книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

r =

r0 ;

V s t f

j

«

2

kje=0 ',

k g - jr i Mje = const. ; Me = const.

(5 -7 )

Это состояние

представляет собой

случай

выворота

оболочки на­

изнанку,

как

рукав. Для этого надо прикладывать к

торцам

дан­

ной оболочки

моментнуго нагрузку с

интенсивностью

—'const.

Замечательно, что решение ( 5 .7 ) не зависит от свойств

ма­

териала и от

соотношений, связывающих моменты и усилия б

ком­

понентами

деформаций.

Если

эти

соотношения взяты в

форме

( 1 ,1 3 ) ,

то

Подобная

задача рассмотрена

методами сопротивления материалов

в [ 4 1 ] .

в Реформация бесконечно

длинного кругового

цилиндра ради­

уса

Ra

под действием

поперечного гидростатического

давле­

ния

£

Эта

задача о деформации

замкнутого кольца,

отличающаяся

от

случая

цилиндра тем,

что нужно заменить E J

на I?

, Поэто­

арки ( 2 .1 ) и ( 2 .2 ) .

Легко

проверить, что

рассматриваемая задача имеет

следую­

щее решение:

Ф ~ Ф 0 ^ § , N ~ ~ q R a c o n s t, ы = R =i c o n s t .

М ~ Const

j Q ~0 ; £ = c o n st

} r -• R s in ^ >

V = - r < { ;

- j

-

c o n st.

(

5

,

8

).

В случае

линейно

упругого

материала

получаем

соотношения

типа

( 5 .2 )

£ = -

J L

> 1

м - JDe____

i &=

9# о

(5 .9 )

n s

RoO +z)

Eh

Это

решение

аналогично

рассмотренному ранее решению

задачи и

деформации цельной

сферы и поэтому эффекты,

обнаруженные

для

сферы,

переносятся

и на данный случай, за

исключением вопроса

об устойчивости

основного состояния при сжатии, который

тре­

бует

отдельного:

рассмотрения.

Отметим, что решение указанной задачи

не может быть полу­

чено

посредством

теории

гибких

стержней,

рассматриваемой

в

[^53 ] ,

так

как

там

отбрасывается

удлинение

средней линии.

г )

Чистый изгиб арки.

В

этом

случае

рн = р ^

О, на концах арки действуют

изги­

бающие' ее моменты М .

Рассмотрим случай

свободного

опирания,

когда в концевых сечениях стержня отсутствуют какие-либо

уси­

лия.' Тогда

уравнения

(2 .1 )

с

учетом граничных условий и соот­

ношений (1 .3 ) дадут решение

N B Q =V =H = Oj

М= Const.

(5 .1 0 )

В случае линейной упругости материала имеем

M - E J ~ ~ ~ Фо)

и

(P(S0)^a>0(s0) - !fjS 0 +C.

( 5 . 11)

aS0

с о

Константа

С

находится из условия закрепления арки. Так

на­

пример,

еоли оба

конца не имеют вертикальных перемещений

W

(для

горизонтальных

перемещений,

очевидно/ограничений не может |

бы ть), то уравнение

для

С имеет вытекающий из выражения для

1л/(Уо)

вид

J

°[sln

Ф(з0 ) -

sir? O f c f o ) ] d s0 - 0 }

(5 .1 2 )

L0

-

начальная

длина оси арки

W (Э0

S0

-

+J lsCn0(So)-S L n 0 o(So)\cfso.

(5 .1 3 )

О

Рассмотрим как пример случай круговой арки, являющейся

полу­

окружностью радиуса

R0 i (Lq ~

опирающейся на

горизон­

J o

Wo(~2 ~)~

^0 ’ %o(so) ~ uo(so)

~R0 cos

ц

( 5 .1 4 )

( 0 & S o 4

$ f i o ) i

ф М

z (s o )^ w

M

*

W0(S0) '■

R0 \

a fr

/S 0

2

„

R o .

~ a [cos

Z ~ co* a (fio

R ~ a

’

x (s o ) = u (s 0) + a 0 (s0) = - ^

sin a

(

j

-

j )

;

(5 .1 5 )

Уравнение характеристики в

этом случае

имеет

вид

, 2 .

z a f i

(5 .1 6 )

f ^ 1 - ^ s c n - j - ,

где

<2= 1~т J безразмерный

момент

MR

У"'

/г? = —£ j T 7

’ f

Характеристика

приведена

на

рио.

