Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Обобщенная координата будет

qt (л) =		Л- Ф) cos kp\ +		В,: ф) sin ktx\+
	г1!	Р (X) sin		sin ki (г] — X) dX +
+ -Ц,
Pal
i			1 ps (X) sin kt (л — X) dX -+-
+	sin
S =	I	Ш	'n
	Г			1
+	У] s in -^ p - { pk (X)sinki (y] — X)dX\ .
k=l			ь	J
где pk = Pk/P0. Уравнение			движения массы с номером k анало

гично уравнению вертикальных перемещений подвижной массы,


следовательно, перемещение массы k			запишем в виде
	2д* (л) = z0zh (л),
zk (Л) = zk Ф) +	dzk	(л — &)		я2	(л — Ь)г	—
	dr)			4а2р/2
	2а2рР 1ь ръ М ^ — ^ d^
Условия равенства	перемещений		балки в точках alt			а2, ... , аг

ш вертикальных перемещений сосредоточенных масс, из которых

определяются силы	взаимодействия масс и балки, имеют вид
2д (Л. ак) — 2ДК (л) =	0 ( 6 = 1 , 2, ..., г).

Рассмотрим колебания балок с различными краевыми условия ми. Поперечные колебания балки постоянного сечения, нагружен

ной равномерно распределенной нагрузкой f (х , t),	описываются
уравнением
E l J £ r + Pp J W - = f ( x> о-	(3-15)

Переходя к безразмерным прогибам (3.2) и безразмерным коорди натам g = х/1, получаем

дЧ	EI	дЧ	f ( l , t)		(3.16)
дР +	рFP	д11 ~	рFz0	’

Решение этого уравнения находим по методу Крылова [30] в виде

M i, 0 =	2 <7п
	i= 1
причем каждый член суммы	удовлетворяет уравнению (3.15) и

граничным условиям (условиям закрепления концов балки). Поло

жив b2 = E I/pFP , получим выражение		для	свободных		колебаний
qn (t) Xt (\|)	qlx {t) Х Г (l)			= 0	(3.17)
или
'in (0	* tIV(i)		4
-Ь'ЧчО )	*t(5)	~	П	'

.112

Следовательно, уравнение (3.17) эквивалентно уравнению от носительно обобщенных координат

q n + b ^ q n =	0	(3.18)
и уравнению форм
X}w — r*tXt =	0.	(3.19)

Решением последнего уравнения является фундаментальная функция

X (|) = A sin г& + В cos г ^ + С sb r,-| + D ch r£g,

которая определяет форму изгибных колебаний по длине балки. Здесь А, В, С, D — произвольные постоянные, определяемые гра ничными условиями.

Условием существования фундаментальной функции, отлич ной от нуля, является равенство нулю храктеристического опре делителя, корни которого обозначены rt. Круговая частота соб

ственных поперечных	колебаний		балки	будет
	P t =	, 2	2 "I Г	EI
	P t =	b r i = r	t y
Из уравнения (3.18)	получим
qn =		А{ cos	- f Bi sin ptt.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид

со
z, = 2 (At cos pit + Bi sin p^) X t (l).	(3.20)
i=i

Характеристические уравнения и их корни для различных усло вий опирания концов, а также фундаментальные функции, ортонормированные в интервале z = zlt z = z2, приведены в табл. 19. Значения фундаментальных функций приведены к виду, удобному

при расчетах на ЭЦВМ.	Для			вынужденных колебаний		находим
частное решение неоднородого уравнения (3.16).
Представляем функцию	/.(£, 0 в виде ряда:
f i t , 9	=	2		H	i ( t ) X i ( t ) ,	(3.21)
где		t = l
где		z2			t) x (i)t d i
		J	/ (i,		t) x (i)t d i
^ ( 0	=	-	^	-------------------

j x\ (?) dl

Если фундаментальные функции ортонормированы, то

=t ) X c i l ) d l .

