книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

Д о к а з а т е л ь с т в о .

П ри к а ж д о м ф и к с и р о в а н н о м

j

н е о с о б о ы с»- р е а л и з а ц и я к в а з и э л л и п т и ч н а п р и л ю б о м s - э т о

с л е д у е т и з т е о р е м ы о р е г у л я р н о с т и р е ш е н и я к в а э и э л л и п т и ч е с к о г о

,

у р а в н е н и я .

Д а л е е п о с к о л ь к у о с о б ы е т о ч к и

о б р а з у ю т н е к о т о р о е и з о - ;

( д л я с л у ч а я п о с т о я н н ы х п о в р е м е н и к о э ф ф и ц и е н т о в ) и н о р м а л ь н а я

і

р а з р е ш и м о с т ь ( в о б щ ем с л у ч а е ) в т о м и л и и н о м п р о с т р а н с т в е

.

с у щ е с т в е н н о з а в и с и т о т р а с п о л о ж е н и я п о л ю с о в м е р о м о р ф н о г о с е м е й - і

с т в а о п е р а т о р о в .

Т е о р е м а І . І , ' к о т о р а я у с т а н а в л и в а е т м е р о м о р ф н у ю о б р а т и ­

м о с т ь а н а л и т и ч е с к о г о с е м е й с т в а ф р е д г о л ь м о в ы х о п е р а т о р о в , н е

д а е т , о д н а к о , у д о б н о г о с п о с о б а в ы ч и с л е н и я п о л ю с о в о б р а т н о г о

с е м е й с т в а . П о э т о м у п р е д с т а в л я е т б о л ь ш о й и н т е р е с ( к а ч е с т в е н н о е ) f

и с с л е д о в а н и е р а с п о л о ж е н и ю п о л ю с о в о б р а т н о г о с е м е й с т в а .

j

( ш а е т с я д о к о н ц а ,в

д р у г и х с л у ч а я х ( н а п р и м е р ,д л я п а р а б о л и ч е с к и х o n e * ,

• 'р а т о р о в ) у д а е т с я п о л у ч и т ь о ц е н к и .

'l

I . О д н а л е м м а т е о р и и в о з м у щ е н и й .

Л е м м а

1 . 2 . П у с т ь

К

У : H J Ö O - » И , . » , ' W

с е м е й с т в о н е п р е р ы в н ы х о п е р а т о р о в , п о л и н о м и а л ь н о з а в и с я щ и х о т

п а р а м е т р а в н е к о т о р о м у г л е ( н а л у ч е ) к о м п л е к с н о й п л о с к о с т и .

П у с т ь

д а л е е

D ' ( V / ® y ,:5H S} W - + K j . » ( X )

с е м е й с т в о н е п р е р ы в н ы х о п е р а т о р о в , т а к ж е п о л и н о м и а л ь н о з а в и с я ­

щ их о т п а р а м е т р а , п р и ч е м с т е п е н ь п о

?

о п е р а т о р н о г о п о л и ­

.

н о м а

t> г с т р о г о м ен ь ш е с т е п е н и о п е р а т о р н о г о п о л и н о м а

Т о г д а п р и д о с т а т о ч н о б о л ь ш о м п о м о д у л ю з н а ч е н и и S.

о б р а т и м о с т ь

о п е р а т о р а

в л е ч е т з а с о б о й о б р а т и м о с т ь о п е р а т о р а

Д о к а з а т е л ь с т в о

п о с у щ е с т в у в ы т е к а е т и в

о п е р а т о р н о з п а ч я о г о

в а р и а н т а лем м ы о

м о д у л е

с т а р ш е г о

ч л е н а .

