книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

дическое) движение около соответствующего центра. Выбор

кон­

кретной траектории определяется начальными условиями

У (О)

и

О),

которые являются координатами

изображающей точки

на

данной траектории в начальный момент времени. Дальнейшее

дви­

жение изображающей точки будет происходить по

траектории,,

на-

которой находится

точка с координатами у(О)

и ^(0) ,

Стрелка­

ми на рис. I

указано

направление движения

изображающей

точки

по траектории. Таким образом, если изображающая точка

на фазо­

вой плоскости находится в какой-то момент времени внутри

ка­

кой-либо из областей,

внешний контур

которой

-

одна,

из

петель

сепаратрисы

5

,

то

соответствующее

движение

груза

есть

ко­

лебательное около

центра данной петли.

Если же

изображающая

точка в какой-либо момент времени находится в области вне

се­

паратрисы, то движение будет также колебательным, но

около

всех центров,

так

как фазовые траектории,

заполняющие

данную

область, будучи замкнутыми, охватывают все особые точки.

При

этом

ни одна

из траекторий

не может

пересечь

оепаратриоу,~~т.е.

ни одно" "~из

движений "" около

одного центра

не может

пере­

ходить

в

движение

вокруг

нескольких

ббобых

точек.

(Через

каждую точку фазовой плоскости за исключением седловой

может

проходить

только

одна

единственная

траектория,

что

есть

след­

ствие

единственности решения задачи

Коши

для

уравнения

типа

( 6 . II)}.Н ай д ем период

Т

периодических решений. С этой целью

запишем

интеграл

энергии (6 .1 2 )

в

виде

(6 .Г 4 )

Наличие двух знаков перед корнем показывает, в частности,

что

все интегральные кривые на фазовой плоскости должны быть

сим­

метричными относительно оси

^

. Кроме

того ,

наличие

этих

знаков

обуславливает возможность

существования

периодических

движений,

так

как

скорость

в последнем

случае

не может

быть

знакопостоянной.

Из- (6 ,1 4 ) получаем

Откуда следует

соотношение (6.16)

для периода

Т

т - г1

(6.Г6)

Через

и

обозначены амплитудные

значения

перемеще­

ний

для данного периодического движения,

т . е . координаты

точек,

где

соответствующая

этому движению замкнутая

траекто­

рия на фазовой плоскости пересекается с осью

^

. В

указан­

ных точках

их ординаты

у

должны равняться

нулю и там

ско­

рость

у

меняет свой

знак. Следовательно,

и

Ь

явля­

ются нулями подкоренного выражения из правой части

( 6 .1 4 ) . Это

второе

условие (кроме того ,

что в

(6 .1 4 )

перед

корнем два

зна­

к а ),

необходимое

для существования периодического

движения.

Ясно

при ЭТОМ,

ЧТО нули

и

должны быть простыми,

так

как в противном случае несобственный интеграл

(6 .1 6 )

будет рас­

ходящимся и Т -

бесконечно

большим. Такое

положение

имеется

для

сепаратрисы,

проходящей

через

седло,

где

хотя

бы один из

нулей

или

^ г будет

кратным

[ 3 1 ,

33 ] .

Это

значит,

что

рисы, то она не может достичь седловую точку за конечный

про­

межуток времени.

Если

же изображающая точка

в начальный момент

находится всед ловой

точке, то обязательно

выйдя из нее,

не мо­

жет возвратиться

или попасть в другую седловую

точку

за

ко­

нечный интервал

времени. Это так называемое

лимитационное

дви­

жение. Таким образом,

в с ё ’ возможныё состояния

рассматриваемой

системы следующие. Периодические движения с

конечным

периодом

мент времени изображающая точка находится на сепаратрисе,

что

практически не может быть и з -за неизбежных флуктуаций

этих

и неустойчивые

типа

седла. В отдельных случаях две

точки

типа

седла

и центра

могут слиться, где равновесие также неустойчи­

вое.

Такова

общая

качественная картина движения гр уза,

при­

крепленного к

полюсу куполообразной оболочки, если

предполо­

ется

уравнением ти п а'( 6 . I I ) .