Частное решение так же, как и общее, ищем в виде

со
2,(6, 9 = 2 qiA t)X i{t).	(3.22)
i=i

8 3 - 2 9 2 5	113

Вид закрепления		*1	г%
конца		*1	г%
Свободен	Свободен	1	1
		2	2
Оперт	Оперт	—0	1
Заделан	Заделан	1	1
		2	2
Оперт	Заделан	0	1
Заделан	Свободен	1	1
		~~ т	т
Оперт	Свободен	0	1

Фундаментальные	Характеристи
функции	ческие уравнения

cos г/гi	,	ch г	*8 T	=	-	thT
cos г/г/2		ch rk/2	*8 T	=	-	thT
sin rk\		sh rk'
sin г/г/2		sh rk/2	t g Y = th T
У 2 sin rkl				sin	rk
cos r$,		ch	tg ^ = - t h ^
C O S Г/г/2		C h Г/г/2	tg ^ = - t h ^
sin /-*1		sh rkl
sin г/г/2		shrft/2
sin rkl		sh rkl	tg rk =			th rk
sin Г/г		sh Г/г
sin rkl		ch rkl	*« T	= c th ^
sin rk!2		ch Г/г!2	*« T	= c th ^
cos г/г%	,	sh r£.	tg r\|	=	- c t h j
cos г/г/2		sh Г/г/2	tg r\|	=	- c t h j
sin гУ	.	sh rkl	tg Tk =			th rk
sin Г/г		sh Г/г

Таблица 19

			Корни характеристических уравнений
		k	Первый	Второй	Асимптотическое
			Первый	Второй	значение
1,	3,	5, . . .	4,7300408	10,9956078	^ + ^ ( / , 4	5Ч
2,	4,	6, . . .	7,8532046	14,1371655	2fe + 1 Я (ft ^	61

1,	2,	3, . . .	Я	2я
1.	3,	5, . . .	4,7300408	10,9956078
2,	4,	6, . . .	7,8532046	14,1371655
1,	2,	3, . . .	3,9266023	7,0685828
1,	3,	5, . . .	1,875104	7,854757
2,	4,	6, . . .	4,694098	10,995541

	kn
2ft + 1	,,
—	я (ft > 5)

2ft + 1

2JL \,c ^

^K ( f t > 3 )

2ft — 1

— — я (ft > 5)

2ft — 1

— Y~ я (ft > 6)

1, 2, 3, . . . 3,9266023	7,0685828	^ ^ * Jln (J\IC^	O3)

Подставив в (3.16) разложения (3.21) и (3.22), получим

со со со

2	9 и Л + Ь* 2	qaX}w =	Нг<0	2		В Д .
;=1	(=1		Нг<0	1= 1
Использовав уравнение (3.19),		получим
СО	о+ p\qa (/)] х{© =			СО	Ht (t) Xt (g),
2 9/2[	о+ p\qa (/)] х{© =		Prz o	2	Ht (t) Xt (g),
t= l			Prz o	г= 1

что даст для определения обобщенной координаты уравнение

*4(2	,	2 ...		Ht (t)
d t *	+	Viqa	(г) =	pf 2o
d t *	'		V/ —	pf 2o

Поскольку для частного решения должны быть нулевые начальные

условия, решение	получим в		виде
		t
9/2	= -pFloPj - J		Hi (К) sin pi it — K ) dXi
	t	Z t
q* =	J	d k ^ f (g, О X, (g) sin Pi (t - X,) dg.
	0	Zj

Полное решение уравнения (3.16) определяется суммой общего

(3.20)	и частного (3.22) решений: z — гг +		z2. Записывая	qt вместо
9п и	qi2, находим
	9/ (0 =	Ai cos Р/(0 + Я; sin р i(i) +
	l	eg
	pFz0Pi ^ d li	j / (g, 0 X , (g) sin	(t — Xj) dg,	(3.23)
	0	oo
		oo
	*(g,	9 = 2 9( ()((£)•		(3.24)
		/=i

При подвижной нагрузке, переходя к переменной, характери

зующей положение груза				на балке г) = vi,			где v — скорость гру
за, получаем
	9/ (Л) =		А, (ту cos kti\ +			B t (т]0) sin kti\ +
			Ч	z2
+	oF zW		J dK 1 f &		^	® Sin k‘ (T1 “		(3 ‘25)
где kt = PJv\	0	1	4o	2,
где kt = PJv\	"По — начальное значение переменной тр При сосре
доточенной подвижной силе Р А функцию / (g, ц) задаем в виде
/ (g, т]) =	0	для	0 < х <		т) —	и	т] Н— \|- <	х < /,
Hi,		т)) =	Р	Для	Л	< х < т] -\|		»

т. е. полагаем, что подвижная нагрузка равномерно распределена на участке длиной е, а ее интенсивность р — Рд/е. Далее, пере ходя к пределу, при е -*■ 0, ре Ра получаем выражения для обобщенных координат (3.25).

