книги из ГПНТБ / Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций

&У

У + Ь'.

дхх У =

дх£ + «i

дх

дхх

дх

б(хх) (63ег<т+Ч) —

64 U

+

б5 +

б6г) — б,а {хъ т).

(1.55)

*!= 0

Здесь А — оператор

Лапласа;

V — набла-оператор; а| =

u2cjT2>

Учет сил тяжести

и m2g

приводит к необходимости искать

решение системы (1.53) —

(1.55)

в виде суммы решений:

а, = е‘т С а» (а) eiaXida,

0Q==

\ со0 (а) eiax'da,

(1.60)

— со

— со

s — число неизвестных функций yk

(а,

Р).

[yl — а 2 — Р2 + а\ (1 — а )2 —

Ф« —

еф

_

^

Ф,з = О,

1 — 2v ф*2 ‘

1 — 2v

y l - a 2- P 2 - f a2 ( 1 - a y

1 — 2v Ф<г2'

aP

„

1 — 2v Ф« “

( 1. 61)

vl

vl — a 2 — P2 4- «1 (1 ■—*a)2 +

i _

2V

Фм-

taTfc

g

>-Pt*

m

= 0

1 _ 2 v

Ф*1'

1 — 2v

w>

2 (Л*фм — V/гФы) = °-

2 (Ффм — 7аФи) =

°-

0 -62)

fe=i

s=i

однородных уравнений относительно

сры

находим ук и

s: у* =

= a 2 + Р2 — af (1 — а )2, & = 1, 2,

s =

2. Колебания

затухают

=

0 выбираем

Re ук ;>

0.

Фkl

Из

системы

(1.61) — (1.62) определяем

неизвестные

функции

(a,

Р),

выраженные

через

некоторую

произвольную

функ­

цию

(a,

Р):

ф13 (а,

Р) =

—

(а2 +

Р2 +

yl)

[a2 - f

Р2 +

V? +

+

а? (1 — а )2]-1

фг (а, Р), ф23 (а,

Р)

=

фх (а,

Р). Аналогично этому

из

уравнений

(1.50)

и (1.53) находим ylo =

a 2 +

Р2 —

afa 2,

k =

=

1, 2,

s =

2

Re vfto >

0,

(ф13)0

=

-

(a2 +

P2 +

T20) (a2 +

P2 +

+

У10 +

а 2н?)

1 (Ф2з)о.

№23)0

=

Фю (a .

P)-

Нормальное смещение и напряжение на поверхности полупро­

странства

х3 =

0 можно

теперь

представить

в следующем

виде:

00

а3 (xlt

х3,

0,

т) =

G j

[ [ф (a, Р) ё:%+

ф0 (а,

Р)]

dadfi,

—ОО

СО

«3 (хъ

х2, 0,

т) =

=

55 [ф

Р )8 (“ • Р) е<х +

Фо (а.

Р) е0 (а.

Р)1 ei<ax^ x^ dad$,

где

(1 — а)2 <ц

8(а, Р) = ----z---- X

X

У^Р2 + а 2 — а2 (1 — а)2

2)]/|32

Р2 +

а2^

( 1- а )2

- ( Р 2

■а[ (1 — а)2 X

X У^Р2 +

а2 — а\ (1 — а)2>

со

. „

I

К (а) --------- l- j

е (а, р) ■

<Ф,

оо

sin р -

(1.63)

К 0 (а)

"ST I

8о(а -

Р)

0 (а) =

а 4 — бх (1 —I а )2 + t62 (1 — а) -f- б Д

1 (а),

0О(а) =

а 4 — б^ 2 ■— гб2а -f- бДо"' (а),

оо

р0 =

I ф (а) da,

М0 =

(е2 +

щ —

I)-1 ,

— оо

(1-64)

М =

б3еа ‘ -f- 8es4e!'k‘M0,

N =

б4 бв7И0.

Л = М0 (г4е‘х* +

ц0),

В = е3е ^ ,

(\.65)

Ф (“ ) = 1 Щ * ) (М + N Vo)'

(«) =

2:[() '(а)- (б5 +

66< W ).

Например,

прогиб балки под грузом без учета силы тяжести

©о

Уо (О,

т) = ен j ф (a) da = егтр0.

В данном случае напряжение балки под грузом

оо

оо

— В ухх’ (0, т) = Belx j

а 2!!? (а) d a = ~

Beix (М + N ц0) j

.

—00

—со

Трудность

заключается

в вычислении

интегралов

Ц e~ '(a)d a и

J аЮ~' (a) da.

(1.66)

—ОО

— оо

Мнимая часть функции

0(a)

=

а 4 — 8г (1 — a )2 +

8?k~1 (а) +

+ i62 (1— a), Im k (а) — 0

при а

=

1 обращается в нуль, но веще­

1 — v

sin р

Ц e 2cos ах>2dx > 0 ,

£ ( ! ) =

ф = (1 — V)

я

J V W T Г

о

(1.67)

следовательно, 0 (1) > 0,

и в данном случае 0

не имеет веществен­

ных корней. Формула (1.67) получается в результате интегрирова­

ния по контуру в комплексной полуплоскости; k (а) будет

прини­

мать комплексные значения при — 1 < ;— а2/1 — а2< ;a - < a 2/l

+ a2 <

< 1, если скорость движения меньше скорости

упругих волн, и

при значениях а вне

указанного отрезка, если

скорость движе­

ния больше скорости

упругих волн.

