Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

M = ~ i r		м , =		J L	\| б6 + бв			(1.104)
N =	[s4“ 2 +	SetoW0l.	М0	=		1
N =	[s4“ 2 +	SetoW0l.	М0	=	S 2 + iC08j —		(О2	’
из (1.97) получим
						СО
ЧЧ («) = 01 (а) (Л* +	W\|i0),	М-о = т =	Ж	" ’	=	i в-1		(а) da.
			°			- »		(1.105)
Здесь ц0 — прогиб	под движущимся			грузом.		При	со == 0 будет
i\|4 (а )ш = о = ^ о 9 г ’	(а)и= о- Относительное смещение подрессоренно
го груза г (t) = N0 (e4el7“2 +		со2р0)е/ш' +		638^ '.
Как видно, данное решение совпадает с решением, полученным
выше, но функция влияния основания имеет вид
k(a) =	- \	j		Р) e0 (a, М			-	(1.106)
Здесь	—со
Здесь
е 0 (а > Р)	Щ ----	g (а > Р ) [ ( а '2 _\|_		£ 2)2 ---- (с о ----------- a v )*]				(1.107)

определяет влияние пластинки, а е (а, (5) характеризует влияние

полупространства. Если пластинка отсутствует,				то е0 (а,	(3) ==	1.
	Таким образом, исследование влияния пластинки				сводится
к	исследованию функции	влияния пластинки		(1.107).	Так,	при
со	= v == 0	____________1____________
	е0 (а, р) =	____________1____________		> 0	(1.108)
		*4 + (1 — v) (а 2 +	Р2)3/2
принимает наибольшее значение при кГ 1 =			DIGll, пропорциональ

ное отношению цилиндрической жесткости пластинки к модулю сдвига основания.

Метод Дж. Хука решения задач для неоднородных изотропных сред

Решение пространственных задач для двух- и трехмерных сред, когда параметры Ламе А. и р, а также плотность р являются пере менными, представляет значительные трудности, и имеется лишь небольшое число решенных задач для частных случаев.

Дж. Хук в своей работе [59] показал, что уравнения движе ния среды в цилиндрической системе координат (а также и для волн в двух измерениях) при некоторых ограничениях, наклады ваемых на параметры, могут быть представлены в виде двух ска лярных уравнений с полным (или неполным) разделением перемен ных. При этом среда ограничена таким образом, что ее свойства зависят от одной декартовой координаты г, постоянные Ламе А.

и р, пропорциональны одной и той же функции z так, что коэффи циент Пуассона является постоянным. Плотность р = р (г). При этих предположениях векторное уравнение движения имеет вид:

уУ (рУ •и) — V х(рУ хм ) + 2р' А Ч у . ; + ! 'г х ( У х 2 ь

~ р - | ^ = 0.

(1.109)

В уравнении (1.109) штрихами обозначены производные по г. Векторное смещение может быть представлено в виде суммы двух смещений:

и =	irur +	huz = «i +	м2.	( 1.110)
Здесь
				( 1. 111)
/2и2 = — V х	(/2V	X г > 2) — V	X (t9/2	•

Параметры /у, /2 — функции только z. Эти вспомогательные функции — весовые множители, которые вводятся для дальней ших упрощений. После подстановки (1.110) и (1.111) в векторное уравнение (1.109) оно принимает следующий вид:

V [V rn +		г2Г12] +	V X	дГг1	=	0.	( 1. 112)
V [V rn +		г2Г12] +	V X	г’е дг
Значения Г а ,	Г 12, Г 21, Г 22		зависят от операторов фа ф2,				а также от
gi = filft (г =	1, 2)	и оператора		R = r~] f-^rj г	(^ г )	■

В дальнейших преобразованиях для расширения возможностей получения новых решений задач Дж . Хук вводит еще четыре век торных тождества для фх, ф2, включающих в себя четыре произ вольных функции от z: hlt h2, qy, q2. Эти тождества добавляются к (1.112), в результате чего векторные уравнения (1.112) принимают следующий вид:

У [VАп - f дД12] -f-		У х	ie	^21	. ал,2		0.	(1.113)
У [VАп - f дД12] -f-		У х	ie	дг	1г ~ д Г	=	0.	(1.113)
Здесь
Аи = V2 +	(gi + hd -q£ + (gy— qi) —’
	52		■ygz—'h2)R((p2),
’ vl	dt2 <Pi+Y 1 (2рц		■ygz—'h2)R((p2),
A u — КРц —’^i) V2 + (Pngi —1			+ <7i) -fo +		(Pvgi +	<7i) —
	JP_
— (Ph — Pp + gi) v{ 2 dt*		<Pi +		Y-1 l— (Y—'2 )Pv£t —				} (1.114)
	— 2pp. + h2 +		q*l R Ы ,					} (1.114)
	— 2pp. + h2 +		q*l R Ы ,					I

