книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1

В теории колебаний доказывается, что произведение матриц

[.м - 1) [К] = W*,

Вместе с тем, равенство (11.44) дает и один из возможных мето­

используются, однако одним из преимуществ его является нали­ чие во многих вычислительных центрах готовых программ для определения W2 и R.

70

§ 6. Вычисление коэффициентов матрицы рассеяния энергии

Л'Іатрица собственных векторов обладает свойством

После вычисления квадратного корня из матрицы жесткости определение элементов матрицы затухания не представляет за­ труднений:

Уравнения колебаний системы со многими степенями свободы часто записываются с помощью матрицы единичных перемещений А которая является обратной по отношению к матрице жестко­ сти К:

D = К~х .

Уравнение вынужденных колебаний с правой частью в виде акселерограммы землетрясения, согласно (II. 28), запишется так:

Умножая это равенство слева на матрицу D, получаем систему уравнений в перемещениях:

D M X + yDM 2 К 2 х + х — — D M w0(t).

Вэтой системе уравнений матрица затухания будет

1I

С— -\DM 2 К 2,

что на основании (II. 45) приводится к виду

Матрицы

S — R W R

и

T = M R W R M

71

симметричны, что следует учитывать при их вычислении.

В .качестве примера рассмотрим вычисление матрицы затуха­

Для проверки правильности вычислений можно использовать равенство, основанное на соотношении

/ Г 1( М~1 К) R = U72,

72

где Wi—диагональная матрица квадратов собственных частот,

R- 1CR = M~RCR =

Система уравнений сейсмических колебаний будет иметь вид:

43,67 л'і + 53,24 л 2 + 27,28 х ь + 54,53 х ±+ 25,50 л2 +

+ 13,02л'з + ІО4 x L= — 150,15 w0 (t),

53,24 + 107,18 л'., + 58,82 Зс3 + 28,99 jq + 76,63 х 3 +

+ 33,65 ^з+ Ю 1X-2 = - 275,21 w0 (t),

53,24Ä-j+ 114,80л', -f 85,84^3 + 22,33 x, + 53,07 x ,+

-f 79,40 хз+104х 3 = — 171,93 IWQ (0-

Путем решения этой системы можно определить в виде функ­ ций времени перемещения точек системы лу , сейсмические нагруз­ ки я перерезывающие силы.

§7. Системы с распределенны ми параметрам и

На примерах изгибных и сдвиговых колебаний однородного стержня покажем возможность построения уравнений в частных производных с действительными коэффициентами, удовлетворя­ ющих тем же условиям—линейности, устойчивости, независимо­ сти декремента колебаний от частоты. При этом решения получа­ ются в виде рядов по формам собственных колебаний стержней

m ш2

"ЕЛ '

73.

где dv (t ) — сила сопротивления, приходящаяся на элементарную

Изгибающий момент сил сопротивления, действующих на эле­ мент площади поперечного сечения, будет

dp(t) = ^ z d F ,

где 2—расстояние элементарной площадки от нейтральной оси. Деформация е может быть выражена через внешний изпиба-

чощий момент:

М г

£ = £7-

.Подставляя значение е в предыдущее выражение, находим

dp {t) = -ßT~dTzdF.

Момент сил сопротивления в поперечном сечении равен

* В известной книге С. П. Тимошенко «Колебания в инженерном деле», Физматгиз, 1959 г., как первоисточник указывается работа X. Хольцера, опублико­ ванная в 1928 г.

74

Подставляя в последнее равенство М = - £ / ^ и сокращая на

■dx, получаем силу сопротивления в сечении с координатой х, отнесенную к единице длины стержня:

В этом уравнении коэффициент \ зависит только от физических свойств материала, так же как и модуль упругости Е. Поэтому можно ввести другой коэффициент нормальной вязкости

приводят к пропорциональной зависимости сил сопротивления от поперечной жесткости стержня.

Разделяя переменные подстановкой у(х, t)=X(x)T(t), полу­ чаем

E I ^ ( T ( t ) + Z ' f ( t ) ) + m X T ( t ) = 0,

■что равносильно двум уравнениям:

d*X

ЕІ dx* №

t{t) + l a 2t(t) + a ? T { t ) = 0 .

Первое уравнение совпадает с уравнением (II. 51), поэтому собст­ венные функции краевой задачи (II. 56) совпадают с таковыми для уравнения незатухающих колебаний. Второе уравнение имеет

DeuieiHHe

где

(11.58)

7o

Декременты колебаний —

рыми определяются частоты и декременты затухающих колеба­ ний дискретной системы, если принять матрицу рассеяния про­ порциональной матрице жесткости. Это совпадение вполне зако­ номерно, так как уравнения (II. 10) и (II. 56) основаны на одной и той же предпосылке о пропорциональности сил сопротивления поперечной жесткости системы. Выше было показано, что реше­ ния, получаемые на основе этой предпосылки, приводят к логи­ ческим противоречиям и не согласуются с результатами опытов. Остановимся еще на выводах, к которым приходит автор ра­ боты [148].

