книги из ГПНТБ / Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами

Р а з д е л 2

СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ С ПАССИВНЫМ НАКОПЛЕНИЕМ

ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ АСУ ТП С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

2. 1. РАЗДЕЛЕНИЕ ЗАДАЧ НАКОПЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ

Как отмечалось в разделе I, при исследовании ряда задач дуального управления линейными объектами с квадратичны­ ми критериями качества было замечено, что алгоритмы уп­ равления можно разделить на две части: вычисление оценок и управление по оценкам. Указанное обстоятельство позво­ лило высказать предположение [2 . 1—2 . 3], что и в других системах возможно разделение задач синтеза на две: синтез алгоритмов управления в предположении, что параметры р заданы, и синтез алгоритмов вычисления текущих статистиче­ ских оценок т параметров р с целью последующего их ис­ пользования в алгоритме управления. В соответствии с двумя выполняемыми функциями (управление и изучение объекта) представим управляющее устройство УУ (рис. 2. 1) в виде совокупности двух связанных блоков: собственно управляю­ щего блока УБ и вычислительного устройства ВУ, вычисляю­ щего оценки т.

Укажем следующие пути синтеза алгоритмов:

1)Независимый синтез УБ и ВУ [2. 1, 2. 2, В. 16].

2)Поэтапный синтез. Вначале находится алгоритм УБ, затем проводится синтез ВУ с учетом того, как оценки т ис­ пользуются для управления [2. 2, В. 16].

Оптимальные текущие оценки m*s (для дискретного вре­ мени) определяются, например, методом, изложенным в [2. 4], из условия минимума по р математического ожидания функции потерь

111

Особенность состоит в том, что оценки т* находятся из ус­ ловия близости действительного и предсказанного выходов объекта, а не из близости оценок и параметров.

3)Поэтапный синтез. Вначале решается задача иден­

тификации (находится алгоритм ВУ), затем синтезируется УБ, причем задача второго этапа сводится к задаче стохасти­ ческого управления обычно уже нелинейной системой, вклю­ чающей объект и вычислительное устройство ВУ. Указанные два этапа выделяет И. А. Богусловский [2. 7] при исследова­ нии стохастического оптимального управления инерционны­ ми объектами с сосредоточенными параметрами. На первом: этапе выводятся уравнения для достаточных координат, а на втором — используются рекуррентные уравнения Веллмана, независимыми переменными в которых служат достаточные координаты. По существу, этой же идеологии мы придержи­ вались при изложении в подразделе 1 . 2 метода информаци­ онных координат для распределенных систем с запазды­ ванием.

Наиболее простым является путь полностью независимого синтеза УБ и ВУ. Такой подход оказался конструктивным и позволил получить ряд помехоустойчивых алгоритмов для типовых объектов с запаздыванием [2. 6]. В частности, бы­ ла решена задача синтеза близких статистически оптимальных систем управления [2. 6, В. 16]. Однако во многих случаях это путь приближенного решения, и полученные таким об­ разом алгоритмы требуют дополнительного исследования.

Позднее были сделаны шаги в направлении строгого ре­ шения проблемы разделения задач управления и накопления информации. Важный вклад был внесен В. И. Иваненко [2. 7, 2. 8], который установил достаточные условия приво­ димости систем к разомкнутым для одного класса стационар­ ных случайных объектов с конечной памятью (в общем слу­ чае нелинейных), а также условия распада функционала ка­ чества, при которых допустима одношаговая оптимизация, Условия разделения задач для линейных динамических объ­ ектов с аддитивными возмущениями и помехами измерения даны в [2. 9]. Хорошо известен также полученный в послед­ ние годы в теории стохастического оптимального управления результат решения линейно-квадратических задач — так на­ зываемая теорема разделения [2 . 10—2 . 12 ]. Было. установ-

112

лено, что для линейных систем, описываемых обыкновенны­ ми дифференциальными (или разностными) уравнениями, при аддитивных гауссовых помехах оптимальное по квадратиче­ скому критерию качества управление представляет собой де­ терминированное управление по оценкам фазовых координат.

