книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

% *

СП (!-<Ц )

[ « г

г

- о + ю * г ] .

( V ) ,

tf

if

Приведем ряд других

соотношений,

необходимых в дальнейшем:

~

(Х^

у

.) — Nj.)

(5 .8 )

if

п

Т

Мл = т [% № % 6)-М т] ; /я = / 2 ( 1

г) ,

(5 .9 )

¥

Связи

между

N, б"

и функцией напряжений

и>

остаются таки­

ми же, как и в формулах ( 1 .5 ) .

Для

относительных деформаций в

срединной поверхности по­

лучаем

+ ( 1 -<и)Ыт

Ж _______ с._______________

(5.1.0)

Перемещение

U

найдется

по формуле

а

=

£<, а р

h

г

NT

1

( 5 . I I )

Я

~ а Д Л

1

-+L*

+ 1+<и

Остальные соотношения такие же,как и"в § I . I .

Граничные условия

при />~f

для функции

и) .

Подвижная

опора,

где приложено контурное усилие

^п(1) - N.

и )(1 ) =

N .

(5 .1 2 )

Неподвижная опора

U (1) = 0 -v m ru )'(l)-jL J« )(l) = - ( f - ^ ) ftr .

(5 .1 3 )

Упругое

закрепление

и ( 7 ) = n N ~ п и ) ( / ).

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1) Если положить

Т= О

, то NT = M f - О

и

приведенные

здесь

уравнения

описывают

деформацию оболочек

переменной жеотч

кости

при отсутствии

термических напряжений,

2) Когда £

, Ы.

и

Т

зависят только от р

, ю 2 и =

вМт= 0,

(L = 0,2)

3)

В случае,, когда

£ тя.

Ы

зависят только от р

, /а Т

пропорциональна

Z

Z

H - NT - О.

4)

Пусть

Е =£ = c o n s t,

h =

h = co n st, о( = const7~a T

представлена

в

виде

Т - R + B ( p ) z ,

(5 .1 9 )

тогда

г) J

^

_

1

’

Д а2ы

Q tp^a2^

(5 .2 0 )

Мт(р) = JZ h(l-p)

С в о й с т в о

I ,

В только

что

описанном

четвертом

случае

термоупругая

задача

эквивалентна

некоторой

упругой

задаче,

где

Mr

из

(5 .2 )

может

быть представлен

как

некоторая

внешняя нагрузка. Уравнение (5 .1 )

такое

же,

как

и

уравнение

( I . I ) для U)

.

Члены,

содержащие

NT

и

Мт в

граничных ус­

ловиях

(5 .1 3 )

и

( 5 .1 6 ) ,

эквивалентны соответствующим контур­

ным силовым

факторам в упругой задаче.

Если

В - c o n s t

(см .

( 5 .1 9 ) )

и граничные условия имеют вид (5 .1 2 )

и ( 5 .1 5 ) ,

то

крае­

вая

задача

для

определения функций

9(р~)

и сО(р)

ничем

не

отличается

от случая упругой

задачи. Влияние

температурных чж

нов

скажется

на изгибающие моменты, относительные

в

удлинения

и перемещения

и

в

случае

граничного условия

для

( 5 . I S ) ,

влияние

температуры

сводится

к

упругой

задаче,

когда

на

краю

оболочки

появится добавочный момент

Мт .

При отсутствии

попе­

речной нагрузки получаем задачу о чистом

изгибе

оболочки

(внеш­

няя

нагрузка

представляется только в виде краевого

момента).По­

этому все

свой ства,

доказанные в

§ 1 .3 для упругой

задачи,

не­

посредственно

переносятся

на

термоупругие

деформации.

С в о й с т в о

2 . В

случае

,

когда

Е

, о(

й

h

по­

стоянны,

а Т

зависит

только

от р

,

то ,

как

следует

из

( 5 .1 8 ) ,

влияние

температурного

поля на

S (p ) и

сО(р')

переда­

ется

только

через член

N j(p )

,

входящий в

уравнение

( 5 .1 ) .