Рассмотрим систему, описываемую

уравнением

( 6 .9 ) , кото­

рая

неразрешима относительно старшей

производной

на изучаемом

интервала изменения

перемещения ^ . В

этом случае статичес­

кая характеристика

оболочки, нагруженная

в полюсе силой Р ,

воляет решить уравнение

( 6 .9 ) в явном виде

относительно

Р;

на интервале, где функция

Р ( 4 ) неоднозначна. На рис.

2 ка­

чественно

изображена

подобная кривая. Интервалы

неоднозначно­

сти Р( $ ) здесь

^

и 4 ^ 4 ^ 4 <5 •

Не исклю­

чено,

что

у

характери­

стики

: существуют

также

■"V

отдельные

замкнутые

пет­

п

| >

< f

*

ли,кроме непрерывной кри­

г >

вой типа,

изображенной на

7

7

рис.

2. Точками

Я , В ,

Г

5сг (о

С ,U ,

Е , F и в

отмечены

состояния

рав­

Р и с .

2.

новесия,

которые

могут

быть

у оболочки,

харак-

сом Q . Допустим, что оболочка находится

в состоянии,соответ­

ствующем точке Я

,

абсцисса

которой

обозначена

через

tcT

•

Оболочка выведена

в

начальный

момент

времени из этого

состоя­

ния равновесия заданием грузу

начального

отклонения

(О) и

начальной скорости

Ц(О) ~ у ( 0 ) .

Рассмотрим поведение этой

автономной

системы

с одной

сте ­

пенью свободы, вновь используя

фазовую плоскость,

качественно

изображенную на рис.

3 .

Через

<fc r

здесь

отмечены _

точки,

соответ­

ствующие

состояниям равновеоия.

Вое они являются особыми точ­

ками независимо от того,

находятся

ли

на

интервале

одно­

значности функций

Р (^ )

или нет. Легко

увидеть,

что

имеет ме­

сто

тождество

d y

=

у

(6 .1 7 )

a t;

у

с/У

Так как в

состоянии равновесия у —О

и у =

О

, т о

d f

•не

определена и, следовательно здесь имеется особая

Удоб­

точка».

нее всего изучить в данном случае поведение траекторий на

фа­

зовой

плоскости

с

помощью

графических методов построения поля

направлений на

этой

плоскости,

так

как

уравнение

колебаний

ко графическое представление характеристики на рис. 2 .

Итак,

пусть ^(0) >0.

Тогда

ордината Рн

точки

Н

'Ха­

рактеристики, абсциоса которой ЪстЧЮ)

(см . рис.

2)

позво­

лит определить ускорение у (О)

груза

в начальный момент

вре­

мени, так как в соответствие о уравнениями (6 .9 )

и ( 6 .1 0 ) ,

име­

ем

Рн = Q -Sy(o).

£6 .1 8 )

Отсюда используя (6 .1 7 )

и учитывая,

что. у (О) задан,,

получим

направление

элемента касательной

к фазовой траектории при Ъ -0 7

который, для примера, показан на рис. 3 . Взяв на

этом: элементе

новую точку, близкую к начальной, найдем сначала

у

и

^

в

этой точке, и посла на характеристике (рис. 2) -

ординату точ—.

ки, соответствующую этому значению

^

. После этого

по форму­

лам типа (6 .1 8 ) и (6 .1 7 )

находим новое направление элемента ка­

сательной (см . рис. 3) и т .д . Таким” образом""можно

построить

всю фазовую траекторию

до

момента

проникновёния

в область

фазовой плоскости, ограниченной вертикальными прямыми

и 2^ —

• Внутри

этой

области

каждой

точке

о

абсциссой

7 /< ^ <

будет на

характеристике

соответствовать

уже

не

одна точка,

а целых

три

и поэтому в

каждой такой

точке

будут

они ограничены вертикальными линиями

т& 4 з

,

4 *

и *»£ )

сплошь

(компактно) заполнены особыми точками,

из которых толь­

ко конечное число является точками

равновеоия

(в

случае,изоб­

раженном на рис. 3 , - их д в а ). Обнаружено

совершенно новое для -

консервативных

автономных

сиотем

явление, которое

“не

может

иметь место

для

сиотем, описываемых уравнением типа

( 6 . П ).У п о ­

минание об этом

явлении в

литературе

не

найдено.

