книги из ГПНТБ / Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций

X 2

^м в (*> m +

1) sin —y— +

i= 1

+

■

2i

• 2

m + l ) s i n - ^ -

(3.39)

max t=l

где a0 = P0lzmaJ i I y; zmax — расстояние до крайнего

волокна. Ка­

сательные напряжения

могут быть определены по формулам

ЬД2* ( х ,

У ,

г , ф

«Эф(у,

г) .

Ух

X

2/rf

дг

гх

Ых

i=i

5 /

■■

Wknr,

dtp (у,

г)

*1

Ч у х ( X ,

У ,

Z, Т]) = т 0

X

2h

ду

X 2

*М0 (г, tn +

Ых

l)cos- . .

( = i

1

2,5

участков,

в

разложениях

(3.27) удерживалось 25 чле­

нов ряда.

2,0

На

рис.

35

приведены

значения

наибольших

за

время

прохождения груза

1,5

по стержню коэффициентов

динамичности в среднем се­

1,0

чении стержня по прогибам

0,1

0,2 0,1

0,1 0,2

0,1

0,1

z (1/2,

г]) (рис. 35, а)

и

0,2 0,1 0,1 0,2 оС

а

б

§

г

углам

поворота

0(7/2,

т))

Рис.

35.

(рис. 35, б), а также наиболь­

шие значения коэффициен­

тов динамичности

сечений

под грузом по напряжениям а (тр г])

=

= ag

Сп> ЛЦпо (рис. 35,

в)

и контактным давлениям Р (ц) (рис. 35,

г).

E I

о4гд

+ pF

д22д

f

P-Е!

дьЧ

Яг (•*>

(3.40)

дх4

dt-

dtdx* =

0 .

где р — коэффициент,

характеризующий

внутреннее трение мате­

риала балки

[50].

Найдем

решение в

виде

где

2д ( д t) =

г0г (х,

t),

(3.41)

2РГ13

, ,

v

и\

■ inx

2° = ~ Ш Г ’

2

t] = £

ъ

W sin — ~

’

Р г — вес

неподрессоренной

части груза. Заменим действие проме­

жуточных упругих опор, расположенных на расстоянии

от ле­

вой опоры, реакциями

P s (t),

а действие подвижной

массы — си­

лой Р д(/).

Правую часть уравнения (3.40)

представим

в виде ряда

СО

qz(x,

0 =

2

З Д s

i

n

(3. 42)

Здесь

i=i

1

2РД (t)

sin

invt

+ 1~1l

i2|s

I

~т~

Ps ( 0 s>n

i

+ 2Л‘ ^

+ * ‘ <ч> -

Jl2

[p (Tl) sin

^

+ 1 Ps (л) sin

k

1.

(3.43)

a2i2

s=l

1

J

P =

Р У РГ>

Ps = P./PT,

hi ~

iw

l

kt = г'2л/а/,

2a2

l

сп (il) =

е

M

\At (Ь) cos rtr\+

Bt (b) sin rtx\\+

e~ hiл

я*

\ P (X) ehp sin

sin ri (r) — X) dX +

ri

аЧ1

~в

П

I1 .

i

/

#

'I

+

cm

-- --

£ ps (X)ehi>'sm ri (r\ — X)dX,

(3.44)

'£1 s i n - ^ 5-

S = 1

где

r< =

] / * ? - ft?

=

^ ~ r ih

rit =

V 1 -

- ^ S - C 2

-

At,

B t —

произвольные

постоянные. Дифференцируя

(3.44), на­

ходим

hi

1 deg (4)

=

B t (b)

cosr.ri------ г - sin r{:т)

п

*1

'

Ti

— A£ (b) (sin r£r\+

—p - COS rp1j

+

4

a2/3

) P (X) ehi%sin

cos rt (ц — X) dX —

л

- - % - $ Р

W ^

sin

sin rt (rj -

X) dX +

—M

+

Л

‘ '___5 !_ V

sin

i

( ps (X) ehi% cos r£(ц — X) dX —

^

П

a2/2 Z jsm

~

§ Ps W ehl%sin rt (t) — Я,) dX

(3.45)

<7; (Л) =

IA

(Ь) cos л(г) +

B t ф) sin г^]

+

-лщ

■

i

(3.46)

+

а2/2

( а д

+

Е

Р »

sin

/,

d q i (Т 1)

_

- Л ; Я

Ф) (cos Г£Г|—

77" sin г,-Tij —

dii

Л; ф) [sin rtx\+

cos /ут]

,

e~hW

Л2

р

(/

hi

+

“а2/2

-Й£Л

я2

v

sm

«яis „

2-ф

+

а2/2

s=l

1

V‘'Ср (/.