Изменяются еще при этом граничные условия типа

(5 .1 3 )

и (5 .1 4 )

для

СО .

Уравнение

и граничные

условия

для

&

остаются т а ­

кими же,

как

и в

случае

упругой

задачи.

Поэтому

свойства

для

и)(р) , полученные в § 1 .3 , легко переделываются

и на

этот

слу­

чай. Так например, важное свойство 4 (§

1 .3 )

и его

следствия

полностью

сохраняются и в

данном

случае,

если

U) (р )

будет

удовлетворять

не

уравнению

(3 .2 7 ),

а

(5 ,2 1 )

Отсюда вытекает,

в частности,

следующий интересный

вывод. Волн

Т(р) - возрастающая функция р

(температура растет от центра

оболочки к краям)

и N j(p ) будучи положительной

( с м .( 5 .1 8 ))

удовлетворяет неравенству ( 5 .2 3 ) ,

то при любом

N ^ О

всегда

с д (р )> 0 .

2р(1~&) Ыг(р)Ъ во ( р ) .

(5-23)

Действительно. Когда имеет место

( 5 .2 3 ) , правая

часть

(5 .2 2 )

неотрицательна и тогда

сд(р)"^ О

при N ^О

согласно

след­

ствию 2 из свойства 4

(§ 1 .3 ) . Тогда подобное нагревание

мо­

Уравнения

динамических деформаций могут

быть

получены

из ( I . I )

и ( 1 . 2 )

добавлением соответствующих инерционных чле­

нов.

Если

пренебречь

инерцией поворота

сечений

и

перемещений

и

,

то

эти уравнения

представляются в

виде

9 г + 2 в в 0] ,

(6.1)

L(ff) = ~ m [ - J p (

у ~ S j p r

* р

+р

о

-

j

( 6

+ 0O)]\

(6 -2)

Естественно, что.искомые

функции w

и ио

зависят сейчас

от

двух аргументов

- р

и

безразмерного

времени

r^ t/g /h

и

поэтому

( 6 . 1 ) и ( 6 . 2 )

являются

уравнениями в

частных

произ­

водных.

Внешние

нагрузки, а также координата

с

точки

при­

ложения

силы

Pf

могут

быть

в

общем случае

функциями

£

Оператор

L (

)

имеет

тот же

вид ( 1 . 4 ) ,

что

и#р^яьше,

только,

производные

являются

частными.

Константа

с -

Л„Р.. п

-

б е з -

•размерная

_ .

_

.

Л

7

F

*

площади

удельная

м асса,

приходящаяся

на

единицу

срединной поверхности. Начальная форма оболочки

в0 Ср)

от

?

не

зависит.

Кроме граничных условИй-по

f i

необходимо добавить

еще

два

начальных условия д о

ft

для функции

W (уЭ,

?

)

,

которые

представляются

в

вида

w (p ,o ) =ft(p )i

^

(р

о )= Л (р ) ;

(О ^ Р ^ О ,

(6.3.)

OV

гд е j"L (р )

-

заданные

функции,

удовлетворяющие условию закре­

пления оболочка < 6 .4 ).

fi<(1 ) = 0 .

(6 .4 )

Кроме того , f i ( p )

должны быть четными функциями

р

и з -з а

осе-

симметричности

задачи.

По этим функциям легко

определить

на­

чальные условия

для

и <£($■,'£) (см .

( 1 . 13)

) :

(6 .5 )

Величина td (р , О)

находится

после

решения уравнения

( 6 ,1 ) ,

где

в правой

части

@ (p)-~ff (Р )

, с

учетом

граничных

условий

для

и) .

Значение

ст'?

найдется из уравнения

( 6 .6 ) , по­

лученного

дифференцированием по

£

(6 .1 )

после

подстановки

туда

в (р ,0 ),

из

( 6 . 5 ) .

Граничные

условия

для

dcO(p, о)

находятся

дифференцированием по

с

граничных

уе­

— ■=£-!-—

ст

и)

:

ловий для

/

доо v

/

г л

л

д в

1 0 6

( 6 . 6 )

L ( w ~ ) - ~ р [ в * в° ] л

Ц ° ) = - тЦ * 0

[ У / Щ +f f t гШ р ] .