В

известном

справочнике

[ 3 4 ] отмечается только,

что

решения обыкновенного

дифференциального уравнения первого порядка, не

разрешаемого

относительно

старшей производной

могут

вести

себя

совершенно

иначе, чем в противном случае.

В

связи

с

этим возникает естественный вопрос:

по какой из

трех фазоьых траекторий

будет двигаться

изображающая точ ка ,ес­

ли она в данный момент

времени находится

в

какой-либо

особой

точке, цринадлежащей указанной выше особой области

фазовой

плоскости, т .е . каково

будет дальнейшее движение

системы. Оче­

видно, что на этот вопрос можно ответить,

только

выйдя.за рам­

ну степень свободы. Если при одном и том же

на характери­

стике есть Три или несколько различных значений

Р , то вов­

се не значит, что при этих Р

формы равновесия

оболочки

оди­

наковы. Это разные"Формы,'обладающие одним и тем же прогибом

Ц

лочки.

На-

ату

особенность

схематизации колебательной

систе­

мы при представлении ее как

системы с

одной степенью

свободы

обратил внимание академик Л.И.Мандельштам [З З ]

. В крайнем слу­

чае

можно

внести какое-то дополнительное:

предположение,

дополнительный критерий, выбирающий одну определенную

траек­

торию

в данной

особой точке нового

типа, что позволило бы кос­

венно

учесть

действительную

континуальность

рассматриваемой

колебательной системы. Однако и этот

путь означает,

что

факти­

чески мы выходим за пределы принятой

схематизации задачи с

од­

ной

степенью

свободы. Вне особых областей решение

однозначно

определяется

своим уравнением ( 6 . I I ) .

Такова общая

качествен­

ная картина

поведения данной

системы.

Очевидно, что

те

же

осо­

остаются в силе и в случае действия на груз

нестационарной

внешней нагрузки.

§ 2 .1 .

Теорема, симметрии в случае

осесимметричных

задач статики рассматриваемой теории. Некоторые свойства

•

симметричных систем.

О п р е д е л е н и е . Две деформированные формы

равно­

весия

оболочки

будем называть взаимно симметричными или просто

симметричными, если их меридианы

взаймна

симметричны

относи­

тельно плоскости ее плана.

Ясно,

что

если две

формы симметричны,

то имеет

место

со­

отношение

Wf + w 2 = - 2 w 0

или 9^+ 6 2 ^ - 2 6 0

( 0

^

1)

(1 .1 )

И обратно.

Из равенства ( I . I )

вытекает симметричность,

форм,

г если

W[ (1)= 0 .

Все величины, относящиеся к одной из пар .

симметричных

форм, снабдим индексом "

I " , а другие - индекоом

т2п .

Рассмотрим

необходимые условия

существования пары

сим­

метричных форм.

Пусть удовлетворяются

соотношения

( I . I ) , тогда,

'если

вычесть

из

уравнения

( I . I . I )

для

9f

,

такое

же

уравне­

ние для

вг

, то

получим

cjz ) = 0.

Отсюда

следует,

что

сиг-и>г = кр ,

(1 .3 )

где

к

-

произвольная константа.

Сложим уравнения

( I . I . 2 )

для

Q, и

в2

с Учетом (I.I).

ТРИШ__

Q, +

— A f #0). .

(1 .4 )

Или отсюда, если

дополнительно учесть

(1 .3 )

Р

Р

- f - L(e0) =

j U l } p A , ( p ) d f i + a zf p A 2 ( p ) d p + P, + Рг +

+ P „ [ ( p - C 1) + Pi2 К р - С г ) ~ к р ( в , + в 0) } .

