книги из ГПНТБ / Горелов, В. А. Механические колебания в радиоэлектронике

20 -

Рис.1.7. Тормозные устройства, используемые в ударных стендах.

используется то или иное изделие, характер механических воздействий будет различным. И так как в целом уровни мак­

симальных и минимальных воздействий значительно различаются

Г

мекду собой, то проектировать все приборы на одни и те же максимальные нагрузки нецелесообразно. Б реззгльтате приборы подразделяют по степеням жесткости, учитывающим различия в уровнях механических воздействий.

Специфичность условий, в которых должен эксплуатироваться прибор, оговаривается в частных технических условиях (ЧТУ).

1.4.Механические системы и их идеализация

Встречающиеся в технике механические системы чаще все-

*

го многокомпонентны. О ш состоят из некоторого, иногда очень большого, числа элементов и потому их состояние опи­

сывается несколькими обобщенными координатами Cjf^, ^

- 21 -

( S - число степеней свобода системы).

Например, если рассматривать колебания прибора, установ­

ленного на амортизаторах, и считать его абсолютно твердым телом, то даже и в этом уже-упрощенном виде тело будет обла­ дать шестью степенями свободы, из которых три степени прихо­ дятся на поступательное движение его центра масс, а три дру­ гие степени - на вращение вокруг осей, проходящих через центр масс. Движение такой системы описывается шестью диффе­ ренциальными уравнениями второго порядка, зависящими друг от друга, и, само собой разумеется, решение их представляет

серьезные математические трудности. Однако во многих случа­ ях целесообразно все эти уравнения рассматривать раздельно, что равносильно расчленению самой системы на шесть одномас- ' соБых систем. Таким образом, возникает необхгдимость изуче­ ния системы с одной степенью свободы.

Другой пример. Система, обладающая бесконечным числом степеней свобода. Такие системы характерны для тел с распре­ деленными параметрами. Они имеют бесконечно большое число частот собственных колебаний. С целью упрощения там, іде это не противоречит характеру задачи, такие системы заменя­ ют эквивалентной одномассовой системой.

Так, если интересуются перемещением какой-либо точки балки под действием импульса, одинаково приложенного ко всем

её точкам, то балку с распределенной массой заменяют балкой

<

с сосредоточенной массой в точке приведения. При этом приве­ денная масса эквивалентной системы находится из условия ра­ венства кинетических энергий заданной колебательной система и систрмы, заменяющей её.

- 23 -

тела в целом является суммой неограниченного числа простых гармонических колебаний, называемых главными,или нормальны­

ми, колебаниями..Каждое главное колебание тела характеризу­ ется особой его формой, а такие соответствующим этой форме периодом колебаний и монет совершаться независимо от всех других его форм. Отдельные формы главных колебаний различа­ ются меяду собой числом узлов, т.е. числом таких точек, ли­ няй, поверхностей, которые остаются неподвижными при коле­

бательном двиненш тела. Форма колебаний с наименьшим чис­ лом у м о в соответствует колебанию первого (основного) тона.

Оно характеризуется ңаикизшей частотой колебаний. Формы ко­ лебаний с последующим увеличением числа узлов дают колеба­ ния второго, третьего и т.д. тонов. Их частоты возрастают от низших тонов к высшим.

Перемещения и колебания тела, возникающие под действием динамической нагрузка, являются отмой перемещений и колеба­ ний, отвечающих формам его главны:-: колебаний. Если формы ко­ лебаний тела известны, то каздое колебание в отдельности модно рассматривать как колебание системы, обладающей лишь одной степенью свободы. Следовательно, всякое упругое тело можно рассматривать как совокупность систем, обладакіщк од­ ной стеченью свободы, и его расчет свести к расчету одно­ массовой системы.

Однако такой простой путьрешения задачи усложняется трудностями, возникающими с нахождением форм нормальных ко­ лебаний тела. Строгое аналитическое решение этой задачи ока­ зывается возможным лишь для немногих простых систем. В боль­ шинстве же случаев приходится применять различные приближен­

- 24 -

ные методы решения или делать те или иные упрощающие допу­ щения за счет снижения точности результатов.

