книги из ГПНТБ / Баранов, С. И. Синтез микропрограммных автоматов

входным сигналам, а столбцы — состояниям, причем крайний левый столбец состояний обозначен начальным состоянием а х. На пересе­ чении столбца âm и строки zf в таблице переходов ставится состояние а = б (а,п, Zf), в которое автомат переходит из состояния ат под дейст­ вием сигнала zf, а в таблице выходов —соответствующий этому пере­ ходу выходной сигнал wg — А (а„„ zf). Пример табличного способа задания полностью определенного автомата Мили Sj^ с тремя состоя­

или А определены не для всех пар (ат , zf) £ А X Z, на месте неопреде­ ленных состояний и выходных сигналов ставится прочерк (частичный автомат S 2 задан табл. 1-5 и 1-6).

7

Так как в автомате Мура выходной сигнал зависит только от со стояния, автомат Мура задается одной отмеченной таблицей перехо­ дов (табл. 1-7), в которой каждому ее столбцу приписан, кроме со­ стояния ат, еще и выходной сигнал wg — X (аш), соответствующий этому состоянию. Пример табличного описания автомата Мура S 3 иллюстрируется табл. 1-8.

Граф автомата — ориентированный связный граф, вершины ко­ торого соответствуют состояниям, а дуги —■переходам между ними.

Две вершины графа автомата а,„ и as (исходное состояние и состояние перехода) соединяются дугой, направленной от ат к as, если в авто­ мате имеется переход из ат в as, т. е. если as — б (ат , z;) при некото­ ром Zf f Z. Дуге (ат, as) графа автомата приписывается входной сигнал zf и выход­ ной сигнал Wg = X (ат, zf), если он опре­ делен, и ставится прочерк в противном случае. Если переход автомата из состоя­ ния ат в состояние as происходит под дей­ ствием нескольких входных сигналов, то дуге (ат, as) приписываются все эти вход­ ные и соответствующие выходные сигналы.

При описании автомата Мура в виде графа выходной сигнал wg — К (ат) записывается Рис. 1-4. Граф автомата внутри вершины ат или рядом с ней. На

т-й строки и s-ro столбца, в случае автомата Мили соответствует вход­ ному сигналу Zf, вызывающему переход из состояния ат в состояние

8

Если переход из ат в as происходит под действием нескольких сиг­ налов, элемент cms представляет собой множество пар (вход/выход) для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции. Для модели Мура элемент cms равен множеству входных сигналов на переходе (ат, as), а выход описывается вектором выходов

Ч«і) 1

Wn X (ап1)

X (ам)

т-я компонента которого есть выходной сигнал, отмечающий состоя­ ние ат. Для автомата Мура S s

В данной работе рассматриваются только детерминированные ав­ томаты, у которых выполнено условие однозначности переходов: ав­ томат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем водно состояние. Приме­ нительно к графическому способу задания автомата это означает, что в графе автомата из любой верши­ ны не могут выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же

В заключение данного параграфа определим синхронные и асин­

as £ А устойчиво. Автомат S называется синхронным, если он не яв­ ляется асинхронным.

Необходимо заметить, что построенные на практике автоматы — всегда асинхронные и устойчивость их состояний всегда обеспечи­

9

вается тем или иным способом, например введением сигналов синхро­ низации (см. ниже, § 3-1). Однако на уровне абстрактной теории, когда автомат есть лишь математическая модель, которая не отражает многих конкретных особенностей его возможной реализации, часто оказывается более удобным оперировать с синхронными автоматами,

символами тех же входных сигналов. Анализ таблиц 1-3, 1-5 и 1-8 или рис. 1-2 — 1-4 показывает, что автоматы 5 Х, S 3 и 5 3 являются синхронными.