В са м о м д е л е п у с т ь

Ь

С ъ

) - ъ ( ъ ) л

и с с л е д у е м о е с е м е й с т в о . П у с т ь д а л е е

І Ю н е п р е р ы в н ы й о б р а т н ы й

о п е р а т о р к о п е р а т о р у

Т о г д а

I » ' 1 1) =

4 4 T f ' t > '

>

Ь D ' =

1 + 'D / D ' d

П о с к о л ь к у с т е п е н ь п о л и н о м а Т> ( Z ) м ен ь ш е с т е п е н и п о л и н о м а

Ъ ( і )

и в с и л у н е п р е р ы в н о с т и с е м е й с т в

и Ъ г( і )

н о р м а с е м е й с т в

t ) ' ■ ( ? ) D ^ - . )

и D C ? . ) Ь ~ ' C^.)

у б ы в а е т

с р о с т о м м о д у л я і

. О т с ю д а с л е д у е т , ч т о д л я д о с т а т о ч н о б о л ь ­

ш их з н а ч е н и й \ Ъ \

о п е р а т о р ы

и

н е п р е р ы в ­

н о о б р а т и м ы , а , с л е д о в а т е л ь н о , н е п р е р ы в н о о б р а т и м и о п е р а т о р

Ѵ> . П р е д л о ж е н и е д о к а з а н о .

2 . П а р а б о л и ч е с к и е о п е р а т о р ы (о б щ а я т е о р и я ) .

Т е о р е м а

8 . 2 .

П у с т ь

ъ ( ъ ъ * , ■§%.)-

п а р а б о д и ч е с к о е п о И .Г .П е т р о в с к о м у д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е в ы р а ж е н и е .

Т о г д а с у щ е с т в у е т н а с т о л ь к о б о л ь ш о е ч и с л о ^

, ч т о д л я в с е х

гк ^ - ы / * о п е р а т о р

( 3 0 . 2 )

,

C cJ - * H s - » . V , * С с )

н е п р е р ы в н о о б р а т и м .

I

ф о р м у л и р о в к а .

Э к в и в а л е н т н а я

Б у с л о в и я х

т е о р е м ы

н а й д е т с я

т а к о е

б о л ь ш о е ч и с л о I^J

, ч т о

Ъ - ' С ъ ' Ь ' Г * )

H s C X )

р а с п о л о к е н ы в н е п о л у к р у г а

н а

к

о м

п

л е

к

с

н о

й

п

л

о

с

к о

с

т

и

Д о к а з а т е л ь с т в о .

П у с т ь

Ъ о

> Ъ * ,

~

с т а р ш а я ч а с т ь д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о в ы р а ж е н и я

. П р е д с т а в и м

о п е р а т о р

( 3 0 . 2 )

в в и д е

сум м ы о п е р а т о р о в

3

-

T>e

С * .

Ö * . . ^

-+

'Ъ -ГС ы

'Ъх . , $ і г

) f

( 3 1 . 2 )

г д е о п е р а т о р 1 3

о п р е д е л я е т с я и з р а в е н с т в а ( 3 1 . 2 ) .

В п р о с т р а н с т в е о п е р а т о р н о з н а ч н ы х ф у н к ц и й р а з л о ж е н и ю

( 3 1 . 2 )

с о о т в е т с т в у е т р а з л о ж е н и е

_ /

_

г д е с т е п е н ь п о л и н о м а D

м ен ь ш е с т е п е н и п о л и н о м а

Т> •

У с л о в и е п а р а б о л и ч н о с т и п о П е т р о в с к о м у о з н а ч а е т , ч т о

у р а в н е н и е

3 6

і ) = О

не и м е е т к о р н е й в л е в о й п о л у п л о с к о с т и

R e

£О- < 6. Э т о о з н а г

н у ж н о е

у т в е р ж д е н и е с л е д у е т и з лемм ы 1 . 2 .

С

л е д с т в и е .

П у с т ь

I “Dx,

Н 5, у, о* С С ) — * И s-iw.J'iA С с )

н е п р е р ы в н о о б р а т и м .