Функции координат точек тела, представляющие формы нор­ мальных колебаний тела, называются нормальными функциями. Точка, в которой значение нормальной функции полагают рав­ ным единице, считается точкой приведения. В результате нор­ мальная функция выражает перемещения всех точек тела относи­ тельно точки приведения, перемещение которой поэтому прини­ мают за обобщенную координату тела для данной нормальной функции.

Параметры колебательной систеш по каждой из обобщенных координат выражаются через три основные величины - приведен­ ную массу М . приведенный коэффициент жесткости С и при­ веденную силу F . Необходимость введения всех трех величин диктуется следующими соображениями. Поскольку частоты коле­ баний заданной упругой систеш и систеш, получающейся в ре­ зультате замены её точкою, должны быть одинаковыми, а значе­ ние частоты определяется массой и жесткостью, то из этого условия возникает необходимость введения двух-понятий: при­ веденной массы и приведенной жесткости. Как уже указывалось, приведенную массу находят из равенства кинетических энергий одно-массовой и многомассовой систем. Однако, помещая эту . массу в различные точки тела, можно получать различные час­ тоты колебаний за счет тбго, что в реальной системе жесткость телалот точки к точке может меняться. Чтобы учесть это изме­ нение, вводят второе понятие - приведенную жесткость - и оп­ ределяют её численную величину из условия равенства потенци­ альных энергий обеих систем.

- 25 -

Третье понятие - приведенная сила - необходимо потому, что для системы, обладающей протяженностью, силовой фактор может оказаться приложенным в различных точках, а его воз­ действие неодинаково в зависимости от того, в каком месте он приложен. Чтобы учесть и эту особенность, необходимо выполнить равенство между работой приведенной силы, прило­ женной в точке приведения, и работой реальных силовых воз­ действий, приложенных в заданных точках рассматриваемой уп­ ругой системы.

Конечно, для полной характеристики многомассовых упру­ гих систем при замене их одномассовыми указанные приведен­ ные величины необходимо определять для каждой из частот ко­ лебаний, соответствующих различным фордам. Для их вычисле­ ния вводятся следующие обозначения!

Функция от координат ^ -й точки тела, опре­ деляющая рассматриваемую форму его колебания;

-Функция, определяющая распределение массы тела;

У. - функция, определяющая распределение и интеняостъ действующей на )) -а точку тела внешней силы;

уравнение колебательного движения точки при­

ведения, для которой функция J- = I.

Уравнение колебательного движения любой точки упругого тела,

очевидно,будет: % = %■ / = %'f- üntit .

При колебании упругого тела согласно этому уравнению кинети­ ческая энергия тела будет равна:

2 Z m / 2 ^

Для того чтобы точка приведения при своем колебательном дви­ нется имела такую же кинетическую энергию, она должна обла—

26 -

дать приведенной массой М , определяемой равенством:

точек тела на квадрат перемещений, которые они получают при перемещении точки приведения, равном единице.

Если рассматриваемое перемещение, определяемое функцией

/ , вызывает не только поступательное, но и вращательные

движения масс тела, то кинетическая энергия тела увеличится на величину кинетической энергии вращательных движений этих

масс. *

Таким образом, приведенный коэффициент жесткости равен удво­ енной величине потенциальной энергии всего тела при переме­ щении его, отвечающем перемещению точки приведения, равному

единице, т.е. при перемещении^определяемом функцией .

За счет приращения перемещения точки приведения на величину

После двукратного интегрирования дифференциального уравне­

Пример 2. Найти частоту крутильных колебаний держателей, на которых размещаются траверсы I и 2, а также

- 29 -

спираль 3 лампфарн (рис.1.9 ). Размеры дета­ лей указаны! мм на чертеже. Веса элемен­ тов заданы: спирали - 0,123 г, тра­

версы 1-0,385 г, > траверсы 2- 0,281 г.

Пусть сече­ ниями, к кото­

рым приводам массы системы, являются сечение А - для травер­

единицах.

Приведенный момент инерции траверс получим, если при­ равняем кинетическую энергию их вращения вокруг продольной оси держателя (оси ОС.) и энергию движения массы траверсы и Держателя. Однако для упрощения вычислений пренебрежем . кинетической энергией массы держателя ввиду её малости.

При вычислении моментов инерции массы траверс и спирали от­ носительно оси вращения учтем, что траверсы изготовлены из