1-3. Связь между моделями Мили и Мура

В § 1-1 отмечалось, что абстрактный автомат работает как преоб­ разователь слов входного алфавита в слова в выходном алфавите. Остановимся на этом вопросе более подробно, взяв в качестве примера автомат Мили 5 Хна рис. 1-2 (или табл. 1-3, 1-4). Пусть на вход этого автомата, установленного в начальное состояние, поступает входное слово I = z1z1z2z1z2z2. Так как б (ох, zx) = а3, а к (alt zx) — wlt то под действием первой буквы слова | — входного сигнала zx автомат перейдет в состояние а3 и на выходе его появится сигнал wx. Далее, б (а3, Zj) = а х, к (а3, zx) = w2 и потому при приходе второго сигнала zx автомат окажется в состоянии ах, а на выходе его появится сигнал w2. Проследив непосредственно по графу или таблицам переходов и выходов дальнейшее поведение автомата, опишем его тремя строчками, первая из которых соответствует входному слову £, вторая — последо­

10

k + 1 и выходное слово длины к. В общем виде поведение автомата Милн, установленного в состояние ат, можно описать следующим образом:

Точно так же можно описать поведение автомата Мура, находя­ щегося в состоянии ат, при приходе входного слова zc , z, , . . .,z,k.

Напомним, что в соответствии с (1-2) выходной сигнал в автомате Мура в момент времени t (w (t)) зависит лишь от состояния, в котором на­ ходится автомат в момент t (а (/)):

Очевидно, что выходной сигнал wt — %(ат) в момент времени іг не зависит от входного сигнала г.1, а определяется только состоянием

ат. Таким образом, этот сигнал wt никак не связан с входным словом, поступающим на вход автомата, начиная с момента і1. В связи с этим под реакцией автомата Мура, установленного в состояние ат, на вход­ ное слово \ = z(- zfo . . . zik будем понимать выходное слово той же длины (а = %(а„), I) = wt wl3 . . . w,k+i.

В качестве примера рассмотрим автомат Мура 5 6, граф которого изображен на рис. 1-6, и найдем его реакцию в начальном состоянии аг на то же самое входное слово g = z1z 1z2z1z2z2, которое мы исполь­ зовали при анализе поведения автомата Мили S x:

фавитами называются эквивалентными, если после установления их

11

в начальные состояния их реакции на любое входное слово совпадают. Можно показать [7], что для любого автомата Мили существует эквивалентный ему автомат Мура и, обратно, для любого автомата Мура существует эквивалентный ему автомат Мили. При описании алгоритмов взаимной трансформации автоматов Мили и Мура в соот­ ветствии с изложенным выше мы будем пренебрегать в автоматах Мура

выходным сигналом, связанным с начальным состоянием (X (cj)). Рассмотрим сначала преобразование автомата Мура в автомат

Мили. Пусть дан автомат Мура

S.4— Z А, Ѵ А, б^, ХА, «і /і),

Функцию выходов Хв определим следующим образом. Если в авто­ мате Мура бл (а,„, Zf) = as и ХА (as) = wg, то в автомате Мили Хв (аіп, Zf) = wg.

Переход от автомата Мура к автомату Мили при графическом спо­ собе задания иллюстрируется рис. 1-7: выходной сигнал (wg), записан­ ный рядом с вершиной (as), переносится на все дуги, входящие в эту вершину. На рис. 1-8 приведен граф автомата Мили S0, эквивалент­ ного автомату Мура S 3 (рис. 1-4).

При табличном способе задания автомата S 4 таблица переходов автомата S B совпадает с таблицей переходов S A, а таблица выходов S B получается из таблицы переходов заменой символа as, стоящего на пересечении строки Zf и столбца ат, символом выходного сигнала we, отмечающего столбец as в таблице переходов автомата S^.

12

Из самого способа построения автомата Мили S B очевидно, что

в состоянии а,п, то он перейдет в состояние as = бд (ат, zf) и выдаст

гласно способу построения функции %в . Таким образом, для входной последовательности длины один поведение автоматов S A и S B пол­ ностью совпадает. По индукции нетрудно показать, что любое вход­ ное слово конечной длины, поданное на входы автоматов 5 л и S B, установленных в состояния ат, вызовет появление одинаковых вы­ ходных слов и, следовательно, автоматы S A и S B эквивалентны.