( 6 .7 ,

Q - определяется

соотношением

(1 .3 )» Квадратной

скобке

из .

(6 .7 ) можно придать

и другой вид

-

( 6 . 8 ) , если воспользоваться;!

соотношением ( I . I 4 )

для прогиба

w (О,1?)

в

центре

оболочки!

J3

[/>г\л/(ВД ~ J(p ‘-Л2) в (Л ,?) С/Л].

(6 .8 )

о

Что же касается граничных условий,

то в

случае динамики

они

могут быть двух типов: стационарные

и нестационарные.

К первым

относятся условия, в которых время

?

не

входит

в

явном ви­

де. В противном случае они будут

нестационарными.

Таковыми бу­

сят

от времени. По р

граничные условия

имеют

ту

же структуру,

что

и в

статических задачах.

С в о й с т в о

Г. Если рассматривать

фиксированный

мо­

мент

времени, то

уравнения

( 6 .1 ) , ( 6 .2 ) или

( 6 .7 ) , (6 .8 )

мо­

гут

быть

представлены

как

обыкновенные

дифференциальные урав­

нения типа ( 2 .1 ) ,

где

f

входит как'

параметр

и поэтому

в

данный момент времени к ним применимы

методы

исследования,

изложенные в § 1 .2 . При этом

останутся

справедливыми

многие

свойства, установленные в §

1 .3 . Остаются

неизменными,

напри­

мер,

все

свойства

для

и)

,

приведенные в

§

Г .З , так

как

в

данный

момент

времени

уравнения (1 .3 )

и

(6 .П совпадают

и в

них время в явном

виде не входит.

Другие

свойства,

рассмотренные в § £ .3 , легко переделыва­

ются

на

случай динамики. В

качестве примера

подобного

р од а.

ние

нагрузки

равны нулю и &о(р)в @ )

в

случае

неподвижного

или подвижного (без контурных усилий)

жесткого

защемления'

края.!

В этом

случае согласно свойству 3 п . б (§

1 .3 )

u )(p i^ )^ 0 . при

любом

2

. Далее, как следует из свойства отсутствия-

нежест-

кости

у

пластины (§ 1 . 3 ) , не могут существовать такие

состоя­

ния,

когда в

какой-то момент

времени w s O и &

О

Пред­

положим,

что

в рассматриваемый фиксированный момент w Ь О , а

S >

О

. Тогда правая часть уравнения (6 .2 ) положительна

и

согласно

свойству 4 (§ 1 .2 )

должно быть

в 4 О .

Получено

про­

тиворечие. Также противоречие получится,

если

принять

О и

а по

к Условимся впредь производные по р

обозначать

штрихами,

£

- точками.

З ак .188

9 ^ 0 .

Предположим, что

в данный момент w знакопостоянна, а

9 - '

знакопеременная” функция

ft . На концах каждого участка

своего

знакопостоянотва

в

принимает нулевые значения, так

как в(0,'£) = в((,£)=0.

На участке

по ft ,

где знаки

W

и О

совпадают, в должна

быть монотонной функцией ft

в

соответ­

ствие со свойством 9 (§

1 . 2 ) , что

не может

быть,

так

как

она”

принимает на концах этого участка

нулевые

значения.

Получено

ных колебаний данной гибкой пластины такие состояния, когда

в

данный момент

sign W = Sign в - const или sign vv = const

, a

9

при этом знакопеременная функция ft

. Могут

сущестговать

со­

стояния, где Sign \N=~sign&=COnstf однако

при этом

правая

часть

(6 .2 )

(п р а £ = <?

,

Р

и Pf—O)

должна иметь тот

же

знак,

что и

W

при

фиксированном

Р .

