книги из ГПНТБ / Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций

случаю, описанному С. П. Тимошенко и А. Н. Крыловым [30, 45]. В табл. 8 приведены значения коэффициентов динамичности под грузом прогибов z (т], г]) и напряжений а (т), ц) для случаев движе­ ния силы и массы.

Таким образом, можно сопоставить два предельных случая — расчет балки с движущейся нагрузкой, когда массой груза прене­

брегают (Р = 0), и расчет невесомой балки с движущейся массой (случай Стокса) — с расчетом по алгоритму интегральных урав­ нений, где приняты во внимание масса груза и масса балки.

Когда по балке движется сила, значения коэффициентов дина­ мичности отличаются от точных (с учетом инерции груза) тем боль­

71

цией с постоянным значением скорости (а, следовательно, и а) на каждом шаге, а расчеты для переменной скорости могут проводиться по алгоритму для весомых балок с постоянной скоростью движения груза. При расчетах интервал интегрирования разби­ вался на 400 участков (расчеты аналогичных вариантов при ис­ пользовании алгоритма интегральных уравнений с постоянным ускорением требовали 200 участков). В разложениях прогибов (2.18) удерживалось 25 членов ряда. Отрицательные значения кон­ тактных сил (2.45), вычисляемых в процессе счета, свидетельство­ вали об отрыве груза от балки.

В табл. 9 приведены значения наибольших за все время движе­ ния груза коэффициентов динамичности, полученные при различ­ ных значениях а ср и v jv , а также значения | = г)//, при которых достигается наибольший коэффициент динамичности. Расчеты про­ водились для случая, когда масса груза вдвое меньше массы балки

фициентов динамического увеличения давления (2.45). Графики построены в значительном диапазоне изменения а ср, выбранном с таким расчетом, чтобы исследовать закон возрастания и убыва­ ния динамических коэффициентов. Сплошные линии соответствуют

График максимальных прогибов под грузом для трех рассмот­ ренных законов движения представляет собой почти одинаковые кривые, сдвинутые друг относительно друга. При этом каждая из них имеет участок возрастания, достигает максимума и далее снижается до значений, меньших статического прогиба. Максимум прогибов под грузом при равнозамедленном движении достига­

наибольшие прогибы достигаются не под грузом, а в середине пролета (см. рис. 15).

На участке а < 0,45 равнозамедленное движение вызывает наибольшие прогибы, равноускоренное — наименьшие. При > 0,45 кривые пересекаются и равноускоренное движение стано­

вится наиболее опасным, а равнозамедленное — наименее опас­ ным. Во всем рассмотренном интервале изменений а коэффициен­ ты динамичности при равномерном движении занимают проме­ жуточное положение между соответствующими коэффициентами ди­ намичности при равнопеременном движении.

Для трех рассмотренных законов движения наибольшие проги­ бы середины пролета z (I/2; rj) возрастают с увеличением а ср, дос­

74

пролета контактная сила начинает возрастать, причем наблюдаю­ тся локальные максимумы и минимумы.

На рис. 16 приведены значения наибольшего из локальных мак­ симумов контактной силы в пролете. Далее, при подходе к правой опоре, контактная сила уменьшается и может стать отрицательной. Следовательно, в этот момент груз отрывается от балки. Если при

Таким образом, на основе проведенных расчетов для равнопере­ менного движения установлены значения скоростей движения гру­ за, при которых достигаются наибольшие прогибы и напряжения, а также определены нижние границы областей а ср, в которых про­ исходит отрыв подвижного груза от направляющей балки.

В работе [52 ] сопоставлены результаты расчетов весомых и не­ весомых балок, полученные путем численного интегрирования урав­ нения Стокса (2.14). Установлено, что при малых значениях р (т. е. соответствующих малым массам груза по отношению к массе балки) уравнение Стокса приводит к значительным погрешностям. При Р > 3 отличие в перемещениях и напряжениях не превыша­ ет 12%.

Движение системы подрессоренных грузов и пульсирующих сил с постоянной скоростью

Рассмотрим колебания однопролетной балки при движении по ней ряда масс, имеющих подрессоренную и неподрессоренную части, и пульсирующих сил, действующих на подрессоренную часть каждой массы (рис. 17). Отсчет времени начинаем с момента входа первого груза на левую опору. Его горизонтальное перемещение

- s=0

на балке груза с номером г определяется координатой т]г = % — ег. Обозначим 2Д(t, ti) динамическое перемещение балки (а также неподрессоренной массы, поскольку предполагается, что она не отрывается от балки в процессе движения). Динамическое пере­ мещение подрессоренной массы M ir относительно положения ста­ тического равновесия обозначим гд.пг. Относительное смещение

подрессоренной и неподрессоренной масс будет

76

Примем

Дифференциальные уравнения вертикальных колебаний подрес­

где c0r — коэффициент упругости груза с номером г; G0r — ампли­ тудное значение соответствующей пульсирующей силы; сог — ее круговая частота; k соответствует числу грузов, вошедших на балку; q — число грузов, сошедших с балки. Первый груз соответствует г — k = 0. Переходим к переменной т]0 = vt и вводим обозначения

где

77

причем число уравнений колебаний равно числу грузов, находя­ щихся в пролете. Решение уравнений будет

z (t, г]) из (2.59) ищем в виде, отвечающем граничным условиям шарнирно опертой балки:

( Ч — Ч г ) — импульсивная функция первого порядка.

Переходя к переменной ц,, = vt, находим обобщенную силу Qt

из выражения для работы внешних сил на соответствующем им возможном перемещении:

78

Уравнения (2.62), (2.66) и (2.67) позволяют найти все искомые величины.

Разбиваем интервал интегрирования на малые участки длиной т != 1/п. Значение т берется из такого условия, при котором функ­

изменяются на этом участке монотонно. Тогда они могут быть при­ няты постоянными, равными среднему значению на интервале и вынесены за знак интеграла, т. е. медленно изменяющиеся функции аппроксимируются ступенчатыми функциями с достаточно боль­ шим числом ступенек п.

79

В качестве начальных условий на т + 1 участке выбираются значения, полученные в конце т участка. Вычислив в уравнении (2.62) интегралы и приняв % = тх + т, получим

Рекуррентные формулы для определения обобщенной коорди­ наты (2.66) имеют вид

8 0

где

Для случая движения системы грузов с постоянной скоростью формулы (2.69) — (2.72) можно упростить. Обозначим