Ниже описаны достаточные условия разделимости задач накопления информации для более общих математических моделей объектов, в том числе для нелинейных нестационар­ ных объектов с чистым запаздыванием и распределенными параметрами, для объектов, описание которых задано услов­ ными плотностями вероятности, а также для негауссовых за­ конов распределения и для неаддитивных помех. Предвари­ тельно сделаем два замечания.

Замечание 1. Полный рискР^т^при оптимальном управле­

нии и* (v) на оставшемся интервале времени (непрерывного или дискретного) vs [f, Т] зависит от состояния объекта q{x, t) в момент t, в общем случае от предыстории управления, w(Tl)/7Je [0, 2] и от объема информации о неизвестных пара­ метрах р, которая накоплена к моменту t и содержится в апо­

стериорной плотности вероятности РДр.) или Ps.(p-),s

ДР

Дефицит, полезной информации при задании плотности Р*(|а) будем измерять разностью

Д /,=Я (,>Г)[д(т)),

Замечание 2 . Из зависимости .РДц.) от и еще не следует дуальность управления. Можно привести пример, когда Я/(р) зависит от и и вместе с тем дуального управления нет, необ­ ходимость в накоплении информации с точки зрения задан­ ного критерия отсутствует.

Пусть объект задан уравнением

? ( 0 = [Ч О -н (0 1г'Н-+Л(0 .

где р — случайная величина;

h(t) — центрированная помеха с независимыми значе­ ниями;

%,{t) — контролируемый вход;

Wt=q{t).

Плотность Р} (р) зависит от и, в частности, с ростом ошибки

вариантен относительно Pt (р). Согласно принятой в [В. 16] терминологии, р в данном примере относится к несуществен­ ным неизвестным параметрам. Если же X — неконтролируемая случайная величина, оптимальное управление является ду­ альным. То же самое имеет место при некоторых другие функциях потерь.

Таким образом, при рассмотрении вопроса о разделении задач накопления информации (идентификации, оценки функ-

114;

;ций состояния объекта) и управления следует принимать во.

.внимание следующие факторы: вид критерия оптимальности; уравнения объекта и измерительных устройств, вид услов­ ных плотностей вероятностей; область Й(ы) изменения управ­ ляющих воздействий, выделяя из нее область Q,p (u), для ко­ торой допустимо разделение задач изучения и управления.

Ниже сформулированы достаточные условия разделения

.для нескольких типов моделей объектов управления. Модель 1

Пусть описание объекта задано условными плотностями

формации из общей задачи синтеза управляющего устройст­ ва и возможности ее независимого исследования сформули­ руем в виде следующей теоремы.

Теорема 1 Разделение задач накопления информации и управления

Ж 5 »

где

Р{ У Ы /Ш ,^ Ы) = f t Р(У[/]/У[/—

‘И*

- 1 ], U [/], ГШ)Я(У[0]/^[0],1х[0]).

При выполнении условий теоремы преобразуем (2. 3) с уче­ том (2. 2). После сокращения общих множителей получим

^Gp (Z [s],~p [s])pfp. [s])tfQ

П( ф ])

Апостериорная плотность инвариантна относительно u[s]. Пример Пусть уравнение объекта с запаздыванием на время т име­

ет вид

уЫ —y[s —П f |x«[s—х]+ЛЫ, ueQ(u).

Помеха 1г представляет собой центрированную последова­ тельность независимых нормально распределенных величин с дисперсией оаЛ.. При этом для

P(y[s]/y[s—1],|a,m[s—т]) =

В общем случае условие теоремы не выполняется и в опти­ мальной системе разделение задач невозможно. Однако для области Qp (u) = ±a, a = const система нейтральна с пассив­ ным накоплением ’информации. Действительно, введя новую

116

функционал. Из соотношений (2 . 6 ) можно получить модель объекта и измерительного устройства в матричной форме, ко­ торую можно записать следующим матричным уравнением:

И 7

—►

инвариантных относительно £/[s]eQp(Ms]), то система ней­ тральна и возможно разделение при синтезе задач накоп­ ления информации и управления.

Доказательство аналогично предыдущему. Модель 4

0 , xeQ(x),

y(x,t) = q(x,i).

Теорема 4 Независимое исследование задачи накопления информации

возможно, если выражение (2 . 16) представимо в виде сум­ мы двух слагаемых Fu и F[X

119