—

где

/х =

f ehiXsin

sin г,- (г| — Я,) с£Я,,

ь

в

/2 =

j

eA|* sinrt- (ti —

X,) dA,,

(3.47)

/3 =

j ehiXsin

cos r

(r] — A,) dX,

4

qt (т|) = е

hi{ri

Ь){? ( ф) [ cos г, (т] - b ) + - ^ ~

sin г( (г] — Ь)

+

1

dqi

(3.48)

+

dr| Л=6 Sin Г (л — ь)} ’

+

ф -

= -

г -“и'

ВjЧ, И sin г,(, -

6) (1 + -| -)

+

'7 T sin'‘i(n — Ч — c°s о (Л — ч ]} ■

Л

„ 2

„2

nihi cos

t3tfcos r{ (т] — b) x

mi — П1

X ehib — лД cos

— /пД- sin

sin r, (r) — 6) X

x еЛ/6 _]_ jjhHL _

п,г,) cos

sin г,- (т] — Ь) X

X

+

(m,r, -

sin -i^L

x

X еЛ/11— [ т /

1 -----sin

cos rt (t] —

,лгг>

fc) e

12 =

о ‘

j - 1г,еЛгТ1 — r / ib cos r( (ti —

b)

ftr +

'f

— htehibsin /у (ti — &)],

/» =

mi — nf

е^/пД sin

— ehibmihl sin

l

cos rt (ti — b) —

+

еЛ'Ь (-^ p - — nsi'] cos

inb

cos гг (tj — b)

+

+

ehib (т/ г — ^

- \

sin -^ p - sinr£ (tj — b)

h

=

1.2

,Vi

- hleh‘b cos гг (ti — b) +

rcehib sin r£ (t) — £»)],

I

(3.49)

_

, 2

,

/2я 2

.

2

2/'яг£

Щ = к - \

----- —

+

r£.

«i = — p - •

Положим ti

= /пт + т ,

6 =

/пт, n =

Ijx и введем следующие обо-

значения:

1

4?i

М (г,

/п) = <7,- (/пт),

iV (г, /п) =

----- -г---------

Т {

1Т|=тт

е (0

=

ехР \-

;4я2

£ \

s (i) — sm

рлгИ

,

12ЯГ,г

с (г) =

cos------—

\

2а2

Iяt

I

OV/Cал-

' 1

CAr/frап

Обозначим также

Рср и pscp

на участке /пт <

т) < ; /пт + т соот­

.

г'2лС

....

+ N (г, т) s (г)| +

М (г, т + 1) = е (г) | М (г, т) С (0 +

s (О

2агИ

Рт+1 (<2 - « 2)

i3n l

с (г) е (г) cos

+

~г2 [(г2 +

ос2)2 — 4 а 2('2^ ]

£2 — а2

я

£я (т -f-

1)

г/2я (г2 +

а 2)

s (г) е (i) sin

inm

-COS

2 а ( £ 2 — а 2)

п

i2

а 2)

г'ят

1Гч (г2 — а ‘‘

•s (г) е (t) cos—------|-

я

+

sin

in (т +

1)

■с (г) е (г) sin

/ят

+

я

]

[ l -----s (t) e (t) -

e (г) с (г)],

1 V

i n

( 3 . 5 0 )

Ps.m+l

Sin

S = 1

e (i) \

м (г,

JV (*, m + 1) =

—

m) s (i) - i -

+

l

rk

+

N (i, m)

S (t) — C (l)

+

2 a r i t

+

m + l (i2 — a 2)

ai2nt

■c (i) e

(t) sin

i2 [(t2 + a 2)2 — 4/2aV?^] \

ri£ (г2 — a2)

int (£2 +- a 2)

... ...

inm

ae(i')

mm

(-

-

'--s(i)e(t) cos — ------ C (l)

nr-2- cos

-

2r?s (i2 — a 2)

+ 2(;2~ .Г 2)

s (о* (osin

+

££2я а

in (m 4- 1) .

гц C2 -

a2)

Sin-----2— !— — +

2 (i2 — a 2)

+

a

in (m -+ 1)

+

e(i)s(i)

У

P s , m+l sm

ints

— cos---- 2— 1— -

pr~-r

4*4

‘ ь

S — 1

мосту можно принять схему, пока­

занную на рис. 36. Смещение цент­

ра тяжести

подрессоренного груза

массой Мп относительно

системы

■ О v_^

координат,

связанной

с

недефор-

X

мированной

рессорой,

обозначим д -

Я т}.77

7^7

2Дп (/). Перемещение центра тяжес­

_L

ти неподрессоренного груза отно­

сительно системы координат, свя­

занной с недоформированной бал-

Рис.