I I .

Она имеет центр симмет­

рии в

точке

С (% - /; гп =

1) .

При

т = 1

происходит выпрямление

ар­

ки (она превращается в

отрезок

прямой линии длиной

L0

) . Когда

171 = 2 ,

имеет

"меото

полный вы­

ворот

арки.

В

остальном

харак­

теристика отличазтоя от всех встре­

чаемых в теории оболочек и стерж­

ней

типов характеристик.

Во-пер­

вых,

ни при каком Ra

,

т .е .

ни-

при каком значении стрелы началь­

ной погиби нет хлопкйв,

так

нан

каждому

ГП

соответствует един­

ственное

решение задачи

(

см.

( 5 .1 6 ) ) .

Во-вторых, может сущест­

вовать

множество

различных решений, имеющих

одно и то

же

,

а при

^ - 7

их бесчисленное

множество.

В -третьих,

^

может

mi = - 3 - 4 1 ;

m j = 5+4j

( L,j = 1,2,3,...) .

(5 .1 7 )

Ординаты других точек, где

характеристика

имеет

вертикальную

касательную

и где

^ ^

/

являются корнями

трансцендентного

уравнения

.

a

t

a t

г9 ~ Г - ~ Г -

<5 - 18>

Любопытны формы равновесия при <£ =

/.

Все

они являютоя

замкну­

тыми

окружностями,

состоящими из

нескольких,

наложенных друг

на друга витков, за исключением

состояния арки,

отмеченного

на характеристике

точкой

С

,

при выпрямлении арки.

При т

= - 3

и т = 5

образуются два

витка

о

диаметром

d = - f 2

каждый.

При т=~7 ;и

/77 =9

четыре витка

R

о d —T .

m = 13

шесть витков с d -

п

-

т

При /77=-//

и

-

g -

и т .д .

Вое

эти

значения

/77

-

элементы последовательностей

( 5 .1 7 ) .

При

этом

каждая пара

значений

/77

, для которых число

витков

оди­

наково удовлетворяет

уоловиям симметрии

m, + m2 = 2 ;

+ =

(5 .1 9 )

Легко показать, что когда

/7?

принимает

целые

и

нечетные

значения,

то формы равновесия представляют

собой ряд

наложен­

ных друг на друга замкнутых витков. Так. например,

при /77/= -/

и trig —3 —форма равновесия

есть один

замкнутый виток с ot =&q.

При т1= " 5

и т2~ 7 три

замкнутых витка.

И

т .д .

Чиоло П

этих витков определяется по формуле

/

7 =

^ г ^

( т ~ ± 1 \ ± 3 \ ±3;...■).

(5 .2 0 )

ные алгоритмы, разработанные и реализованные на

ЭВМ для различ­

ных случаев. Сейчас наступило время, когда можно

предоставить

четчика

интересует множество

самых разнообразных сведений и уме­

стить

их

в одной

или

нескольких номограммах практически невоз­

можно.

К тому же

для

расчета

различных конструкций

необходима

мы надо строить для минимального количества

основных

парамет­

ров, на базе которых можно было бы простым

путем получить всю

мом деле, имея в '(0),(а)'(0) , соответствующие

заданным граничным у с - ^

ловиям, можно редшть данную задачу Коши,

например, методом Рун-

ге -К у тта ,д л я которого

на

всех ЦВМ имеются

стандартные программы.

При этом легко вывести

на

печать все интересующие величин в лю­

ние номограммы для

сферического купола оо свободным

опиранием

края.

Здесь

чаше всего встречаются следующие нагрузки:

контур­

ные

моменты

М ,

продольные силы N и поперечная нагрузка с па­

раметром д

. Зафиксируем значения безразмерной отрелы

началь­

ной погиби

и

д

. Таким образом, каждая номограмма

соответ­

ству ет заданным

г!0

и д. . Эту номограмму будем строить на пло­

номограмма для

данных £ 0

и д

состоит из двух листов.На

первом

из них показано

изменение

N

и М в

зависимости

от со'(О) , на

втором -

от в ‘(0) .

Пользоваться этими

номограммами можно

следу­

ющим образом. Берется номограмма для заданных

и д .

Первый

ее лист дает

значение а)'(0) для данных N и М ,

второй

дает

в'(0) для

тех

же N

и М .