Aai =	V 2 + (Si Л- h2) —	(g2—■q2) ■ v2 2						ф2 —
				— (2рц — & i~ Y^i) Фь
А 22 —	(Pp — К ) V2 + (Ppga — й2 +			<7а)	— Ы			2 + Рг)
	—2	0й	ф2— *PvSi — 2Рр + Y^I —^Y^i^Pi-
— (Р(Х — Рр + Ы и2		я*	ф2— *PvSi — 2Рр + Y^I —^Y^i^Pi-
Выбрав параметры так, что
	Ац = (р». — рР + ёс)А п					(i =		l, 2),		(1.115)
уравнение (1.113) перепишем в виде:
	Y [V Дц + iz (Рр —■Рр + Si) A il +					V	x	f . e ^ - 1-
	■К (Рр — Р р 4			дА~		=	0 .			(1.116)
	■К (Рр — Р р 4			Si)	дг	=	0 .			(1.116)
После умножения (1.116) на v2 =								(Я4 2м-)'	= ~	= Рр
После умножения (1.116) на v2 =				ц/р и учета ~ Х + ^ Г -					= ~	= Рр
это уравнение сводится к виду
	/r’V M A i ; +		/r‘V X [khv\ ^				- )	= 0.		(1.117)
Векторная функция		(1.110) удовлетворяет						(1.117) в том слу
чае, если фц ф2 определены из системы скалярных уравнений
	А п =	7 \	(cpi) —	y ~ %	R	(Ф а)	=	0 .
Здесь	Ац — (ф2) ■ -т]1Ф1 = 0.
Здесь
T t = Vt + {gt + hl) ^		+	(g'l - q	l) - u p - ^ -				( ; = ! ,	2),	(1.118а)
	% = 2рр — g i — yhlt			% = 2Рр — Yg'a— йа,						(1.П86)

т)г — функции связи. Если % = 0 (г = 1, 2), то уравнение распа дается на два независимых скалярных уравнения.

Сопоставляя левую и правую части уравнений (1.115), прихо дим к системе восьми уравнений относительно произвольных и структурных параметров:

Рц — Л< = Рр — Pp + ft			(i = l , 2 ) .
(Рр — hd (gi +		hi) = P\igi — hi + <7i		(t = 1, 2),
(Pp — hi) (gi — qt) ■=Ppg'i + qi				(i = 1, 2),	(1.119)
(Pp — h^ (2pll		yg2— h2) = — (Y — 2) Ppg-2— 2рц 4-ho 4- qt,
(Pp —	h2) ( 2 -	- g, - - 7 ftj) =	P\igi — 2pp + yAi 4- Y<7i-
После	замены	переменных
		/п,-		( i = l , 2)	( 1. 120)
		Р

я 9 - Ю 2 5

и некоторых преобразований эти уравнения сводятся к следующей системе:

т г = - { г ( - & + Рр)

(i = s l . 2).

(1Л20а)

6г =

т :

(г

2),

(1.1206)

(т: + ррт г — р -'р mf)' =

(г =

1, 2),

(1.120в)

2уот, + (2рр — рр) т 2 — (2р^ — урр)

—

— (Y— l)H .-1pm1m2 — 2 (р р -'р /

(1.120т)

2т ; — (2рй — рр) т2 +

(2рр — урр) т1 +

+ (У— l)p _ 1pmim2 — гСрр-’р^)' =

0 .

(1 .120д)

Из уравнений (1.120в) после интегрирования получим

m'i + ррщ — p-'pm? =

В,

(i =

2),

(1.121)

где

В, — постоянные

интегрирования.

Если

учесть

тождество

(у — 1) тхт2 =

ут\ — т \~ (утх +

т 2) {тх— т 2),

(1.122)

то уравнения (1. 121) примут вид

(у— 1) |х_ 1р т гт 2 = у (т\ + рртх) — (т'2 + ррт 2) —

— р~‘р (у т х + т 2) ( т х — т 2) — (yBj^ — В 2).

(1.123)

С учетом (1.122) уравнения (1.120г) и (1.120д) сводятся к виду

(ymi + Щ — 2рр~1Р|х)' =

(1.123а)

{тх_

т2) [2рй— р -'р (ут1 +

т2)} — (уВ х — В2) =

(1.1236)

Из

(1.123а)

имеем

уml + т 2 = 2Fx.