115

Изгибно-крутильные колебания тонкостенных стержней, вызванные внецентренно приложенной подвижной нагрузкой

Уравнения изгибно-крутильных колебаний стержня имеют следую щий вид [50]:

E I

•р/,

д*г* I

0р

^Д

3 2 0 Д

дх*

‘ 1/sPF

aji

Яг (*> 0>

dx^dt'1

‘

Qt'i

а/3

<Э%,

а4бд

а20

(3.26)

— yfiP

•д

сЦ4

■GI.d

ах2

df2

— Р7Г.

а‘9д

rip/7

азе.д

= /Лл (*,

t).

‘ СО д х * д Р "

1 ' 1Г‘

а /2

Здесь г/5 — расстояние между

центром масс Ох и центром изгиба

О поперечного

сечения стержня

(рис. 34); Е , G —

модули упру

Г,

гости при растяжении и сдвиге; р —

плотность

материала

стержня;

G ld — жесткость

на

кручение;

fy-vt ^в

Ъ'т7

2Д(х, t) — поперечное перемещение

стержня

направлении

оси

9д

(* .

0 —

угловое

перемещение

относительно

центра

изгиба;

—

время,

отсчет

которого

ведется

с момента входа груза на стержень;

C*i

Т7 I p j F ,

I y t I p

со "

соответ-

ственно осевой,

полярный и сектор

ный моменты

инерции.

Решение уравнений (3.26) нахо

□

дим при начальных условиях,соот

ветствующих стержню, неподвиж

ному в момент входа груза,

и крае

вых условиях, отвечающих выбран

Ув

ному виду закрепления концов.

Уг

Для стержня с шарнирным опира-

нием и отсутствием угловых переме

Рис.

34.

щений по краям прогибы и угловые

перемещения можно искать

виде

2д (х,

t) =

z0 2

(0 Sin

Z0z (X,

t),

(3.27)

i*=1

9д (х,

е0У ] q2i (t) sin

e0e (x, t).

Здесь

i=\

2p„p

Q _ Pnyql

0 ~

n4£/j, ’

1 5 7 7

116

где yq — расстояние центра приложения нагрузки от центра изгиба. Правые части уравнений (3.26) также представляем в ви де рядов:

Яг (х,	t ) = V 1	Hi (0sin -7^ •
	1= 1	(3.28)
		(3.28)
тА (*,	t) = Y,	L i (0 sin -
	i=i

Подставляя разложения (3.27) и (3.28) в (3.26), в силу ортого нальности координатных функций приходим к системе уравнений относительно обобщенных координат:

d*Qu

kiztfU

■х,

Hi (ip

dtf

dr]2

pFz0v2af

(3.29)

d%i

Pf (4)

"T Kidi]2i

dr]2

Л0 ■

dr]2

p/p60u2b?

( * = 1 ,

. . . ),

vt,

v — скорость

движения массы

В 1

:ении (

Kiz

;2я

inc{

f/s^o

x9 =

У$Нгп

а/а,-

aelbt

Л2

0о

8a2r?

— —F

di =

/vi2Ji2

bf =

/„г2л2

1 +

i2jr2£/ft

1 + •

14D

c f =

~ Ш 7

‘

а также введены безразмерные параметры

Рр_

ав =

v ]/"- 9h_

(3.30)

РА (t),

El и

GId

Для

силы

движущейся

по

стержню

со

скоростью V,

/г\

2РД (0

•

t’Jttrf

Я,- (7) =

—

sin ■

(t) =

(t) yq

и уравнения

(3.29) примут вид

^29н

■X

d292«

п2Р (л')

гяг]

drf

kizQii

dr]2

- sin—4

а 2 /2a?

(3.31)

d3?2t

* 4 и

1ЯТ]

8 P

(Л )

sin

(X =

... ).

drj

dr]2

При совпадении центра масс с центром изгиба поперечного сечения ys — 0 и Хг = Х0 = 0. Система (3.29) распадается на две формально несвязанные группы уравнений, описывающие изгибные и крутильные колебания. Однако их связь осуществляется

117

через правые части, поскольку сила динамического взаимодейст вия массы и стержня Р (г)) включает в себя как составляющую силы веса груза, так и переменную составляющую, пропорциональную ускорению стержня под грузом. Последнее представляет собой сумму ускорения поперечных колебаний вместе с центром изгиба и ускорения при крутильных колебаниях относительно центра изгиба. Инерция поворота учтена параметром a t, депланация по перечного сечения при кручении — параметрами bt, cv Прене брегая указанными факторами, получаем at = bt = cl — 1.

