книги из ГПНТБ / Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций

При т = 0 среда имеет постоянные параметры и выражения для р и W отвечают значениям, полученным другими авторами для клас­

т -*- оо получаем жесткую среду и, как и следовало ожидать в рамках принятой теории пластин, вертикальные смещения средин­ ной плоскости равны нулю. В этом случае нормальное напряже­ ние в пластине полностью определяется внешней нагрузкой.

Колебания упругого полупространства с квадратичной зависимостью параметров Ламе от глубины

Рассмотрим случай 3 (см. стр. 36). Дифференциальное уравнение (1.145) имеет решение

р = р0 (az + l^+'/v-^

где р0 — модуль сдвига на границе полупространства; а — коэф­ фициент, влияющий на закон изменения р по глубине. Из урав­ нения (1.150а) при Й = 0 следует

4 J T - ( v + i ) t = ° ’

т. е.

Весовые функции /у и /2 зависят только от z; вектор гф— единич­ ный. Будем рассматривать среду, для которой %0 = р0. При этом у = 3 и уравнения (1.162) упрощаются и принимают вид

41

Решение системы уравнений (1.164) при нулевых начальных данных должно удовлетворять следующим граничным условиям:

переменных. На обосновании полученных решений останавливаться не будем, так как подобные вопросы обсуждались в работе [38]. Искомые функции берем в виде

со (7-j-ioo

После подстановки (1.167) в уравнения (1.164) в предположе­ нии возможности дифференцирования под знаками интегралов получим уравнение для нахождения функций Вп:

Граничные условия (1.165) и (1.163) приводят к системе урав­

42

где R (£, p) = (2rj + 3P) (2k + p) - (g + рл) (g + 3pft). Для на­ хождения смещений в случае единичной силы, приложенной на границе полупространства, необходимо в формулах (1.169) поло­ жить А (£) = 1 /£и2ос, Т (а) = ос. Приравняв нулю выражение для R (£, Р), получим уравнение Рэлея для изучаемой упругой среды:

ЖЕ, Р) = Р (Л + 3&) £2 — (4 — ЗР2) - f g2 — ЗР2 = 0 . (1.170)

При р = 0 уравнение (1.170) переходит в обычное уравнение Рэлея.

(т = 1, 1/3). Опуская детали рассуждений, приведем окончатель­ ный результат. Кроме двух нулевых корней на фиксирован­ ной римановой поверхности существует еще два чисто мнимых сопряженных корня при изменении а в полуинтервале

[а ( У 6 + 31/2), оо]. При ос —>- оо пределом нулевых корней явля­ ются обычные рэлеевские корни я (в данном случае я = 0,921). Ненулевые корни по модулю изменяются от я до единицы и могут быть записаны так: t = ± [я + р/ (Р)3 с.

Теперь представим смещения в (1.169) в виде вычетов в полюсах подынтегральных функций и интегралов по берегам разрезов,

43

новить делением числителя на знаменатель в первом выражении

(1.171) .

Первое слагаемое в (1.172) отличается от соответствующего вы­ ражения для однородной среды только значением корня [38]. Второе слагаемое в случае однородной среды исчезает. Разложив радикалы по обратным степеням а и воспользовавшись второй тео­ ремой о среднем значении, можно выделить из первого слагаемого (1.172) член, определяющий особенность волн Рэлея на поверхно­ сти 2 = 0. Эта особенность такого же типа, как и в случае однород­ ной среды. В точках г = vrI на поверхности полупространства сме­ щение становится бесконечным ( v r — v2 1т |— скорость волн Рэлея).

Приведем интегралы по берегам разрезов, отвечающие продоль­ ным и поперечным волнам (интегрирование ведется по действи­ тельному параметру /):

/Уз

4 (2k + P) D (/) S 1 (ч) — 2 (g cos 0 — рч sin 0) D (l) e~a2fc di

IP (P, /)

Чв (l) [ p c (4 ) + 2kSl (4 )1 + 4РЛ (l) P [2kC, (4 ) - p s t (4)1dl

IQ(p, l)

В (l) [РчС, (k) + gS1 (k)\ + PA (l) P [gCt (k) + Рч-S, (fe)J

dl\da,

IQ(P, l)

44

Исследуем асимптотическим методом особенности поля смеще­ ний вблизи фронтов упругих волн. Поле смещений представим в виде двух векторов, каждый из которых состоит из трех слагае­

Для получения главного члена в асимптотическом представле­ нии составляющих поля вблизи фронтов воспользуемся методом перевала, особенности применения которого к динамическим за­ дачам теории упругости подробно изложены в работах [37, 38]. Не будем останавливаться на переходе от контуров Меллина к стационарным контурам, так как седловые точки и фазовые функции имеют тот же вид, что и в работах [33, 37 ] с учетом условия Х0 —

— ц0. Нижний предел интегрирования выберем при выполнении условий

4 5

k = (62/3 — l)m .