(1.124)

Здесь

Fx = цр1рй — А,

(1.125)

где

А — постоянная

интегрирования.

Учитывая

(1.124), для

(1.1236) получаем

2Лр_1р (т 1— Щ) = У^1 — 5 2.

(1.126)

Уравнения

(1.124)

(1.126)

являются

интегралами

системы

(1. 120г) и ( 1. 120д) при

условии,

что уравнение (1. 121) удовлетво

ряется. Вместо уравнений (1.120г)

и (1.120д)

можно записать

(УЩ + т2У + Рр (уЩ + Щ) — Р - 1 Р {ут\ + т %) =

= уВх +

В 2,

(1.127)

(тг —■т2)’ + рр ( т х — т 2) ■— р-1 р {т\— пф =

В1 — В2. (1.127а)

Используя

(1.124),

из уравнения

(1.127)

получим

р - ’р (ут^ +

пф =

2F2,

(1.128)

где

F2 = F\ + p / ,— f (У8 , + B2).

(U 29)

Из уравнений (1.124)

и (1.128)

находим

m i =

2 (у +

(F1 ± йрр

^ 120^

Здесь

Щ =

2 (у +

I)-1

(Fx =f уйрр-1).

2уЙ2 = (р -'р )2 [(у +

1) Р Р -1^ -

2F\] =

= I(Y + 1

р'ц +

(Y— 1) Рр + Л р -‘р (4Рд — (У +

1) PpJ —

— 2 (Л р -‘р)2----- 2~ (V +

1) (Y^i

+ В2) р -'р .

VI.

Рассмотрим

частные

случаи.

Случай

В2^

(1.132)

Y^i

0 .

Из уравнений

(1.124),

(1.126)

находим

Щ. =

2 (у +

I)-1 (Fx + С рр-1),

(1.133)

где

mi =

2 ( Y

+ i r I (F i- v C p p “ ,)I

С = "4Д- (уВ1— В 2).

Сопоставив (1.133)

и (1.130), получим дифференциальное уравнение

Й2 =

С2.

(1.134)

Подставляя

(1.130)

в (1.127а)

и используя

(1.126),

находим

урав

нение

(у +

1) й ' + (у — 3) рцй ±

3= [*2 (у —

1) й 2-----^ (У +

1) (Bi — В.) р -'р

(1,135)

С учетом (1.134) вместо (1.135)

можно написать

(У — 3) рц---- y

С~1

(В1— уВ2) р_1р — 2 (у — 1) С =

(1.136)

Условия

(1.115),

которые наложены на формулы (1.114),

выпол

няются, если структурные параметры являются решением

урав

нений (1.134), (1.135) или (1.136).

Случай

II:

уВ1— В 2 =

(1.137)

Уравнение

(1.126) удовлетворяется,

если

или

Л =

(1.138)

т1 = т2 =

т.

(1.139^

Таким образом, возможны случаи:

1.А = 0;

2.т1 = т2,

3.А = 0 и т1 = т2 = т.

Для случая 1 уравнение (1.131) приводится к виду

2уЙ2 = [(у + 1)рм+ (7— !)/£] — Y(Y+ 1)Вх^_1Р. (1-140)

так как А = 0 и yBt — В 2 = 0. В данном случае (1.140) — един ственное соотношение, которому должны удовлетворять параметры р, р, у.

Для случая 2 из (1.130) получим
m = 2 (Y +		i r 1 F1,	(1.141)
	й =	0.	(1.142)
Уравнения (1.121) в этом случае		тождественны	и, следовательно,
В 2 = В .2 = 0, что следует	из (1.137). Система (1.121) сводится к
одному уравнению
т! +	ррт — р - ’р т 2 = 0.		(1.143)

Подставив (1.141) в (1.143), получим дифференциальное уравне ние для случая 2, которому должны удовлетворять параметры

И-. Р. Г-	,	,	о	(1.144)
F'i + pPF1— 2 (у +	1)_	p“ ‘pFi = 0.		(1.144)
Для случая 3 уравнения (1.143)	и (1.144)		сводятся	к виду
(у+1)р "р = 2р'2.				(1.145)

Таким образом, для всех случаев получены дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять параметры р, р, у. Возможности метода можно раскрыть лишь после решения полу ченных уравнений. С учетом (1.118) и (1.119) для операторов Т1УТ2 получим значения

^	= v2 +	F p4 + Р'р - (Л) + яд - °Г2-§Г ( * =1. 2) . 1( . 146)
Для	функций	связи
		Г]1 =	2рц — Рр — (Y— 1)Й1,
		t]2 =	(1.147)
		t]2 =	2pli — ypp + ( y — l)h 2.