Решение системы (3.31) имеет вид

qu (rj) =	Ay (b) cos ki2v\+		By (b) sinfcizT] +
	Л
+	j P M sin		sin kt* (Л — *-) dX’
q2l (r\|) =	b				(3.32)
	A% (b) cos kiQT) +		B2i (b) sin kiQif\+
	■n
+ - щ ^ & г $ p w sin - T ^ sin k«• ^					dX’
где Ac, B t — произвольные		постоянные,		определяемые при усло
вии, что для г) = b заданы		обобщенные		координаты и обобщенные

скорости. Траектория груза в плоскости его движения определяется системой двух дифференциальных уравнений

= Р0- Р Д '

где Р0 — вес груза; F — сумма сил тяги и сопротивления; Р д — динамическая реакция поверхности стержня; гд.г— вертикаль ное перемещение груза. Перемещение груза в направлении оси х происходит с заданной скоростью V. Из второго уравнения полу чаем значение динамического коэффициента вертикального переме щения груза в функции динамической реакции:

			dzT		(rj — Ь) +
		2Г (л) = zr Ф) + dr)		т)=Ь	(rj — Ь) +
				т)=Ь
+		Jt2			(3.33)
+	4/2а 2£		"	ь	(3.33)
	4/2а 2£
		р = P0/Fplg.
где zr = 2д г/г0,		р = P0/Fplg.			контактной силы Рд мо
Неизвестное		значение динамической			контактной силы Рд мо

жет быть найдено из нелинейного интегрального уравнения, пред ставляющего собой условие совместности динамических деформа ций в месте контакта:

	2д.г (0 — гд.п (х, t) — zh(х, t) =		а с (х,	t),	(3.34)
где	а с = k [Рд (t)]q — контактное	сближение		груза	и стерж
ня	согласно обобщенной теории	Герца	(k и q — коэффициенты,

118

определяемые экспериментально); zH— профиль неровности в кон

тактирующей кинематической паре;	гдг определяется из выражения
(3.33); 2д.п = 2Д + 0дг/9. Значения	гд, 0Д находятся в зависимости

от обобщенных координат (3.32) с учетом (3.27).

Для численного решения интегрального уравнения (3.34) раз

биваем	интервал,		соответствующий				времени		прохождения груза
по пролету, на п равных участков длиной т =									//я. Полагаем неиз
вестную	динамическую			реакцию		постоянной			в пределах участка
Р л (П) =	Р т_\|]	при ягт <		г; <	ягт +		т. Выносим за знак интегра
ла постоянное		на	участке значение				силы и вычисляем			интегралы
в выражениях (3.32), (3.33). Принимаем								Ъ =	тх, а т] =	тх + х и
вводим	обозначения
			М2(г, т) = q u {тх),
			N*V>m')=		ktz		dlhi
			N*V>m')=		ktz		а ,	т]=тт
			7Ие (г,	т) = q2i (тх),
			NB (г,	т)	1		d%i			(3.35)
			NB (г,	т)	km		dr)	r)=mx
					km		dr)	r)=mx
			Q (т) = zr {тх),
			R {m)		dzr
			R {m)		dr\	r \ = m x
					dr\	r \ = m x

Далее, подобно тому, как это сделано выше, получим рекуррент

ные формулы								-
М2(г, т + 1) = Мг (г, т) cz (г) + Nz (г, т) sz (г) +
+	т+1	sm		in (т +		1)	ащ sz (г) cos	mm
i2 (t2 — a*af)							i	п
				i.ч .		131/71	■
			— С* (О sin —				■
Nz (г, яг + 1) = ЛД (г, яг) с2 (г) — М2 (г, яг) s2 (г) +
	т+ 1		аа,-		ш (m +		1)
i2 (i2 — а2а?)			—-L-Cos----------5— -
i2 (i2 — а2а?)			I			п
аAUл ,г			inm
-7— Сг (О COS'			п	+	s2 (0 sin-
MB {i,	т +	1) =	Me {i,		m) cB (/) + ЛД (г, яг) se (г) +

8m+1

^i2(c2 _ a 9b2)

*еиг- Sg (/) cos

C i

“ ' '

ЛД (г, m - f 1) =

sm- in (m -(- 1)

■cB (г) sin	n	(3.36)
'

(г, m) c0 (г) — M e (г, яг) s9 (г) +

119

т-\-\	cos	г'я (m - f 1)
-------	cos	------ ------- -

+я 2 <*“( с ? - а § Ь * )

а вЬ‘	/-v		inm , „		/л •	mm
------ —	Cfl (0 cos —----- L Se			(г) sin ——
Q (m +	1) =	Q (m) + R (m) +			4аа[5гг2 ■(1 — Pm+1).
P (m + 1) — R (m ) H 2а2ря2 ^
где			ГЯ				г'2я
cz (i) =		cos	ГЯ		sz (i) =	sin ■	г'2я
			а гщ			ana;
c0 (i) =		cos	mc{		Sfi(0 = sin