Для определения особенностей поля смещений вблизи фронта продольной волны необходимо подынтегральную функцию (1.174) представить в другом виде, выделив в отдельное слагаемое члены, не содержащие постоянного параметра:

(1.175)

Здесь 0 (a) — некоторая функция a, вид которой легко восста­ новить делением слагаемого в (1.174) на знаменатель. Особенности поля смещений продольной волны определяются первым интегра­ лом. Он имеет конечный разрыв на полусфере

испытывает скачок, равный л, при переходе через поверхность (1.176). Второй интеграл в (1.175) непрерывный и в случае однород­ ной среды исчезает.

Поперечная волна uso• Необходимо различать два случая, так как седловые точки b = ± v2ti (v\t2 — z2)~^‘ могут находиться как

внутри, так и вне промежутка [—У 3 i, 1^3 г ]. Пусть |Ь\ «< У 3. Главным членом составляющей ws0 волны us0 в асимптотическом представлении является выражение

46

Выполнив аналогичные преобразования выражения (1.177), полу­ чим

Здесь Qi и Q2 — некоторые функции a, не влияющие на особенности выражения (1.178). Поперечная волна при указанном условии име­ ет на полусфере

Поле смещения головной волны вблизи своего фронта непре­ рывно, что видно из (1.180). Общим слагаемым для однородной и не­ однородной среды является выражение

cos аср + sin аф ,

которое можно получить из (1.180). Производная от (1.180) испыты­ вает конечный разрыв при переходе через коническую поверхность

дой волны имеет те же особенности, что и первая [20].

47

Г л а в а в т о р а я

ДИНАМИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА ОДНОПРОЛЕТНЫЕ БАЛКИ

Колебания невесомой балки под действием груза, движущегося с постоянной и переменной скоростью

Задача о динамическом воздействии на балку (рис. 4) сосредото­ ченного груза, перемещающегося по ней с постоянной скоростью, может быть решена путем введения тех или иных упрощающих предположений. Допустим, что масса движущегося груза велика по сравнению с массой балки. Тогда, пренебрегая инерцией балки, т. е. рассматривая ее как невесомую, приходим к так называемому случаю Стокса.

Прогиб балки под грузом при любом его положении в пролете пропорционален динамическому давлению Рд, которое катящийся груз оказывает на балку. Этот про­

груза в пролете; I — длина балки. Давление Рд в случае безотрыв­ ного движения груза по балке состоит из силы веса Р0 и силы инер­ ции при поперечных колебаниях груза вместе с балкой:

Приведем это уравнение к безразмерно^' виду. Для этого поло­ жим п = \1 и введем коэффициент динамичности прогиба г (£., ';)

48

статический прогиб от силы, приложенной посередине. Уравнение (2.3) примет вид

Для случая колебаний балки с учетом ее инерции далее будут ис­ пользованы безразмерные параметры ^

(2.4)

Р - Flpg

где F — площадь поперечного сечения балки; р — удельная плот­ ность ее материала. Первый из них характеризует скорость груза и представляет собой отношение периода основного тона колебаний балки к удвоенному времени, необходимому для того, чтобы груз прошел весь пролет балки; второй характеризует отношение масс груза и балки. Заметим, что а 2р — безразмерная величина, не за­ висящая от веса балки. С учетом параметров (2.4), введенных для удобства сравнения со случаем весомой балки, уравнение Стокса (2.3) примет вид

где v = ®l/nv. В правой части этого уравнения добавлен член, характеризующий воздействие пульсирующей силы G sin о t, дви­ жущейся вместе с грузом. Когда груз находится на расстоянии г| от левой опоры, реакция последней Rn = Рд (1 — g), а изгибаю­ щий момент в сечении под грузом

Пусть Од — динамические напряжения; а0 — наибольшее ста­ тическое напряжение от силы Р 0 посредине балки; а — коэффициент динамичности относительно а0; W — момент сопротивления балки. Тогда Од (g, g) = 0оа (g, g) = M /W , a0 = P0l/iW . Подставив зна­ чение M из (2.6), получим коэффициент динамичности напряжений

уравнению с постоянными коэффициентами и решено без затруд­ нений. Однако полученное таким способом решение неудобно для вычислений. Будем решать уравнение (2.5) численно, интегрируя

При вычислениях по схеме Адамса возникает необходимость

разложение решения уравнения (2.5) в степенной ряд в начале ко­ ординат 2 = I 2 (1 — i)2 (cq + c-fc + с212 + •••)• Подставив это зна­ чение в уравнение (2.5) и приравняв коэффициенты при одинаковых

получим

я4

и система (2.9) дополняется еще одним уравнением:

/ г ( ° ) з + 2а 2р я 2 ‘

При расчете на ЭВМ интервал изменения независимой переменной х (0, 1} разбивается на 1000 участков. Расчет дает четыре точные значащие цифры, в чем можно убедиться, подсчитав с удвоенной точностью.

В табл. 4 приведены величины максимальных коэффициентов динамичности прогибов г (£, |) и напряжений о (§, |) по Стоксу,

60