оо

k{a) =

- ^ a \ { 1 -

a

)2

J

X

Vi(«.

P) dP

( 1.68)

P2 -j- a2-----Y

[ l ~ aY

■(p2 + a2) yx (a, P) y2 (a, P)

находится

путем интегрирования

в

комплексной полуплоскости

Im р >• 0 .

Выражение, стоящее

в

знаменателе подынтегральной

функции,

представляет уравнение Рэлея относительно (Р2 + а 2) х

диуса р (при р -v 0)

и делая

замену переменной интегрирования

р =

р^Ф 4 - pfe,

получаем

П

lim

Г - i n(P ^ + Pfe)

s(cc, ре'ф+

pft) piei(S>dq> = 0,

P-^og1

+

так

^

a

sin (pelq>4- 6b)

конечно.

как при любом

рА

отношение —

— —— всегда

^

Р*)

Ре ф + Pft

Знаменатель е (а, ре1® +

не обращается в нуль в связи с тем,

что точки ветвления

и полюсы подынтегральной функции

никогда

не

совпадают.

Р1 =

— а 2 +

6?(1 — сс)2,

s =

1 , 2 , 3 ,

(1.69)

а точки ветвления

pi =

—а 2 + а| (1 — а )2,

k = 1, 2.

Известно,

оо

f

а)2j

"V— Р2 + ct2 — а? (1 — a)2 dp

X

■Р2 + а2 -----± ( 1 - а ) 2

- (а2 —Р2) Vi (а, ф) у2 (а, ф)

К (а) = 2л 2

lkRes F фк, а) — if (а),

к

где

Res F (Pft, а)

— вычет

подынтегральной функции

в

точке

Р*,;

= 1, если

полюс в верхней полуплоскости; %k =

1/2,

если

полюс на вещественной оси; Ejfc

= 0 , если полюс в нижней полуплос­

кости.

порядка,

кроме

точек

а =

±

Ьг (1 ±

b-j)~ 1,

где

k

( а

) оо.

В

этих точках 0 (а) = а 4 —

(1 — а )2 +

гб2 (1 — а).

Полюсы подынтегральной функции находим по формуле (1.69),

я

bs — следующим образом:

bt =

a l[[ - ^

+ zsl) +

-1

izs2

(s =

1,

2, 3).

Здесь zx =

zn +

iz12 =

и + v (s — 1),

l (и + v) ±

i,

/ 3 (и — v)

(s =

2,

3),

и = V — q + V d,

v = V

-

q - V

d

,

16 (32v3 — 16v2 +

21v — 5)

4 (56v — 11)

27(1 — v)2

2 7 ( 1 — v)

‘

После

замены a =

ы/1 —

и2, \u\ <

1

интегралы

(1.66)

стано­

вятся собственными с интервалом интегрирования

{— 1,

+ 1} и

могут быть вычислены на ЭЦВМ.

+

1 _ 2 v

=

а^{^дГ~ v ~dx[)

и’

(!-73)

ААда +

и- щ ) 2 w = / (* i.

* 2.

t).

(1.74)

Здесь v — коэффициент Пуассона для

полупространства; съ с2 —

скорость

продольных

и

поперечных

волн

в

полупространстве;

а — коэффициент Пуассона для

пластинки;

G — модуль сдвига

для полупространства;

Е х — модуль

упругости

для

пластинки;

D — цилиндрическая

жесткость

пластинки;

f

(хх, х2,

t) — интен­

сивность

внешней нагрузки;

а\ ■

«1 .

Pi^Po

‘оРо ’

X l------- D

*

/(*1.

*2. 0 =

<7l(*2>

k) Qi (*i> к)

iat,

d2w {хг, 0,

t)

к9е‘

’

< _ 0

■щ К {хх,

х2,

t).

(1.75)

Здесь В ххХ2 {хх, х2,

t) — реактивное давление; q( (xit lt), i

— 1 ,2 —

функция

распределения

нагрузки;

х 2 =

PIJD\

х 3 =

m llpllD ;

оо

qi (х,,

//) =

4 - j

(/ = 1,

2).

(1.76)

— СО

Для сосредоточенной нагрузки

СО

qk (xk,

/*) =

6 (**) = 4 е .( *'р***ф *

( * = 1 .

2).

(1.77)

— со

оо

* 2> 0 =

еш

со2 (а,

р) eHcuci+fa) dadfl,

(1.78)

ОО

w(xx, х2, t) =

еш

( j ф (а,

р) g<(a*i+P*2) dadfi.