Отметим, что уравнения (3.32) являются решением задачи об изгибно-крутильных колебаниях стержня под действием постоян ной движущейся силы. Полагая Ъ — 0, А (0) = В (0) = 0 и при нимая во внимание разложения (3.27), получаем прогибы и угло вые перемещения стержня под действием силы Р0:

	/	-А				intif	. г'ях
»<■		' 1 -	1 ®	I - J 7	J	Sin ---:--- Sin ----- —
				1=1	(г2 — a 2a?)
				аа.1	г‘2яи^ . гях
			г3 (г2 — <х2аф		Sin--- :--- sin—r—
			г3 (г2 — <х2аф			cdai
0	(x	f) —	2Р«Уч1	lb		г'яо? . гях
°	Д		GIdtf	lb		Sin--- :	Sin—:
				г=1
		00
		_ V		a e bi	■Sin-	гяс(у/ sin-
			«<(?-«§&?)			a^lbi
			«<(?-«§&?)

Возвратимся к задаче о воздействии подвижной массы. Не оста навливаясь на влиянии неровностей и контактных деформаций,

положим в уравнении совместности (3.34)				zH= а с =		0.	Тогда ус
ловие совместности примет		вид
2д.г On) =		2д (ц, Г)) +	0д (Ц,	щ) yq
или
2Г (Т)) = 2 (т), Т]) + уч			0 (Т1, ц).
Окончательно, на основании (3.27) и (3.35), получим
Q (т 1) = 2	Mz (г, т +		1) sin	г'я (т +	1)	+
г=1
)2 гг*г/А	«
)2 гг*г/А	00			. ш (m +		I)	(3.37)
я	^			. ш (m +		I)	(3.37)
+
		в{1' т + 1 ) 5 Ш			я

120

Вычислительный процесс строится следующим образом. Пред полагая, что в момент входа груза стержень находится в покое,


находим М (i, 0) = N (i, 0) = Q (0) =	R (0) =		0. Далее, из (3.37)
определяем неизвестную при 0 < г) <	т силу		Ръ затем из рекур
рентных формул (3.36) — значения М (г, 1), N (г,				1),	Q (1),	R (1).
После этого из (3.37) определяем Р2 при т -< л < ;				2т.	Далее расчет
проводится аналогично до конца интервала			т] =		пт — I.	Если
полученное из (3.37) значение Pm+i <	0,	что	свидетельствует об
отрыве груза от стержня, полагаем в (3.36)		Р т+\= 0			(т. е. рассма

триваем свободные колебания стержня и свободный полет груза) и ведем расчет дальше по формулам (3.36) и (3.37). Если полученное для очередного шага из (3.37) значение Р к > 0, значит груз вер нулся на стержень.

Прогибы и угловые перемещения на каждом шаге определяются выражениями

2Д(х, тт + т) = z0 2 M z (г, m + 1) s i n - ^ - .

i= 1	1
о
0Д(х, mx + т) = 0О2 Me (г, m	1) sin m.x .
i= i	L

Нормальные и касательные напряжения определяются согласно данным, приведенным в работе [50]:

<*ях (х, у, z, t) = E

(5 2 2 д (X, t)	,
дх2	1\ ’

Тд2Х (х, у, z, t) = G

ух(х, у, z, i) = Q

3 20д (х, t)

дх2

<Э0д (х , 0

дх

<Э0д (X , t )

дх

ф (У,	г) —
дф (у,	г)		} (3.38)
		+	У1
дг

ду (у, Z)			ггJ > ;
ду

где ось х совпадает с упругой осью стержня, начало осей у и г лежит на упругой оси. Начало координат zyy^ расположено в цент

ре изгиба	сечения. Соотношения между координатами будут у1 —
= у — ys,	zl— z — zs,	где ys,	zs — координаты центра изгиба
в системе	координат у,	z; ф (у,	z) — функция кручения, задавае

мая обычно в виде многочлена относительно двух переменных [50]. Для тонкостенных стержней открытого профиля функция кручения может быть отождествлена с секторной площадью.

Переходя к (3.27) и (3.35), получаем значения напряжений при ■Л = /пт + т. Выражение для нормального напряжения в крайнем

волокне имеет вид
Од (х, у,	л) = о0	Уд	ф(У. Z)	X
Од (х, у,	л) = о0	а 2 гшах		X
		а 2 гшах

121

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