Таким образом, для

того, чтобы у формы равновесия б, ,

возни­

кающая вследствие

воздействия системы

внешних поперечных

сил,

состоящая из распределенной нагрузки

с интенсивностью Cj,t Ai(p),

редоточенной

кольцевой

нагрузки Ри

с радиусом

Си имелась

симметричная

форма равновесия

в2

(порожденная

нагрузками

q.zAz (р), Рг и Р12 с

радиусом

сг

)

.необходимо,

чтобы функция

в0(р) , определяющая

начальную форму оболочки, являлась

реше­

нием линейного дифференциального уравнения

(1 .5 )

при"“граничных

у сл о в и й при р - 0

и р~ 1

,

вытекающих из

второго соотноше­

ния ( I . I ) .

При этом константа

к

находится

из

граничных

ус­

ловий при р = 1

для и),(р)

и

и)г (р ),

если

учесть ( 1 .2 ) .

Лег­

ко доказать,' что указанные необходимые

условия являются

также

и достаточными.

Зафиксируем оболочку и вид нагружения,

т .е . геометричес­

кие параметры оболочки,характер ее опирания,

а также

парамет­

ры, определяющие тип нагрузки А(р)

и

с

и будем для

нее

рассматривать пары” симметричных форм равновесия.

Тогда

в

этих

условиях

к =0

(см..

(1 .2 ) )

и уравнение (1 .5 ) примет

вид

Р

L(9o)=j[fy1рЛ(р)</р+Р+Р1Цр-с)],

( 1 . 6 )

где конотанты

, Р

и Р,

находятся

из

q _ Я ч + У г .

р _ в h P 2 .

р _ р п + Р 12

(1 .7 )

у ~

2

’

2

’

1

2

Общее решение этого уравнения можно представить,

если

восполь­

зоваться

соотношением ( 1 ,2 ,2 )

тР

1 -c z+ 2 t n c

при p ^

c

( 1. 8 )

„

' - r - P

( / -

-1 г)(р2- С 2)+1~ p Z+ 2 ln p ПРИ P > c;0*D<1

Константа

Я

определяется

из

граничного условия

для

d0

при

р ~ 1 , которое вытекает

из

граничного условия

(1 .9 )

для

в ( р )

при р ~1

о учетом

( I . I ) .

А именно

Ы .в[(1)+ Щ (1) = ^

(1=1,2).

(1 .9 )

Отсюда, учитывая ( I . I ) ,

получим

<£в'0 (1) + Р в 0(1)=

f ,

f =

•

(1 .1 0 )

Следует

подчеркнуть,

что

Я

зависит

только

от

Q

,

и7

’

так как частные решения из ( 1 .8 ) ,

содержащие

Р

и

Р,

удов-

летворяют условию ( Г .9)

при

^ =■

0 .

этой

оболочки

опре-

деляется

равенством

1

Р

5

(„фа(рк/р=|+ f { ? /[ I(p -j)i(h A(V di )ds],lP-

о

L

о

о

о

C*+2CZ 1ПС)) -

1Ы 11

Если учесть условие( I . 10) для определения константы

Я,

то £ 0

можно представить

в

виде

£>о~

d o^r

Р0р

/ 0Р,

»

( I . I 2 )

где константы dL0

,

J30

,

уо

,

S0

определяются

сравнением

правых частей последних двух равенств.

Совершенно очевидно,

что

эти

константы зависят

только

от

характера

закрепления

данной

оболочки и действующих внешних по­

перечных

сил.

В

число

последних

входит

и внешний

(активный)

контурный

изгибающий момент,

определяемый

параметром

у

из

(1.9). Они не

зависят от граничных условий для

СО .

Уравнение

(1 .6 ) - ничто

иное как

уравнение

С.Жермен

для

осесимметричного

изгиба круглой ^линейной

пластины

под

дейст­

вием нагрузок

с

параметрами

-

(J, , - Р

и - Р , .

Исходя из изложенного,можно сформулировать следующую тео­

рему симметрии.

.

Т е о р е м а

с и м м е т р и и .

