книги из ГПНТБ / Бешелев, С. Д. Экспертные оценки

что два сложных события будут взаимоисключающими,

о котором было рассказано прежде, т. е. когда точка, соответствующая простому событию под названием «крас­ ный полосатый», входит в два сложных события: «крас­

Предположим, что при анализе возможных взаимо­ исключающих исходов мы получили ряд оценок, показан­ ных в графе I f табл. 6.

Поскольку эти оценки (результаты) относятся к буду­ щему, каждой из них может быть приписан «вес», отра­

80

Исходя из этого, можно сформулировать первое пра­ вило приписания веса различным событиям: сумма весов, \

всебя взаимоисключающие события. Рассмотрим пе­

речни А и С и составим таблицу «выплат» в зависимости от того, будет выбран билет № 1 или № 2. Напомним, что по условию нашей задачи первый билет дает возмож­ ность выиграть сумму v, если шар, вынутый из урны, будет либо красным, либо полосатым, а второй билет — выиграть ту же сумму, если шар будет зеленым в кра­ пинку.

Для перечня событий А таблица выплат будет следую­ щей (табл. 7).

Для перечня событий С таблица выплат будет иметь такой вид:

Таблица 8 Таблица выплат для перечни событий С

Рассмотрим возможность получения выигрыша v по билету № 2.

Поскольку получение этого выигрыша связано здесь с простым событием «зеленый в крапинку», то очевидно, что вероятностная оценка, которая может быть припи­ сана такому событию, должна быть основана на следую­ щих соображениях:

а) если мы абсолютно убеждены по какой-либо при­ чине, что шар, который мы возьмем из урны, не будет зеленым в крапинку, мы припишем билету № 2 оценку 0; б) если же мы абсолютно убеждены, что этот шар будет зеленым в крапинку, то припишем билету № 2

оценку у; в) если существует неопределенность в отношении со­

бытия «зеленый в крапинку», мы припишем билету оценку между 0 и г;.

Отсюда^следует, что если мы'припишем какие-либо веса событиям в табл. 7 и 8 и будем рассчитывать взвешенную среднюю в столбце таблиц, относящихся к билету № 2, эта взвешенная средняя будет равняться оценке v, умно­ женной на вес, приписанный событию «зеленый в кра­ пинку», поскольку, по первому правилу, сумма весов, приписанных всем событиям в таблице, должна быть равна единице, а сумма произведений оценок и весов остается неизменной, когда она делится на сумму весов.

Но тогда взвешенная средняя согласуется с тремя соображениями — а, б и в, — перечисленными выше, только в случае, если мы приписываем вес 0'событию, которое считаем невозможным, вес 1 — событию, кото-

82

г рое мы считаем достоверным (определенным), и некоторое

:промежуточное число любому вероятному событию. Отсюда

;второе правило приписывания весов: вес, приписанный

з у е т убеждение в том, что событие не произойдет, а еди­ ница — абсолютное убеждение в том, что оно произойдет.

Теперь рассмотрим билет № 1. Если рассчитать взве­ шенную среднюю значений в столбце, относящемся к би­ лету № 1 в табл. 7, то получим сумму трех членов: v, умноженное на вес события «красный полосатый»; v — на вес события «красный в крапинку»; v — на вес собы­ тия «зеленый полосатый», и эта сумма будет равна v, умноженному на сумму этих трех весов.'

Но если рассчитать взвешенную среднюю оценок в со­ ответствующем столбце табл. 8, то получим, что она равна v, умноженному па вес сложного события «красный или полосатый». Отсюда можно сделать вывод, что вес, при­ писываемый событию «красный или полосатый», должен равняться сумме весов, приписываемых трем взаимо­ исключающим событиям, из которых эта сумма состоит.

Тогда можно вывести третье основное правило при­

Отметим, что это правило справедливо только для взаимржжлючающих событий. Предположим, что мы ^приписали вёса7~показанные в табл. 7, четырем взаимо­

Тогда в соответствии с третьим правилом вес события «красный» будет равен 0 , 4 + 0 , 3 = 0 , 7 , а вес события «поло­ сатый» 0 , 4 + 0 , 2 = 0 , 6 . Однако мы не можем сложить эти два результата для того, чтобы рассчитать вес события «красный или полосатый», так как если мы это сделаем, то сосчитаем вес 0,4, первоначально приписанный собы­ тию «красный полосатый», дважды.

6* 83

s R. Schlaifer. Probability and Statistics for Business Decisions. N . Y . , McGraw-Hill Boot Company, 1959.