Могут также

наблюдаться

состоя­

ния,

когда

VV

и

& знакоперемённы,

однако на участке знако-

постоянства

в

,

а

концах которого она

обращается в

ноль,

не

могут

совпадать

знаки у

W

и

9

Все эти выводы

остают­

ся в силе, если заменить

W

на

в

,

как это видно из уравне­

ния

( 6 .7 ) ,

при отсутствии

поперечных нагрузок и

90 = О.

Покаже/л, что собственные колебания у данной пластины

мо­

гут

быть синфазными,

т .е , во всех

точках фазы

одинаковы

в

данный момент времени. В самом деле.

Предположим,

что v>n?0

и

оно во

всех • точках

при фиксированном £ = £

_

принимает

ам ­

плитудное

значение.

Тогда

W (ftl ?i) = Of w (ft,t)^ О и 9(ftft)^ 0

(см.

( I . I 4 ) )

и такие

состояния, как было показано выше,

могут

существовать. То же самое можно

сказать и для

амплитудного

со­

стояния функции

9

,

так как состояния, где

sign9 --sig n 8 _=

=

con st

_также

могут

существовать.

При этом, так как

то

и а )(р,Ъ)~Оу как это

следует

и з _ (6 .6 )

и граничных

усло­

вий для. О)

.

Тогда

и значения о)(ft,

такие будут при

этом

амплитудными и синфазными. Повторное дифференцирование:

(6 .6 )

дает

следующее уравнение для

со

в

случае

пластины:

j [ 6 2+ e e ] .

( 6 .С)

Так

как в

момент

€"

имеем,

что.

9 =■О и sign (

д

то

и) ^ О .

Следовательно ,

Sign(oi) ш )-~ ]

и и)

принимает

ампли­

тудные значения.

Таким образом,

положения,

установленные в

§ 1 .2 ,

позво­

С в о й с т в о

2 . а ) Если все поперечные

нагрузки

не- j

изменны во

времени, с = c o n s t, и граничные

условия

стационарны]

то

могут

существовать

периодические по времени решения

W

и а) .!

б) То ле самое,

если граничные условия нестационарны, яв- j

ляясь

периодическими функциями

£

с

периодом

У.

W

и|

ой

имеют

тот же период

или период п у 7

где

п

- целое

чи­

сло.

в )

Функции

w

h

o

)

могут быть

также:

периодическимиj

с периодом

у

или

пу

,

если

поперечные

силы,

граничные ус­

ловия

и

С

являются

периодическими функциями по

£

с

од­

ним и тем же периодом или с различными,

но

кратными периодами,

из

которых

наибольший

У

» При этом, если

какая-либо

функ­

ция не зависит от времени, то она считается

периодической

о

произвольным периодом.

Все эти утверждения доказываются тем обстоятельством, что

замена во всех членах уравнений ( 6 . Г) и ( 6 .2 )

и

граничных у с­

ловий

£

на £ + у

не меняет их, бели все члены этих урав­

нений периодичны с периодом у

или от

£

не

зависят.

С в о й с т в о

£

3 . Если граничные условия

стационарны

и

внешние

нагрузки

от.

не

зависят,

то

граничная

задача

авто­

номна (в том смысле,

что время не входит в явном виде в

урав­

нения задачи и ее граничные условия) и поэтому

имеет.

место

следующее свойство автономных систем

( с м .,

например,

[ з о ]

).Ha-i

ряду

с решением

и) (fit £)

существуют и решения W(/0, £~

- £ о )

, o)(jo7T~£q ) ,

где

£0

— произвольное

действительное

число. Это

свойство

-

следствие

того ,

что

замена аргумента

£

яа£ + £q

не

меняет

на уравнений ( 6 .1 )

и

( 6 .2 )

или их .разно­

видности, ни граничные условия,

если

краевая задача

автонЬмна.

Это

означает,

что

можно начать решение

с произвольного момента

времени и от этого оно не изменяется,

если

сохранять

началь­

ные условия.

С в о й с т в о

4 .