36.

<Рг

dz

^гдд

+ Сп (2д.п — 2д.г) — Р п. (3 .5 1 )

М п

Д -п

'Д -п

dt2

+ Г1! (■ dt

dt

W сРгд-г

и

( dZp~M

&я'г 1

с ("

■» ) — р

— Р (t)

— ^ 1 ---------- И- i l

dt

dt j

с п 1 г д.п

—

\l).

2д.п — 202in “Ь 2о2п»

2д.г

2021г “Ь 2о2г»

(3.53)

где

2Рг13

Zo ~

к1Е1

'

= Cng/PnV2,

= Cng / P rv\

Ип =

Иг = И1^/-РрУ-

- +

К (2п —

dz„_____ dzr

\

^

2г) +

Ип I dr]

dr|

/

(3.55)

d2zr

* /

ч

Ит

dzn

dzr

i

(^П

2г) ~

dr]

d-r)

У

за и балки отсутствует, то 20zlr

=

0,

z0zln = Р п/сп. Если учитывать

контактную деформацию [балки

а с,

то

z0zlr — а с = z0^x (1 + р)4,

2„Z|n = z02in + P J c n, где kx =

kPl/Zo, k,

q — коэффициенты Герца.

Для решения системы (3.55)

приведем ее к каноническому виду:

zn = y1e?-Ti, « =

2Г = у3е'-ч, ц = у4е^ч(

(3.57)

К ъ+

(*■ +

Рп) у2 — К

ъ

Рп?4— = о,

^Уз —

У4 =

0.

(3.58)

— Ary4 — ргу2 + /ггу3 +

(X+

рг) у4 = 0.

корни А4 =

Х2 =

0

и комплексно-сопряженные

Аз,4 = —

рп +

рг

-J- i

U

(Рп +

Рг)2

— h1 ± irlt

2

4

где

h, =

Рп +

Рг

2 *,2

= K

i = V ^ T .

2

T\ = k i ■ h i

9 3- 2925

129

■7 -

и0 =

----- А3е м

cos rxr\ -h sin rxr\) +

' 1

<1

\ ' 1

/

+

Л4е

-М I,

sm r1ri)

'IM! cos гхт] —

(3.60)

2г.о =

-агп,

—

Лх + Л2г) — А3ре~

'1 ’ cos

— Ахре

lT|sin /-jT),

■7 -

»о =

-7 - Л2 +

H3pe_AlT1

V м

cos л4г| +

sin ггт]) —

,

Г1

Г\

/

!

— Л4ре

—^

sin г4г) +

cos /ут] .

I

ri

/

гп.ч =

Е 1ч (тр + Е 2ч(г]),

1

_

1

1

d f 24

а,

aA,

d-r]rj ' ~ Ajа4

dr| ’

= f

1ч (л) — Р^2ч (Т1),

f =

dF 1ч

dF,2ч

dll

dr|

где

f 1ч (Л)

| е (Я)(т] — Я) Л ,

1 + Р

! dF 1ч

1

\ F (X) dX,

dr)

гх(1 +Р)

? 2ч(П)

1

F (X) sin rx (т] — k) dX, I (3.61)

М1 + Р)

1 dF,2ч

1

П

A .

f e-hJi\-V F {X) x

dr)

4 (1 +

P)

ri

b

4

X sin rx (t] — X) dX —

\ e -ftjri—X) F (X) cos r1 (t) — X) dX

4- 4, (b) ( A -

cos rxb + sin гхь) — zr (b) ( A - cos ryb + sin

Подставив значения постоянных в (3.60), получим

4г (л) = 4 (л) + 4 (Л).

1

dzn

_

1

dF1

1

dF2

гл1

dr\

/Гу

dri\~ +1

Гу

dr]

4 (11) = 4 (л) — /> 4 ( л).

1

dzr

1

dfx

d 4

dr)

rx

dr)

rx

dr]

где

4

i

dzr

,

dzn

T)=& (Л — 6).

4

(л)

P + 1 zr Ф) +

Pzn (&)

+

P ' dr]

1

dFy

1

dZp

i

dzrt

dr)

4

(p +

1)

\

dr)

+ p

dr) / Jri=b

-ft,(ri-b)

(b)]

X sin/4 (Л — b) +

4

(л) =

-

p + 1 — \[4 (&) — 4

+- cos rx (T) — b)

+

dzn

dzr

sin rt (r) —

b )

dr]

dr)

/ |n=6

X

(3.62)

1

dFt

A,(4-fr)

1

^

<*zn

dzr

X

4

dr)

p + 1

dr)

dr)

T)=6

9*

131