Необходимым и

доста­

точным

условием того , чтобы все

множество возможных

у

давг-

;ной оболочки форм равновесия

(образующихся при различных

зна­

чениях параметров (J,

, Р . ,

Pf

и

jj

внешних нагрузок)

состо­

яло

из пар симметричных форм является

удовлетворение

60(р)

(уравнению

( I . I I )

при граничных уоловиях

( 1 .1 0 ) .

Это означает, что если

удовлетворяются

условия

теоремы,

то для каждого решения уравнений ( I . I . T )

и,

(X '.ll2)г.

в i

и Ц

,

порождаемого нагрузками с параметрами

,

Р,

,

и

jj,

.су ­

ществует

симметричное решение, определяемое соотношениями

вг = ~ 2 в 0~ 9/ J

( I . I 3 )

которое образуется при действии нагрузок

с

параметрами

< h . Рг ,

P1Z

и

/е

, определенных соотношением

( I . I 2 ) .

Условимся

впредь

оболочки, для которых справедлива

теорема симметрии,

называть

"симметричными системами".

I

§ 2 . 2 .

Свойство

симметричных

систем

С в о й с т в о

I .

Для любой пары симметричных форм

име­

ют место соотношения: a)

( I . I 3 ) .

Это

означает,

в

частности,что

мембранные напряжения тождественны, б)

(2 .1 )

для прогибов

в

лю­

бой

точке

и, в частности,

в

центре ;

в )

(2 .2 ) для

кривизн.'

;

г )

( 2 .3 ) для

моментов и поперечных

сил ;

д )

( 2 .4 ) для горизонталь­

ных перемещений; а)

(2 .5 )

,

(2 .6 )

доя

энергий.

wi (p) +wz(p )s - 2 W 0(p);

$, + £г = - 2 й 0.

огл )

Первое из этих равенств -

одно

из

соотношений (1 . 1 ),

а

второе

получается

как следствие первого,

если

положить

р ~ 0 ,

x h (p)+x.rz (р) ~ - г х го ( р ) ~ - 2 в '0 (р)-,

в0 (Р)

( 2. 2 )

дСу,1(р )+ зе9 г (р ) = ~ 29€<р0 ( р ) ~ - 2 ~

------

Эти

соотношения

вытекают

из

( I . I . 7 )

и

(1 ,1 )

H r / ^ + M j . ^ ) s - £ M r / / ) ) = - 2 [ * : r

(p )+ r U d tv C p ) ] ;

у '

V

9

У

7

р

_

Qf(p)+ Q2(p)=2jfpA(p)Ap + 2 j

+2 ~1(р~с).

(2.3)

о

Равенства (2 .3 )

получены как

следствие

( I . I . I O ) , ( I . I . T I )

и

Ц Л ) .

и 1( р ) = и г (р)

(2 .4 )

(см.

( I . I . 12) и

( I . I . I 3 ) .

где

ицо

имеет формально тот же самый вид,

что и

UUf

или Уиг,

но с

индексом

"О"1 (см.

( 1 .1 . 1 8 ) ) .( 2 .5 )

получается

из ( I . I . I 8 )

и ( 2 .2 ) .

Если известно первое решение из

пары симметричных,

то

потенциал

Vs

нагрузки для второго

решения может

быть

пред­

ставлен

в

следующем виде (см . I . I . I 9 )

с

учетом ( 2 .1 ) ,( 2 .3 )

и

( 2 .4 ) :

1

V2= 2 £ ^ 2jA (р )(2 W o+W ^pdp - L [2Mr o (1)+

о

+Мп (f))[2e0( l ) + e f (1)]-jj Nr,(1)<Jt(1) +

7 P 2 /r2 £ 0+ £ , ) + Pfz<?[2lV0 fC } +

W,(C) ] } .

(2 .6 )

С в о й с т в о

2 . Плаотина -

симметричная

система.

В

этом легко

убедиться, если учесть,

что

уравнение

(1 .6 )

имеет

тривиальное решение 0 О (р )^ 0 ,когда

Ц,

, Р

, Pf

и j(

равны

нулю. Это естественно, так как все множество решений

уравне­

ний для

пластины состоит из пар решений,

удовлетворяющих

у с -