С п р а в е д л и в а

т а к ж е с о о т в е т с т в у ю щ а я ( э к в и в а л е н т н а я ) ф о р м у л и ­

р о в к а об о б л а с т и

с у щ е с т в о в а н и я р е а л и з а ц и и .

п е р е в о д и т , к а к н е т р у д н о у в и д е т ь ,

о б р а т н о п а р а б о л и ч е с к и е д и ф ф е ­

р е н ц и а л ь н ы е в ы р а ж е н и я № ( " п р я м о ) п а р а б о л и ч е с к и е .

З а м е н а ( 3 2 . 2 )

в с и л у л и н е й н о с т и п р е о б р а з о в а н и я

Ф у р ь е и н д у ц и р у е т

а в т о м о р ф и з м

-.Г*

н к<

с #4 K

£-■

Т о г д а

для

д о с т а т о ч н о

б о л ь ш и х

о т р и ц а т е л ь н ы х

ч и с е л ы. о п е р а ­

т о р

Э О ' І Ѵ .

. ц

S/ f ,*

[ С ) — ь

H i -

<и,

С с )

непрерывно

обратим.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как следует

из

теоремы

конечности

(§

2

п .І)

и теоремы 8.2

для достаточно

больших отри­

цательных

сА .

существует такой

оператор

R :

R

•'

И

S'*, у, <*. C Q

— *■ Ч s,г,ct С.с)з

что

• И - Т

: Н s,(T, * ( с )

—

H s , r , « f c J

. Л

, следовательно

и оператор £) непрерывно

непрерывно обратим'

обратим. Теорема 9.2

полностью доказана.

3. Квазиэллиптические и параболические уравнения (конкрет­

ные примеры).

В этом пункте

мы рассмотрим несколько конкретных

примеров уравнений,

для которых все

вычисления и в первую оче­

общей

теории и во-вторых.проследить за

расположением спектра

в зависимости от различных параметров задачи (коэффициентов

уравнения, размерности пространства, порядка уравнения).

а) Оператор Лапласа на цилиндре

Ь

IN

Рассмотрим

уравнение

Э Ч с

+ а 2е

i-Cè dZlL

(33.2)

н -

П'- =-4Cxti:),

где

О- - некоторая

вещественная постоянная,

о

* Ѳ

и

_оо <

-J. о» • Отметим прежде

всего,

что

из

условия

(квази)

эллиптичности

следует, что

ф У-

*

После преобразования Фурье уравнение

(33.2)

преобразуется

в семейство уравнений на окружности

и

(*■! t )

і

<3tt.2)

■ й С х , і )

и

{ & ' - )

в р я д Ф ур ье п о с и с т е м е

{ е (' К* }

к ~ о , і і., і 2 , . - ■ ■

( з н а к

^

мы о п у с к а е м ) :

,

:

YJК ! ~, о о

>

и С * , і ) = ~ ~

- С . к х .

b b & e '

I

-і*о

‘

і )

=

’°'4

Т -

f v W e .

к~-^=

Т о г д а с е м е й с т в о ( 3 4 . 2 ) п е р е й д е т в с е м е й с т в о а л г е б р а и ч е с к и х

у р а в н е н и й ,

п а р а м е т р и з о в а н н ы х н ак р ы т и ем ~Z х

(Г. — *

(Г

i t ' 9

/іс L&)

_

а гг

к 1-) и к Сі) =

Т аки м о б р а з о м

}

4 * &

ив-

т а к ч т о

В2- K * a Lt

d - t

L ' O >.

U. I

- Н

Ju .[2)

«

Ь - й

Ь

і

‘

йг-

£ ся г£ v*C^ с/2

Ы-L =>°

“ ,1

i * - o ’ K 4 l *

2-г— а*-

л'

Ъ = d I k / l a l e

iC-b

,

X- - = ti, i ■!> ■■■ ■

и полюс

i

- О

кратности

2 . Полюса, расположены в точках пере­

сечения

прямой

cft,f 2

и семейства концентрических окруж­

ностей

г

-

j a f / K l

: