Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

где

12 ЗТ	* /2 ЗТ	l
c (0 = c°s —	, s(») = sm — ,	n = — •

Условие совместности динамических перемещений под грузом (2.85) принимает вид

Q {m + 1) — М (i, т + 1) sin	in (т + 1)	■2H(т% + т) —
i=l
■kxPm+\ +	Zlr = О,	(2.94)

где

kpl

К— Zlг

Решая нелинейное уравнение относительно Р т+и получаем значения неизвестных сил давления на каждом шаге. Если значе ния Рт.|i •< 0, что свидетельствует об отрыве груза, при подсчете (2.93) для следующего шага полагаем P m+i = 0. Прогибы на каждом шаге определяются рядом

оо

2	* inx
2	М (i , т -(- l) s in - y - .
1=1

Нормальные напряжения находятся из ряда, полученного дву кратным дифференцированием выражения прогибов

со

а{х, тт, + т) =	^ г2М (г, т	1) sin	•
	г=1
Динамические прогибы и напряжения
при учете контактных деформаций
и малых неровностей
Приведем примеры численных расчетов. На рис. 19			показаны кон
тактные усилия, действующие на стальную балку размером 0,02 X
X 0,02 X 2 м (Е = 2,1 • 1011 нм~2, р = 7,8 • 103			кгмГ3) при ка
чении по ней стального шара радиусом 0,05		м (р =	8,1	• 103 кгм~3)
со скоростями 10,20 и 30 м/сек. Результаты		получены		в предполо

жении, что контактное сближение шара и балки определяется по закону Герца. Из рисунка видно, что при скорости движения v =

=	20 м!сек в точке	хг = 1,84 м происходит	отрыв груза от бал
ки,	тогда как при	v — 10 м/сек контакт	сохраняется по всей

длине балки. Увеличение скорости движения сопровождается уве личением максимумов контактных усилий и смещением их к пра вому краю по ходу движения. Инерция движущейся массы ока

зывает существенное влияние. Так, при v = 30 м/сек максималь ное значение контактного усилия почти в шесть раз превосходит

силу веса. Однако, поскольку максимум достигается вблизи пра вой опоры, увеличение контактной силы в большей мере оказывает влияние на износ контактирующих поверхностей и в меньшей мере на прогибы и изгибные напряжения. Кривые прогибов и напряже ний в сечении под грузом, воз


никающие при скоростях движе			Pg'WU
ния 10 и 20 м/сек,		показаны на	2 ,4
рис. 20, где видно,		что с увели
чением скорости движения про
гибы и напряжения возрастают			1,6		И
и их максимумы смещаются по					И
ходу движения.					ж
ходу движения.
Для оценки влияния отноше			0,8		2о\
ния массы шара к		массе балки	■---"■		2о\
на положение точек отрыва ра			■---"■
на положение точек отрыва ра					v=10
диус шара увеличиваем до 0,06 м.			0 ___ ;\|	Г"	v=10
диус шара увеличиваем до 0,06 м.			0 ___ ;\|	Г"	\v=w \ \ ч?
Тогда,	как и для шара радиусом		1	0,8	Ьв
0,05 м,	при v — 20 м/сек нару-			рис	jg

шается контакт шара и балки.

Точка отрыва смещается вправо и удаляется от левого конца бал ки на 1,9 м. При этом максимальное значение контактного усилия возрастает до 229 Я , что почти в два раза превышает максимальное значение для шара радиусом 0,05 м.

Изгибные напряжения в сечении под грузом для скоростей дви жения 10 и 20 м/сек показаны сплошными линиями на рис. 21. Штриховые линии соответствуют движению по балке силы, величи на которой равна силе веса шара. Видно, что инерция движущейся массы влияет как на величину изгибных напряжений, так и на положение их максимумов по длине балки.

В табл. 13 для сравнения приведены коэффициенты динамичности при односторонней с учетом контактного сближения (в числителе) и двухсторонней (в знаменателе) связи балки и груза, движущегося

с постоянной скоростью.
Рассмотрен шар радиусом 0,05 м,	движущийся	со скоростью
20 м/сек. Коэффициенты динамичности	по силе kP,	прогибам kz

и напряжениям под грузом ka вычислялись для различных сече ний по формулам

,	Яд	и	п*Е1	и	41F	„
к р -	Ти7 ’	* ~	2P M g 2д’	6	Afgi	Стд>

где до — масса груза; Рд — контактная сила; W — момент сопро тивления поперечного сечения балки.

До точки отрыва (до = 1,84 м) различия между соответствую щими коэффициентами динамичности для случаев односторонней и двусторонней связи балки с грузом несущественны. Это значит,

						Т а б л и ц а 13
Х\, м	kp	kz	kg	Xt, м	kP	kz	kg
0,20	0,79	0,04	0,22	1,60	2,44	1,38	1,89
	0,81	0,04	0,22		2,47	1,38	1,90

0,40	0,78	0,16	0,38	1,80	0,93	0,61	0,72
	0,80	0,16	0,39		0,87	0,60	0,71

0,60	0,62	0,40	0,46	1,84	0	0,42	0,31
	0,63	0,39	0,45		—0,09	0,41	0,31

0,80	0,85	'0,78	0,82	1,88	0	0,27	0,16
	0,88	0,76	0,80		— 1,12	0,25	—0,05

1,00	0,91	1,16	1,08	1,92	0	0,15	0,07
	0,93	1,16	1,08		—2,19	0,13	—0,24

1,20	1,54	1,50	1,52	1,96	0	0,06	0,04
	1,50	1,50	1,51		—0,71	0,05	—0,04

1,40	1.76	1,62	1,76	2,00	0	0	0
	1,79	1.62	1.76		—0,33	0	0

что в пределах рассмотренной точности положение точки отрыва не зависит от коэффициентов k и q, определяющих контактное сближе ние, т. е. условия контакта точки почти не влияют на вертикаль ную силу взаимодействия балки и груза, движущегося с постоян ной скоростью. После точки отрыва в случае двусторонней связи сила динамического давления становится отрицательной. Однако неучет возможности отрыва груза в этом случае незначительно влияет на напряженно-деформированное состояние балки, по скольку точка отрыва находится у правого края, вблизи жесткой опоры. Поскольку, как показано выше, в выборе k и q может быть допущен определенный произвол (при изучении движения груза по балке без неровностей), значения этих коэффициентов могут быть выбраны ориентировочно, например на основе теории Герца для случая контакта неподвижных тел.

На рис. 22 приведены кривые контактных усилий Р л и на пряжений изгиба стд в сечении под грузом, возникающих при не равномерном движении шара по балке (радиус шара 0,05 м, скорость движения 20 м/сек). Сплошные линии соответствуют

равноускоренному движению с ускорением 40 м/сек2, штриховые

— равнозамедленному (ускорение 40 м/сек1).

Ускоренное движение в данном случае характеризуется более высокими значениями наибольших контактных усилий и напря жений под грузом по сравнению с равнозамедленным и равномерным движениями. При этом осно вой для сравнения является одинаковая средняя скорость в пролете. Отрыв груза от бал ки наблюдается как при рав номерном, так и при равнопе ременном движении.

В табл. 14 приведены мак симальные расчетные величи ны коэффициентов динамич ности по силе kP, прогибам под грузом kz и напряжениям под грузом k„, найденные при учете отрыва груза (в числи теле) и при наличии двусторон ней связи груза и балки без

учета контактного сближения тел по Герцу (в знаменателе), а так же указаны скорости входа груза на балку v и схода его с балки vv Для каждого коэффициента приведена координата х положения

груза, при котором достигается наибольший в							пролете	динамиче
ский	коэффициент,		а также	координата		точки	отрыва	груза	хотр.
							Т а б л и ц а		14
V , м / с е к	v v м / с е к	k P	X , м	k z	Ху м	k G	X, м	*отр
20	20	2,44	1,60	1,62	1,40	1,89	1,60	1,84
		2,47	1,60	1,62	1,40	1,90	1,60	1,84

5	15	1,20	1,44	1,14	1,11	1,08	1,29	—
		1,49	1,46	1,14	1,16	1,14	1,24	—

15	5	1,39	1,12	1,60	1,09	1,49	1,12	_
		1,42	1,07	1,51	1,05	1,45	1,06

5	35	5,20	1,86	1,45	1,40	1,99	1,70	1,95
		2,98	1,73	1,43	1,25	1,59	1,51	1,90

Из данных таблицы следует, что при постоянной скорости дви жения шара, а также сравнительно небольших ускорениях можно не принимать в расчет контактные деформации и вычисление проги бов и напряжений проводить без учета отрыва груза. Однако при значительных ускорениях следует принимать в расчет как контакт ные деформации, так и возможность отрыва груза.

Для исследования влияния малой неровности поверхности бал ки на процесс движения проведен расчет колебаний более корот-

кой балки 0,02 X 0,02 X 0,5 м. Скорость перемещения шара вы брана постоянной, равной 10 м/сек.

Функция zH(х) (2.85) принималась в виде

( ± 5	• К Г 4 sin-g-	м	при 0,1	< 0 ,4 ж,
= \|		’	м,
[О	при х < 0 , 1	и х > 0 , 4	м,

•где положительные значения г соответствуют вогнутой, а отри цательные — выпуклой неровности. Вследствие малой глубины не ровности изгибная жесткость и погонная масса балки могут быть приняты постоянными по длине.

На рис. 23, а показаны кривые контактных усилий Р д и напря жений Од в сечении под грузом, соответствующие движению шара

по балке с выпуклой неровностью, и кривые Р и о , полученные для балки без неровностей. На рис. 23, б приведены величины Р д и Од, соответствующие движению шара по балке с вогнутой неров ностью.

Сопоставление результатов свидетельствует о существенном раз личии процессов движения по балке с неровностью и без нее. На личие неровности приводит к весьма неравномерному распределе нию силы контакта по длине балки и повышает уровень изгибных напряжений. Движущийся шар, достигнув неровности, начинает стучать по поверхности балки. Это может вызвать повышенный износ контактирующих поверхностей, поскольку максимальные зна чения усилия удара значительно превосходят значения Р. Расчет процесса движения шара по балке с неровностью без учета кон тактных деформаций (k = 0) показал, что результаты вычислений существенно зависят от значений коэффициентов k и q, которые для различных поверхностей соприкасающихся тел могут быть определены по формулам, приведенным в работе [39].

Г л а в а т р е т ь я

ДИНАМИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА КОНСТРУКЦИИ

Колебания многопролетных балок, лежащих на промежуточных упругих опорах

Рассмотрим случай движения сосредоточенного подвижного груза по многопролетной неразрезной балке. Могут быть использованы промежуточные жесткие или упругие опоры, в том числе и нели нейно-упругие. В случае постоянного поперечного сечения балки уравнение ее колебаний имеет следующий вид (рис. 24):

	E I	дх*		РF-		дР = Р д х,		t) 8(х — vt) -f-
				s=1			=	<7(*. t),		(3.1)
				s=1
где Рд — сила		давления			движущегося			груза; Ps — реакции		про
межуточных	опор;			б — дельта-функция.				Находим решение в		виде
гд (х,	t)	=	z0z (х,		t),	(3.2)	1	с2_______
где				2PJ*			Т	4 ,	4 57	^
							Т	i J .

	z°		п*Е1
	z°		п*Е1
г (х, 0 =		2	V» (0 sin			мх		Рис.	24.
	/=1

Разлагаем правую часть уравнения (3.1) в ряд по фундаментальным функциям. Если принять нагрузку интенсивностью р распределен ной на малом участке длиной К, получим

<? =	0	при	0 < х < и / ------Y	’
q =	p	при	%	%
q =	p	при	v t ----- g- < x < v t	+ - у	>
а также
<7 =	0	при	\|s + - ^ < x < ^ s+i — -у -,
q =	psi	при	ts -----y - < * < £ s + 4 r		,
			s = 1, 2, . , . ,	j,

де / — число промежуточных упругих опор.

7 3 -2925

Коэффициенты

разложения

q(x,

t) =

2d H i (t)sm

(3.3)

имеют вид

i=1

ЕЧЛ

vl+-,

н, «>=4 1

psin

ire* .

Psi sin — j— ax =

- Т

5=11 -A

4 p

1'яА, .

intrf

•

.tugs-.

itXiKiq

- 4 - Sin —H7— Sin —;---

____

у n . cm ____21

iPs\ Sin—

S = 1

Полагая

для

сосредоточенных сил

рХ ->

Рл, psiXs -> P s,

получаем

2Рд

•

iaitrf

•

~Гд

(*) =

- р - sm — г -

sin •

2 i p s si

S = 1

Переходя к обобщенным координатам, т. е. подставляя в (3.1)

разложения

(3.2)

(3.3),

принимая

ц =

vt, где

v —

скорость

движения

груза,

находим

d?qj (т|)

EJtTl

" V

\ •

t3 T £ s

dr)2

(-п)

аЧг

Р (т]) sin - r-

P s (Л) sin —l

где

s= l

P =

Рд/Р 0,

ps =

P JP 0,

a =

vl/n V Fp/EI, kt

i2n/al.

Обобщенные координаты и обобщенные скорости запишем в виде

наложения общего и частного решений:

Qt (Л = А Ф) cos k(r\+ В{ Цз) sin kcr\+

Pal

izih

X) dX +

P (X) sin —— sin kt (tj —

sin - ^

r .( p* м

sin ki f t — ^

(3.4)

S = 1

- At ^

sin k{C[ +

Bl ^

cos

i2al

J P (X) sin

cos kt (tj — X) dX +

sin

i Ps (A.) cos kL(TJ — X) dX

S — 1

Произвольные постоянные определяются							при условии,	что для
г\ = b заданы обобщенные координаты и обобщенные скорости:
	Al (b) =		7<(ц) cos ktb ■		1	dqt
	Al (b) =		7<(ц) cos ktb ■				-— sin kfi,
					&i с(т)г\|=й
	Вi (b) =		qt Сп) sin k[b +		-jr	dqi
	Вi (b) =		qt Сп) sin k[b +		-jr		cos
Подставив	значения		постоянных	в	(3.4),		получим общее	решение
в виде
qt (л) =		<?i Ф) cos kt (ti — Ь) +					sin kt (ч — Ь),
i k	= ~	q‘ {b) sin М л -		&) + i r		1	^ 7 cos k‘

Вертикальная составляющая траектории груза может быть найдена из уравнения

		A	d2z«r	= р _	р (t)
		s	dfi	0		д у	h
где Р д — динамическая реакция балки,						равная силе давления дви
жущегося груза.
Приняв	2д.г = г„	(zir + zr),		где z0zir — перемещение груза под
действием	силы веса	Р 0;	z0zF— динамическое перемещение					груза,
получим
	2г ( л ) = 2Р (Ь ) +			<4,=»		(Т\| — Ь) +
				<4,=»
	+ W	<		ч2а2(5/2 г		«	( ч - ч	(3.6)
				О
	( л - Ь ) ^ - = ( л - Ь ) ^						л=г> +
	+ 2а2р/2 ^			- (ri — Ь) ) Р (X,) dA,,
	+ 2а2р/2 ^			2а2р/
где
			В =	- А _
			Н	Fplg

Разбиваем интервал, соответствующий времени прохождения груза по балке, на п участков длиной т = l/п. Полагаем, что неиз вестная динамическая реакция балки и реакции промежуточных

опор постоянны	в пределах		участка	0 < т т < ; л < 1 / и 'г + т < С/
и равны Р (т)) =	Р т.\|_ь	p s (т])	= p s , m +	1- Вводим обозначения
М (I,	т) =	qt (тт),		d q t
М (I,	т) =	qt (тт),	N (г, m) = -jr		(3.7)
				Т ) = т х	(3.7)
				Т ) = т х
Q (т) = 2Г (тх),				Ч
				ц — т х

CD со

В выражениях (3.4) и (3.6) выносим за знак интеграла постоян

ные в пределах участка	значения	Р т+\ и p s,m+ ь Выполнив инте
грирование и положив b	= тх, г] =	тх + т, с учетом обозначений

(3.7) из (3.4) — (3.6) получим рекуррентные формулы, связываю

щие значения

обобщенных

координат

вертикальных перемеще

ний груза в начале и в конце участка:

М (i,

т +

1) =

М (г,

т) с (г) -f- N (г,

т) s (г) +

Р т + 1

sin

in (от 4-

mm ,..