84

по третьему правилу, можно установить, что такое собы­ тие, как «номер шара 2 пли 7» должно иметь вес 1/100+ 1/100=2/100, а что событие «один шар между номерами 1 и 37 включительно» должно иметь вес 37/100 и т. д.

Таким образом, в то время как второе правило уста­ навливает только то, что вес, приписанный любому собы­ тию, является числом между нулем и единицей, стандартпая лотерея показывает пути для выбора -определенного числа в этом диапазоне с целью описания отношения лица, принимающего решение, к этому событию.

Наиболее важно здесь то, что специалист может найти единственный ряд весов, описывающих его мнение в более сложной ситуации, пользуясь лотереей такого вида в ка­ честве стандарта для сравнения.

В данном случае отнюдь не предполагается, что при­ нимающий решение о выборе в ситуации неопределенности будет готов участвовать в игре с шарами и лотерейными билетами. Предполагается лишь то, что он способен мыслить абстрактно в отношении неопределенности любой ситуа­ ции и приписывать возможным событиям веса, устанавли­

дах установления весов. Сейчас лишь отметим, что три основных правила, описанных в данном разделе, нахо­ дятся в соответствии с аксиомами и теоремами теории вероятностей.

Соответствие правил приписания весов аксиомам клас­ сической теории вероятностей позволяет использовать математический аппарат этой теории для обоснования количественных оценок, полученных от экспертов, и способствует разработке формализованных подходов к при­ нятию решений. Как было показано выше, использование некоторых логических правил или стандартной лотереи позволяет относительно просто приписывать вероятности ряду взаимоисключающих событий.

Однако в практике принятия решений часто прихо­ дится иметь дело с ситуациями, когда мы должны при­ писать вероятность двум или нескольким событиям, не принадлежащим к одному ряду взаимоисключающих (событий. В таких случаях мы говорим, о совместной и условнож-.вер.оятл.ости.^ подобных событий. Соответствую- 'щшГтеоремы теории вероятностей могут быть использованы

и в этих, более сложных ситуациях.

85

Представим, что необходимо выбрать между двумя лотереями при отсутствии достоверного мнения о на­ ступлении какого-либо события В.

В лотерее I принимающий решение получает значи­ тельный выигрыш, если А и В происходят одновременно,

щий решение получает х билетов, по которым ему может выпасть тот же значительный выигрыш, и ничего не вы­ играет, если событие В не происходит.

Если принимающему решение безразличен выбор между лотереями, т. е. между первым и вторым способом

ния события В мы связываем с совместным наступлением событий А и В, то для обеспечения согласованности полу- | ченных результатов необходимо, чтобы эти величины были связаны соотношением, выраженным теоремой Байеса. Это позволяет интерпретировать теорему Байеса в тер­

минах весов °.

Поскольку при выработке большинства решений ис­ пользуется имеющаяся информация в сочетании с не­ явным опытом, одним из наиболее трудных аспектов при­ нятия решений является вопрос, какой вес должен быть придан опыту, а какой — фактическим данным. Исполь­ зование теории вероятностей, и в частности теоремы Байеса, позволяет логически связать последовательность принятия решения в сложных ситуациях, когда устана­ вливается система предпочтений (весов) с учетом имею­ щейся информации или когда появляется дополнитель­ ная информация, указывающая на необходимость пере­ смотра первоначальных оценок и предположений в ситуации неопределенности. Более того, если принимаю­ щему решение удается выразить свой опыт в виде коли­ чественной оценки в простых ситуациях, то теория веро­ ятностей помогает совершить логический переход к более сложным ситуациям.

0 У. Моррис. Наука об управлении. Байесовский подход. М., 1971.

86

Таким образом, использование экспертных оценок по­ зволяет подготовить количественную базу для выбора наиболее предпочтительных решений в сложных ситуа­ циях. Однако надежность экспертных оценок зависит от информированности специалистов и возможности изме­ рения этой информации с помощью различных шкал и показателей.

Шкалы и показатели

Утверждение, служащее эпиграфом данного раздела, ка­ жется на первый взгляд сомнительным. Однако, как наши читатели сумеют убедиться в дальнейшем, даже очень простые математические методы часто помогают найти решение проблемы, казавшейся неразрешимой после длительной дискуссии.