(1.79)

—оо

/(* 1 , *2, 0 = ^ 1 1

sin а/,/2 sin р/2/2

(х2 + Х3со2р0) — х4со2 (а,

Р) X

зх2а|3

X

dad$,

(1.80)

СО

Н-о = ^ Ф ( а > P )d ad P-

(1.81)

2

00

и = е-!*‘ 2

\( ф* (a, Р) et{a xM ~y^ dad$,

(1.82)

*=i

со

w == eIt0*

j j ф (сс, Р)

dadfi.

(1.83)

—оо

На границе контакта пластинки

и основания х3 =

0 предпола­

«3(*1> *2. 0. *) = И *1 . *2» 0-

О-84)

Для нормального смещения предполагается, что

a s (xlt

х2, 0,

t) — — (х1; х2, 0 -

О-85)

Решение уравнений

(1.73)

в случае отсутствия

касательных

[44]. Необходимые в дальнейшем смещения и напряжения

на по­

верхности полупространства

представляются в виде

ОО

«з (лу, х2, 0,

t) =

ela>t j

\в (а,

Р)ф (а, $) ei{aXi+&xJ dad$,

(1.86)

со

а3 (ду,

х2, 0,

t) =

eiat [

ф (а, р) e‘(a*i+P*2)dadp.

(1.87

,

я.

.

Vi(P2- “)Тз(Р2- «) + Yo(P2>«)Vi (P2>a)V2(P2. а)

,

в (а, Р) = — (1 — v )----------------

5------------ -------------------------------------

? 4 (Р 2 ' “ ) [75 (Р 2 > + fe2 [“ [1

Yo =

P2 + a 2>

Y2 = Р2 + а 2 — а2 (ы — ecu)2

( fe = l, . . . , 5 ) , (1.88)

b (а) = <зв (со — ап)2,

а\ =

1/2а2,

а2 = хп а2, а\ = х21а|,

а6 =* х22а\.

Здесь хп , х21, х22 — корни уравнения

Рэлея. Ветви

радикалов

ух и у2 фиксированы условиями О С

arg yt (|32, а) <

я /2 (г =

ю2 (а, Р) = — ф (а, Р) s—1 (а,

(1.89)

Р).

Учитывая

теперь (1.89), подставляем (1.83) в уравнение (1.74),

из которого

определяется

а

Я2в (0, 0)

(1.94)

'°'0 — _

х ^ е (0, 0) +

_

х2 [х4со28 (0, 0) +

х4] [х2со2в (0, 0) х4 + v2ji2s (0, 0)] — т1я2х3(о2е (0, 0)

W

8

(0, 0) [х ^ е (0, 0) + х4 + т2л2е (0, 0)]

(1.95)

когда на пластинку, лежащую на упругом

полупространстве, пере­

дается равномерно по некоторой ширине 12

давление от двух балок,

по которым движется нормальная нагрузка, состоящая из движу­

щейся с постоянной скоростью v массы rrix и подрессоренной массы

т2. На движущуюся и подрессоренную массы действуют периоди­

ческие

силы

р ке 1№ + %&

(k =

1,

2). Уравнения

колебаний пла­

стинки,

балок и подрессоренных

грузов с учетом

инерции

масс и

затухания в системе (1.72) имеют следующий вид [44]:

cdz(t)

dz (t) +

e2z (t) =

83 -f- 84e!(“^+X2)

дгу (*1, t)

(1.96)

dt*

+ ei dt

= 6 (xx) 6 em t+ Xi) — 64

d2y

+

65 + $ez (t)

■6A

(xlt

t),

(1.97)

— g

3

4

л 2

xt—0

AAw -)- Xi f-gj-----V gx~\

W — h (X2,

/2)

(*1, t)

•5<4^-2 (•'■!>

*2> 0 ‘

(1-98)

Здесь коэффициенты ег

(г =

1, 2,

3,

4) и &k (k

=

1, ....

6)

соответ­

вие касательных напряжений и равенство прогибов:

у {хи t) = w {xu 0, t).

(1.99)

у(х 1,

t) = ух (хи

t) +

у 0 (/),

г (0 = Аеш + В.

(1.100)

Здесь 1/0 (t)

и В =

—

решения,

соответствующие действию

чается при со е= 0. Поскольку решение у0 и В получается

из реше­

ний, соответствующих

случаю действия

периодических

сил при

со == 0, то можно искать

решения

(1. 100),

положив в них у0 (t) ==

=

В == 0. В уравнениях

(1.96),

(1.97) получим е3 == 0,

65 == 0,

не ограничивая этим общности решения.

Представим у (хх,

t)

и ^

(xlt t)

в виде

преобразования Фурье:

со

у (д ^,

t) =

еш

^

тИ (a) eiax'da,

( 1. 101)

— со

со

У (*i> 0 = еШ

) ®i (а) е‘ахч!а.

Методом, описанным

выше,

получим для

пластинки

(1Л02>

Из

уравнения (2.4)

найдем

©1 (а)

44 («1

М а)

=

-У j

sin р/,/2

(1.103)

k(a)

(50 (а , р) dp.