Функции связи можно выразить через р, р, у с помощью (1.120)

и (1.125), тогда

= 2	(7 + 1) ’ [рц— Лр 'р±Й],
Лг = 2	(1.148)
Лг = 2	(y + I)-1 [Рц— Лр1р=РТй Ь

Подставляя (1.148) в (1.147), получаем

‘(7+ 1)% = 4Рц— (Y+ 1)P p =f 2(y — 1)Q + 2(y — 1) Др-'р, (1.149)

(Y + 1) V“ 'il2 - 4 Рц — (y + 1)P p 3= 2 (у — 1 ) ^ —•
— 2y-1 (y — 1) Лр1р.	(1.149)

Приравняв нулю (1.149), получим условия разделения уравнений движений:

А = 0,	(1.150)
± 2 (у— 1)й = 4рц — (y + 1)Pp-	(1.150а)

Из (1.150) следует, что разделение возможно в случаях 2 и 3. Заметим, что для случая 2 дифференциальное уравнение (1.144) интегрируется:

Ар = р' + - i- (у + 1) (k + J	р- 1<*г)-1 ,	(1.151)
где k — const.
Уравнение (1.144) имеет также особое	решение:

Fi = W _IPn — А = 0 .

Используем приведенные выше результаты Дж . Хука для реше ния нескольких конкретных задач.

Действие подвижной нагрузки на пластину, лежащую на упругом полупространстве с переменными параметрами

Приведем решение поставленной выше задачи для одного част ного случая, когда yBj — В 2 Ф 0 и не получается полного разде ления переменных в уравнениях (1.118). Параметры р, р, у должны удовлетворять уравнениям (1.134) и (1.136).

При р = Я, у = 3 из уравнения (1.136)					находим
	£	8С2	=	А	(1.152)
	Р	— ЗВ2	=	А	(1.152)
	Р	— ЗВ2
где D — постоянная.
Если подставить (1.152) в уравнение					Q2 = С2, то получим
дифференциальное	уравнение
	Ч +	Рн- " 2 =		0’	( !.! 53)
где рц = р'/р, я2 =	АЮ2 -J- (3Вг -f- В 2) D — 3С2. Из уравнения (1.153)
находим		,, пг
	Р =	,, пг
	Р =	Ро ch2 — .

Постоянная п характеризует свойства среды.

Таким образом, задача решается в предположении, что пара

метры Ламе изменяются по	закону
Я =	р = р0 ch2 mz,	(1.154\

а отношение плотности упругой среды к ее модулю сдвига постоян но. Уравнение движения в прямоугольной системе координат за писываем в виде (предполагается независимость движения среды от

координаты			у)
а2	,	а2	.	0		,,
т - г + -зз- +				2т th тг
дх2	1	dz2	1
				а2	+,	а2
			" а ^ - "Г" "fe2"
			(•

а		-2 а2 \ *		п,	а2Ф,
-к- ■		•oi		— 2km	дх2	= О, (1.155)
йг
.	„ ,,		а	. оГ^ \| ф 1 =		0,
+	2mthmz-		дг
^				w* dt2

где Фх и Ф2 связаны с векторными смещениями зависимостями

M l = V (ЛФх), / Д	= v х liyh Щ	■	(1-156)
Весовые функции fx и /2 зависят от 2 и в данном случае имеют
вид fj = ch тг, /2 = ектг ch mz.	Постоянная т	характеризуется
зависимостью параметров Ламе от переменной г.		При т =	0 полу

чаем среду с постоянными параметрами, уравнения движения пере ходят в обычные уравнения, весовые функции превращаются в

постоянные, равные единице.

Рассмотрим уравнения (1.155) в подвижной

системе

коорди

нат,

в которой осьОу движется в направлении оси Ох со скоростью с,

меньшей скорости волн сдвига. Введем новые переменные:

г = тг,

s = х — ct.

В новых переменных уравнения (1.155)

примут вид

а 2

- +

2 th 8 - 5 r l ° i “

а2Ф,

as2

Ф2

ds2

P2 =

Решения уравнений, ограниченные при е ->

—

оо,

запишем в

виде

со

Г . , р

SkBe1*

, 1

elas .