Исходя из выполненных еще в 1908 г. опытов Г. Оморп, в ко­ торых определен логарифмический декремент первой формы ко­

На этом основании К. Сюэхиро приходит к выводу, что во всех случаях колебания выше третьего или четвертого тона не могут в действительности иметь места, так что не следует учитывать ко­ лебаний более высоких тонов.

Для зданий и сооружений более сложной конструкции, чем кирпичная колонна, декременты первых форм колебаний обычно находятся в пределах 0,2ч-0,3, поэтому для них колебания по высшим формам тем более были бы невозможны.

Работы К. Сюэхиро (К. Suyehiro [149]) по инженерной сейсмо­ логии серьезно повлияли на развитие исследований по сейсмо­ стойкости в СССР, и некоторые специалисты до последнего вре­ мени считали, что колебания сооружений по высшим формам не­ возможны. В наши дни это представление, по-видимому, уже пе­ рестало существовать, главным образом под влиянием выводов гистерезисной теории затухания и многочисленных экспериментов, показавших, что формула (11.58) не отражает действительного положения вещей.

Чтобы к стержню с непрерывно распределенной массой приме­ нить методику, разработанную для дискретных систем, следует отказаться от исследования сил сопротивления, действующих на элементарные площадки поперечного сечения и пропорциональ­ ных скорости изменения нормальных деформаций. Вместо этого будем считать, что силы сопротивления, действующие на элемент длины стержня, пропорциональны скорости его перемещений (воз­ можность такой точки зрения отмечена в работе [120], но в ней воп­ рос рассматривается в другой постановке). Кроме того, примем,

76

что эти силы зависят не только от физических свойств материала, но и от механических характеристик сооружения.

стержня без затухания, а главные координаты имеют вид (II. 8). Так же как и для уравнений дискретной системы с матрицей рас­ сеяния, пропорциональной матрице распределения масс, частоты

■с опытом и, по-видимому, ведет к некоторой переоценке влияния

потому, что решение не содержит очевидных противоречий с фак­

77

в случае уравнения (II. 56) действительными являются только не­ сколько первых членов, поэтому общее его решение не может быть представлено этим рядом. То же относится и к системе урав­ нений (II. 10) при достаточно большом числе степеней свободы- (практически при п > 4).

Учет затухания в форме (II. 56) и (II. 60) обусловливает со­ ответственно прямую и обратную пропорциональность декремен­ та частоте колебаний.

По аналогии с уравнениями для дискретных систем можно ожидать, что существуют другие операторы, с помощью которых получаются промежуточные закономерности. Ниже будет пока­ зано, что в общем случае для систем с распределенными пара­ метрами построение операторов, удовлетворяющих всем постав­ ленным требованиям, сложнее, чем для дискретных систем. Ука­ жем на простую возможность, вполне аналогичную рассмотрен­ ной в § 2 настоящей главы. Уравнение

подстановкой у = X{x)T[t) приводится к двум уравнениям с раз­ деленными переменными:

ЛІѴ- фХ= 0;

Т4- (Сі -|- с,ш-)Т -f- ш-Г — О,

где

Первое уравнение снова приводит к формам незатухающих ко­ лебаний, а второе решается так же, как уравнение (II. 17). Урав­ нение (II. 61) приводит к таким же качественным результатам в смысле зависимости декремента колебаний от частоты, как и система уравнений (II. 17).

§ 8. Уравнения с интегральны ми операторами

Для схем с непрерывно распределенной массой можно напи­ сать интегральные уравнения, аналогичные системе (II. 16). Ум­ ножив уравнение (II. 16) слева на матрицу (М~1 К)~1, запишем его в следующем виде:

где

D= К ~ 1

—матрица влияния, элементы которой dlk равны перемещению точки і по направлению единичного усилия в точке k. Матрица

78

М обратна матрице М~х К , поэтому, применяя оператор [/?], по­

лучаем уравнение в главных координатах, эквивалентное урав­ нению (11.17):

-2ÜZÜ- _

Для непрерывных систем матричному оператору D аналогичен оператор Фредгольма второго рода, который определяется ра­ венством

Df{x) = \ D { X , s)f(s) ds;

L

D(x, s)—функция влияния, выражающая прогиб в точке х при единичной нагрузке в точке s. Функция влияния симметрична относительно переменных х и s:

D{x, s) = (s, x).

С помощью оператора D уравнение незатухающих колебаний мож­ но написать в виде, аналогичном (11.34) при с= 0:

Dmy + у = 0,

обладающим свойством орто-нормировайнОістл с весом т(х):

Решение уравнения (11.64) выражается через собственные функ­ ции в виде

где функции rt(x) удовлетворяют интегральному уравнению

79