Поскольку нас интересует лишь методическая сторона вопро­ са, ограничимся рассмотрением более простого случая, когда коэффициент и—0.

Производя по-разному дискретизацию, можно получить несколько разностных аналогов исходного уравнения:

I. ?[/<•,s-f 1]— ffU.s]— (?[/с— l.s]— 2?[fc,s]+0[K+l,s]) = Kj[.

149