“Г <2 ((2 — w2)

sin— — с (г)

tzim

/«\

1 — c (t)

i n i s

—

cos------- s (i)

Ps,m+ 1 SUl

S = 1

N (i,

m +

1) =

N (i,

m) с (г) — M (г,

m) s (г) -f

m+1

их (от +

mm ... .

(3.8)

—

COS-------1---- 1— —

~ T

cos — 7,—

c (0 +

J>-2 /,-2-- a2)

. .

inm

, .v

s (0 V 1

•

inis

+ sin — -— s (г)

+ —

p r - 2 j

P s . m

+ l S i n

—

s= l

Q (m +

1) =

Q(m) + R(m) +

4a^ a

(1 — Pm+i),

R (m +

1) =

R (m) +

2a^

(1 — Pm+0,

где

i2n

г2я

c (i) — cos

are

’

s (г) =

sin

are

n =

Если многопролетная неразрезная балка имеет нелинейные упру гие опоры типа Дуффинга, их реакции записываются в виде P s (t) —

— CsiZA(t,

— cs2z® (t,

У , где cs\ и cs2 — коэффициенты упру

гости

опоры

номером s.

Вводим относительные коэффициенты упругости опор:

cslzo

cs2z0

^Sl —

’

^s2 —

r o

Переходя

безразмерным

величинам,

получаем

ps (г))

— CsiZ (г),

— Cs2z3 (т], у ,

а на

участке тх < т] <

тх +

Ps,m + 1 =

—

C slZm+I (|s) —

C S2Zm+\ ( У ,

(3 .9 )

где

zm+1 ( у

— среднее

в участке значение

прогиба на опоре.

Для определения неизвестных Р т+1

zm+1 (У

запишем усло

вия совместности деформаций под грузом и на опорах:

2д.г (п) — 2 Д (л .

11) —

20zri ( п) —

« с (4 ) =

0 .

2д Сп>

z0zm-i-i ( у

(s = 1, 2,

.. .,

тх <

г] <

тх +

т),

100

где z0zH— неровность			балки;		а с — контактное			сближение груза
и балки. Используя (3.7) и (3.8), получаем
Q (т +	1) — Yi М (i,				т +	1) sin	ст	------
			*=1
	— 2Н(тт + т) — &iPm+l +						21г = 0,		(3.10)
2	Л1 (г,		т +	1) sin		_ 2m+1 ( у		= 0
i = l					1
		(s = 1,		2, . . . , j,		zlr =	k1),
где 1гъ q — безразмерные				коэффициенты,			определяющие		контакт
ное сближение груза и балки согласно теории Герца. Заметим,										что
в выражениях (3.8)			значение		p s,m+\ для		нелинейных		опор	сле
дует брать из (3.9).		Для линейно-упругих					опор
			P s ,m + 1 =		— C s lZ m + l (5s)-				(3.11)
Большие значения		коэффициентов С$1 соответствуют случаю балок

с жесткими опорами. Аналогично могут быть рассмотрены и дру гие виды нелинейных опор, задаваемые выражениями типа (3.9).

Коэффициенты динамичности многопролетных балок

Подставив в систему		(3.10) значения Q (т + 1) и	М (т 4- 1) из
(3.8),	с учетом (3.9)	или (3.11) получим систему нелинейных урав
нений	относительно	неизвестных Р т+\, zm+1 (5S).	Нелинейность

вызвана учетом контактного сближения согласно обобщенному за кону Герца колеса и рельса железнодорожного вагона, а также нелинейной жесткостью опор.

Не останавливаясь на влиянии контактных деформаций и малых неровностей, рассмотренных в предыдущей главе, исследуем влия ние нелинейных упругих опор.

Т аб л и ц а 15

/	а	3
1	а,	Pi
2	1.5а,	0. (6) р,
3	2а,	0,5(1,
4	2,5а,	0,4(5,
5	За,	0.(3) р,

Сч si

с 1

°sl

3.375С*,

? X 00

15,625с*,

2?С*,

c s2 zi a i

С1	Z	а
c s2
38,44С*2	3,3752	l,5o
5120*2	8z	2о
3815С*2	15,6252	2,5о
19 680С*2	272	За

Система нелинейных алгебраических уравнений (3.10) решалась по методу Ньютона. При т = 0 начальное приближение для всех

101

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