Качественная

характеристика

собствен­

Пусть

сосредоточенный

груз

массы S *

прикреплен

к

по­

люсу осесимметричного купола. Обозначим

через

£

безразмер­

ное перемещение груза

(пмюса

оболочки),

тогда

уравнение

дви­

жения

может быть записано

F ( Q - S f,- $ ) = 0,

(6 .9 )

п *

а

^

-

S * q29

где

безразмерный вес груза

Q

<?= 2 frEh *

~ 2 ftE h*

9

F(P,1- )=0.

(6 .10)

Соотношение

(6 .1 0 ) есть

уравнение,

связывающее

величину

сосре­

доточенной

силы

Р

,

приложенной в полюсе оболочки и

прогиб

в той же точке при статическом

нагружении.

Тогда уравнение ди­

намики (6 .9 ) вытекает из

( 6 .1 0 ) ,

если

применить принцип

Да-

ламбера.

Р ~

Рассмотрим первый возможный

здесь

случай.

есть

однозначная функция

£

.

Тогда

(6 .9 )

примет

вид.

S 4

+ ‘/,( $ ) = Q .

( 6 . I I )

Р

бывает

однозначной

функцией

^

на всем

ш тервалё

его

изме­

нения далеко не всегда .

Это

имеет

место

для пластин,

оболочек

при малых

\~%0 \

( см»«

например,

[ з ]

, [l9 ]

и д р .) ,‘

а т а к -

же для пологих жестко защемленных сферических сегментов

даже

при достаточно

больших

(

? J

(см .

[ 2 l ]

).

Однако у

сферичес­

ких

оболочек, шарнирно

закрепленных по краям,

уже при средних

значениях

)4о1

порядка 10

Р

не является "однозначной

функ-

цией

[21J

и тогда

уравнение

динамики должно быть

пред­

ставлено в

виде

(6 .9 )

и

только

на отдельных

участках

(где

д F

знакопостоянна)

может иметь

вид

( 6 . I I ) .

•д-р' -

В

случае ( 6 . I I )

анализ

решений проводится

стандартными при­

пенью свободы на фазовой

плоскости (см .., например,

[ 3 l ]

) . По­

добные

исследования

в

случае оболочек, рассматриваемых

как

системы

с одной

степенью'свободаТ имеются в [ 2 , 32J .

Уравнение

( 6 . I I )

имеет интеграл энергии

y z

$ Т + П( Ъ ) = с ,

(6 *1 2 )

где у -

, П

) - потенциальная энергия системы с

одной

сте­

пенью свободы, определяемая по

n ( V

ssJ ^ ( V c/^ ~ ^ ‘

(блз)

вой плоскости,

т .е . точек,

отмечающих состояния

равновесия

( 2- =О , у = О

) , определяются соотношением

П'(Ц) = 0

или

(6 .1 4 )

Эти

особые

точки

изолированы и могут быть в

данном

слу­

чае только двух

типов

- центр или седло. Причем между

центра­

ми находится одно седло и поэтому число центров на

единицу

больше числа

седловых точек

[ 3 1 ]

. В отдельных

случаях

(для тех

значений

Р

,

где

~0 tв частности там ,где

Р

принимает

критические

at,

из седловых

точек

может

слить­

значения)

какая-либо

ся с одним из центров

[ 2 ,

3 2 ] .

Интегральные кривые,

прохо­

ми кривыми, которые разбивают фазовую плоскость на

различные

области, где интегральные кривые обладают разными

свойствами.

На рис. I

приведен пример такого

разбиения в случае

пяти осо­

бых точек

(состояний равновеоия).

Это точки

й ,

В , С , D

и £

. При этом

Й , С

и

£

- центры, а

в и

J

- седловые

точки.

Кривая

S

-

сепаратриса,

состоящая из

трех

замкнутых петель

(кривая

I ,

П

и Ш)

и

разбивающая фазовую

плоскость на четыре области.

Из них три

находятся

внутри

петель

I , П

и Ши четвертая

- вне сепаратрисы.

Каждая

из

первых

трех

областей, внутри которой находится

по одному центру, заполнена

континуумом замкнутых траекторий, обходящих этот центр.

Любая

подобная траектория

изображает

какое-то

колебательное (перио-