По

этим данным решается соответству ­

На рис. 12 приведен первый

лиот

подобной номограммы для

^0~~2

и ц=0 .Каждая кривая

построена

для

фиксированного значения со'(О).

При д =0 сферическая

оболочка

есть

симметричная система в

смысле,

находится

по формуле

М - ~2 $0 (1+<и) . Тогда при <и-- 0

,3 получа­

ем М =

5

, 2 . На этой

линии

имеется

дискретный ряд "осой к точен",

которые

обходятся кривыми

Sf J Sz , ...

. На рис. 12 их 3

кй,В,С).

М($)

при фиксированном значении N= NR , равному абсциссе

точки

Я

.

Эта характеристика

будет

кососимметричной относительно

точки

с

координатами д = 2 и

М - 5 ,2

(центра симметрии)

и будет

иметь

в

центре симметрии горизонтальную касательную.Это

значит,

-что

при /V^/Vp хлопков не

будет. При A/B</V</V/} могут

быть

три фор­

мы равновесия при одном и том же М ( Л / - фиксирован).

Характе­

ристика, построенная

при фиксированном N=NB (для

точки В ) ,

Тогда

при NC<N<NB могут

быть уже пять форм равновесия при

од - 1

ном и

том же

М .Точнее,

при N ^ Nй одна форма равновесия.

При

Nq< N< Na

будет уже три формы равновесия.

При А/с <N </Vfl -

пять

форм и т .д .

до бесконечности. Таким образом

с увеличением зш че-

ния //V |число

форм равновесия данной оболочки

неограниченно

уве­

тодики

определения

$0 , изложенной в § 2 .2 .

Необходимо найти значения

N ,при которых уравнение

( I . I )

имеет

нетривиальные

решения при

однородных граничных условиях (1 .2 )

Аг

L ( $ в ) = 12 ( l- ju 2) N ~ f ( r - P 2) de .

( 1. 1)

& в (0 )= 0 ;

(&В(1))'+#8-е(1) = 0 .

( 1.2)

Легко

показать,

что

указанная

задача имеет

дискретный

спектр

действительных ооботенных

значений

( с м .,

например,

[б о ]

) .

В

олучае

(*0 =

О

(плаотина) данная задача -

это

задача

об

опре­

делении критической сжимающей нагрузки при выпучивании

круглой

линейной

плаотины,

шарнирно закрепленной по краям

(ом..например),

[ 6 1 ]

) .

На рио. 12 проведены огибающие Sr , Sz . Симметрично

им от­

носительно

линии

А/ =

5 ,2

идут

нижние

ветви

этих

огибающих

(на рио. 12 они не приведены). Эти огибающие имеют ясный

физи­

ческий

смысл.

За

пределы

области,

ограниченной

огибающей

S,

(правее

5 , ) ,

воюду имеется только

одно

решение

при данном

N

и

М ,

т .е . через

каждую

точку на

плоскости

|/V, м\

за пределы

указанной области проходит только одна кривая

из

семейства

cj1(0)~ const.

В

области,

ограниченной

огибающими

Sf

и

S 2 ,

будут уже три решения. Внутри

области,

ограниченной

огибающи­

ми

Sz

и

5 3

,

будет по пять решений. И т .д .

Таким

образом,

огибающие

Sn Sz ,S 3 и

т .д .

являются границами

соответствующих

областей

устойчивости.

На

рис.

13

приведена

часть первого

листа

номограммы .пли

той же

оболочки

при

ц = 10 .Кривые со'(0) = const

уже-не

явля-

ются симметричными, что показано в главе 2 .

Однако кривые

при

одном и том же со*(о) для

(f =

10

и

q -

-1 0 будут взаимно

симметричными относительно той же линии

М = 5 .2

(см .свойство

симметрии

пучка характеристик в

§ 2 . 4 ) .

Следовательно,

доста­

точно строить

номограммы только

для

Cf

одного знака,что суще­

ственно сокращает объем работ.На

рис.

1 3 . отчетливо видны "осо­

бые"

точки указанною выле тша,тслько они уже

не

лежат

на

прямой

и свойство увеличения числа решений при

одних и тех же N и М

с ростом

//V/

сохраняется.

Таким

образом,

указанные номограм­

мы

позволили

установить важный эффект изменения числа

форм

равновесия

в

зависимости от величины контурного

усилия

N .