Ф! = f

Де

m /л<а

w2\

r.vi о

m (у2 — ц2)

ch 8

(1.157)

gg4e+<as

С?а ( , 2 = 1 ■ ^

1 +

а гу2

ф , - [

ch 8

Использовав (1.156), найдем скалярные смещения и напряже

ния,

выделив действительные части:

Г sin as

2ka2

АебЁ +

Ве"г

•m

(t) +

6))] da,

~ ~

che

(б2 — ц2)

и* =

СГ

{Mme&e+ Be"e ( - g r r ^ r — l ) « 2] d a >

за

со
a s = jaj*	c°^”s \|Ae6s [3m26 (8 — th e) — a 2} +
		+ Be^ a 2m (t) -j- k) -		2ka4	\(1Л58)
				2ka4
			tn(62 — T]2)
			tn(62 — T]2)
		2k	^	— 1J (th e — T\|)	da,
		— Зта21 62 _	^	— 1J (th e — T\|)	da,
oo
Г	a	\| J f i- \| A * / n ( 2 6 - t h e )	+
Tes — pi J		\| J f i- \| A * / n ( 2 6 - t h e )	+
+ Be^	2ka2
+ Be^	62 — T)2■(2r)-—the) — m2 (r) +			k) (r) — the) — a 2	d a.

Рассмотрим пластину толщиной 2H, покоющуюся на упругом полупространстве, свойства которого рассмотрены выше. По ее поверхности движется постоянная нагрузка со скоростью с, мень шей скорости волн сдвига в полупространстве. Контакт пластины и полупространства предполагается скользящий, т. е. касательные напряжения на соприкасающихся поверхностях приняты равными нулю. Начало координат расположено в срединной плоскости пла стины и ось Oz направлена вверх. Запишем уравнения теории пла стин, учитывающие инерцию вращения и поперечный сдвиг:

2G	рс2	дЮ	т = О,
1 — v	рс2	ds2	т = О,
2Н (уЛ - рс2)		- 2xGH ~		~ p = F (s),		(1.159)
} Я 3 (Т ^ -	-	РС2Г	) « -	2ХСЯ	dW	х) — Ят = О,
					ds

где W и U — вертикальные и горизонтальные смещения срединной плоскости пластины; X — вращение поперечного сечения пластины, X = X0ae‘“s; G, р — модуль сдвига и плотность пластины; р, т — вертикальное и касательные напряжения в пластине; F (s) — внеш няя нагрузка пластины; Т равно единице при учете инерции враще ния и нулю, когда она не учитывается; к — модуль поперечного сдвига Тимошенко.

Перенесем начало координат из поверхности полупространства в срединную плоскость пластины. Для этого в выражениях (1.158)

нужно положить
8 = 1 + Н ,	(1.160)
но для простоты записи оставим их в	прежнем виде, подразуме

вая (1.160). Запишем условия скользящего контакта пластины и

полупространства (s = 0, £ = — Я):


а8 (s, — Я) =	р (s),	мЁ (s,	— Н) — W (s),
Tes (s> — Я	= 0,	т (s,	— Я) =		0.
Для определения трех постоянных z^,				Х0	запишем три урав

нения, два из которых получены из системы (1.159), третье выте

кает из условия тЁ8

(s,

— Я ) =

(при этом используем

интеграль

ное представление б-функции в выражении для внешней

нагрузки):

F =

f 06 (х — ct) = F0б (s) =

cos (as) da,

AkazT\

■tnЛ (r) +

k) — a 2

= 0 ,

26mA 4- В 82 -- ^2

H xG

H2m a2

X0 — xGH

АЬт

+ В

2km

l a 2

i = 0,

82 — ri2

6) ----- + 2ka?

(1.161)

•[p0 (3m262— a 2) +

2 Я Я а 2] A +

m (r) +

2kr\

1) (3mrj — 2H N a2) В — 2xGHa2X0i

§2 -- ^2

N — xG — pc2,

•pc27\

1 —

Определяя А, В из системы (1.161)

и подставляя их

в выраже

ния для ст8 и ые, при £ =

—Я

находим

/ч _

оо

_Мч|_ Г __________ B F ncos (as) rfa___________

” '

jx0/? +

2bma2H [m2ri (4 +

6) — a 2] Q

’

6F 0 fm2t| (r) +

k) — a 2] cos (as) da

iV? -f- 2bma.2H [m2T] (i) +

Й) — a 2] Q

n _

(xG)2

xG — # 2a 2M/3

R =

[3m262 — a 2]

4£a2T]

m2t] (i) - f &) — a 2

62 — T)2

— 2/n6

m (r) - f Й) a 2 — 3mr\a2

2£a2 (a 2 — 3m2r|2)

m (62 — r|2)

Полагая R =

получаем уравнение для волн Рэлея в упругой

среде, свойства которой определяются выражением (1.154). Легко проверить, что при т — 0 оно переходит в обычное выражение для волн Рэлея.

Полученные выражения позволяют исследовать влияние пара метра т на вертикальные смещения и напряжения в пластине.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