Прежде чем рассмотреть трансформацию автомата Мили в авто­ мат Мура, наложим на автомат Мили следующее ограничение: у авто-^ мата не должно быть преходящих состояний. Под преходящим будем понимать состояние, в которое при представлении автомата в виде графа не входит ни одна дуга, но которое имеет по крайней мере одну выходящую дугу (пример — состояние ах на рис. 1-3). Итак, пусть задан автомат Мили

■5ц— [А А, Z А, W л , 8Л, ХА, а1А],

S b — И й> %в > W в , 8В, Хв , а1В),

' у которого

Zb = Z a = Ігі> • • • I z/> • • • > zf)>

W B= W A = (tOj, . . . , Wg, . . . , wa).

13

Для определения А в каждому состоянию as £ А л поставим в со­ ответствие множество As всевозможных пар вида (as, wg), где wg — выходной сигнал, приписанный входящей в as дуге (рис. 1-9):

Л = { (“*> Wg) I б (ат, Zf) = as и Х(ат, Z/) = wg}.

Число элементов в множестве A s равно числу различных выходных сигналов на дугах автомата S A, входящих в состояние as.

Множество состояний автомата S B получим как объединение мно­ жеств /ls (s = 1, . . . , М)\

м

Ав и А к.

14

ния а± есть переход под действием сигнала zx в состояние а3 с выда­

Функцию переходов 8В определим как и ранее, в частности из состоя­

автомата Мили, то в качестве начального состояния автомата Мура следует взять порождаемое им состояние Ьъ. На рис. 1-12 приведен граф автомата Мура S 8, эквивалентного автомату Мили на рис. 1-11.

Эквивалентность автоматов S B и S A при преобразовании автомата Мили в автомат Мура на множестве входных слов конечной длины легко доказать по индукции подобно изложенному выше при обратном преобразовании.

15

Изложенные методы взаимной транспозиции моделей Мили и Мура показывают, что при переходе от автомата Мура к автомату Милн число состояний автоматов не меняется, тогда как при обратном пе­ реходе число состояний в автомате Мура, как правило, возрастает. Если, например, от автомата Мура S5 (рис. 1-6), эквивалентного ав­ томату Мили S x (рис. 1-2), перейти вновь к автомату Мили, то полу­ чим автомат Мили S s (рис. 1-13). Вследствие транзитивности отноше­ ния эквивалентности два автомата Мили Sx и S g также будут эквива­ лентны, но у последнего на два состояния будет больше. Таким обра­ зом, эквивалентные между собой автоматы могут иметь различное число состояний, в связи с чем возникает задача нахождения мини­ мального (т. е. с минимальным числом состояний) автомата в классе эквивалентных между собой автоматов. Существование для любого абстрактного автомата 5 эквивалентного ему абстрактного автомата Smin с минимальным числом внутренних состояний впервые было до­ казано Муром.

1-4. Минимизация полностью определенных автоматов

Рассмотрим алгоритм минимизации полностью определенных аб­ страктных автоматов Мили, предложенный Ауфенкампом и Хоном [1 ]. Основная идея этого метода состоит в разбиении всех состояний исходного абстрактного автомата на попарно не пересекающиеся классы эквивалентных состояний и замене каждого класса эквивалент­ ности одним состоянием. Таким образом, получающийся в результате минимальный автомат имеет столько же состояний, на сколько классов эквивалентности разбиваются состояния исходного автомата.

Если ат и as не эквивалентны, они различимы. Более слабой эквива­

^-различимы.

Введенные отношения эквивалентности и /г-эквивалентности реф­ лексивны, симметричны и транзитивны, следовательно, они являются отношениями эквивалентности, а потому могут быть использованы для разбиения множества А состояний автомата на попарно не пере­ секающиеся классы (классы эквивалентности). Соответствующие раз­ биения на классы эквивалентных и /г-эквивалентных состояний будем обозначать я и пк. Разбиение я позволяет определить избыточные эле­ менты в множестве состояний А. Пусть, например, ат и as эквива­ лентны. Это значит, что с точки зрения реакций автомата на всевоз­ можные входные слова неважно, находится автомат в состоянии ат или as, и одно из них, например as,. может быть удалено из множества А. Если каждый класс эквивалентности содержит только одно состоя­ ние, множество А несократимо. Если же один или несколько классов содержат более одного элемента, все элементы, кроме одного в каждом

16