Способность служить моделью событий и отношений, имеющих место в реальной действительности, является одним из основных достоинств математики. Поскольку всякая модель в большей или меньшей степени отличается от реальных явлений, которые она отражает, соответ­ ствие между математической моделью и этими явлениями тем лучше, чем в большей степени количественные харак­ теристики и качества изучаемых явлений поддаются изме­ рению. Под измерением обычно понимают процедуру опре­ деления численного значения величин посредством ка­ кой-либо меры. Установление количественной определен­ ности явлений означает более углубленное их познание, ведет к совершенствованию знания о качественных сто­ ронах исследуемых объектов и к повышению достовер­ ности принимаемых решений.

Измерения позволяют сравнивать одинаковые свой­ ства различных объектов, показатели одного и того же качества некоторого объекта в различные моменты времени, а также описывать взаимодействие различных факторов одного или нескольких объектов. С измерением связаны

87

как анализ реальных фактов и явлений, так и логические заключения и выводы, необходимые для установления закономерностей или принятия решений. По мере разви­ тия знаний измерения приобретают все более важную роль в изучении общественных явлений и в принятии решений.

Одной из предпосылок измерения является существо­ вание различий в объектах. Мы познаем свойства любого объекта через последовательность его взаимодействий с дру­ гими объектами, а сама возможность измерения основы­ вается на существовании отношений меяеду объектами.

Используя математические методы для оценки коли­ чественных характеристик и различных качеств изучаемых явлений, мы обычно устанавливаем отношения между объектами в виде чисел. Поэтому в самом широком смысле измерение можно рассматривать как процесс установле­ ния отношений между объектами (или сторонами объектов) и числами, составляющими определенную числовую си­ стему. Наличие такой системы единиц измерения пред­ полагает, • что прежде всего произведен определенный качественный анализ исследуемого объекта, в результате которого характеристики объекта могут быть измерены, т. е. выражены в виде чисел. При этом общая закономер­ ность любого исследования заключается в том, что от изучения качественных признаков объекта осуществляется переход к изучению количественных признаков, а затем и взаимосвязей между качественными и количественными признаками. Под признаком здесь понимается характе­ ристика переменных (объектов) посредством какого-то набора присущих или приписываемых им свойств, важ­ ных для их анализа с точки зрения принимающего ре­ шение.

Как известно, статистика имеет дело главным образом с количественными данными, обусловленными множест­ венностью признаков или факторов. Их количественный характер возникает двояким образом.

Во-первых, можно при наблюдении ошедатз наличие или_ <^утствие_ ^ к о щ г л ж б о _ количествещото признака в^совокупности исследуемых объектов и подсчитать, ка­ кое число их обладает или не обладает этим признаком. Так, например, мы можем измерить число выпадений «орла» или «решки» при подбрасывании монеты. В по­ добных случаях количественный характер Жданных воз­ никает только при счете единиц совокупности.

88

Во-вторых, можно отмечать или измерять действи­ тельные значения какого-либо количественного признака (характеристики) у каждого из исследуемых объектов

спомощью определенной_ч1-пзле^дЕ[ой^истемы или прибора.

Втаких случаях наблюдения являются количественными

ссамого начала.

\Если речь идет о статистическом измерении определен- !

! ного явления, то подразумевается, что это явление нужно

!охарактеризовать количественно, т. е. найти_меру,дозво­ ляющую выразить его в виде чисел _и_ „показателей-

Рассматривая измерение как процесс установления отношений между объектами в виде чисел, необходимо учитывать тот факт, что различные объекты и их качествен­ ные признаки в разной степени поддаются измерению. Кроме того, на способ измерения оказывают влияние потребности в определенном виде информации и необхо- I димая точность этой информации. Поскольку основная (задача измерения заключается в том, чтобы найти неко-[ •торую меру, которая даст возможность проявиться иссле-/ дуемой величине при ее взаимоотношении с этой мерой';,

•в виде числа, разные способы измерения величин приво-f

•дят к использованию различных правил приписывания1 'чисел. Эти правила создают шкалы, тип которых зависит' от характера основных эмпирических операций, произ­ водимых с исследуемыми объектами.

Указанные операции ограничены специфическими свой­ ствами объектов, подвергаемых измерению, и зависят от выбора конкретного способа измерения, а поэтому каждая шкала налагает ограничения на возможность получения информации и на способы статистических пре­ образований, которые могут применяться к измеряемым данным.

Основные шкалы, используемые в практике измерений, можно подразделить на следующие классы 7 .

Шкала наименований (номинальная). Числа (или дру­ гие символы) используются здесь для установления при­ надлежности объекта к определенному классу. Всем

7 «Экспериментальная психология». Под ред. С. Стивеноа. М., 1967.

89