книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

ние (ä(arit) и настолько малое число

, чтобы

оператор

1 - a C x ,t )

H s , f t oI - * И £_4 д (Д .г г д ы _

!

имел как угодно малую норму,

а в то

же

время норма

оператора !

• M s . Г, CL

І.і

q . O l ± )

— *

H

s , y )0L

-i

:

I

была бы равна единице. Отсюда следует,

что

если £ }? о как угод

но малое число,

то

*

■

fI

11

* £ t V - h . r , *

<

г

Лемма доказана.

{

к

Итак оператор

представлен

в виде

"Ь * D f - t ö J - r < - г Т (

#

•

Поскольку

оператор

1>с>

непрерывно обратим, то можно ввить

настолько малые

числа £

и

,

что

будет

непрерывно

обратим

:

и оператор Ф+К.а, следовательно,

оператор ^

будет

почти

>

обратим. При этом его левый.и правый

почти

обратный имеет вид

,

0 > о + ) 0 ' 1

П р е д л о ж е н и е

5 .2 . формулируется ■ доказывается

вполне аналогвчво предложения 4 .2 . с ааненой Т на - Т ■

*

іа -

^

•

ѵ ”

О п р е д е л е н и е

3 .2 . Оператор

D

*Н•

s,y,eL Сс )

—*

Н $-*,£,<*С С )

мы будем называть н в а з и а л л и п т н ч ѳ о к и ы

Р о д

а

У , волн он

является

таковым уа

каждом сечении

I s - *1»

цилиндра

С

.

Предложения 3 .2 ,

4 .2

ж 5 .2

позволяют

доказать вашу

ос­

новную теорему конечноотм.

Т е о р е м а

4 .2 .

Пусть

оператор

f c - ' H s . j , *

( О

— г

< **•»

* kl

t

D )

.Л

£

f p

i

* C ,

г д е

L r ] + L

e

>

k.-\ £

^ t - ^ ^

•

м ов

Т о г д а , е с л и

d

- н е о с о б о е , т о о п е р а т о р ( 2 4 . 2 ) ф р е д г о л ь -

и

д л я лю бой

ф у н к ц и и

и &- Н s.,X,<* С с ) с п р а в е д л и в о н е р а в е н -

с т в о

buljs„

t

’

I

11^Ч s.ârjoL é

Н-иИs',fael+,*~) }

г д е п о с т о я н н а я c o w - ' t

н е з а в и с и т о т

и . ?

я + - < 0 < - < о / - и

S '

<

9 -

'

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р о в е д е м п о с т а н д а р т н о й с х е м «

я м и - о к р е с т н о с т я м и

1

,

п р и ч е м о к р е с т н о с т ь Lii

п о к р в

в а е т б е с к о н е ч н ы й п о л у ц и л и н д р

X х

( -

0)0 > Т ) > о к р е с т н о с т ь

Ы / /

т а к ж е п о к р ы в а е т б е с к о н е ч н ы й

п о л у ц и л и н д р X х С Т > t о э ) , а

э л е м е н т * '

п о к р ы т и я

U f f - i п о к р ы в аю т к о н е ч н ы й ц и л и н д р

X х

( ~ 1 , Т ) !

т к е мы с к а ж е м н и ж е . П у с т ь т е п е р ь

Н к Ш - р а з б и е н и е е д и н и ц ы ,

п о д ч и н е н н о е п о к р ы т и ю *Ьі . В ы б е р е м

т а к ж е ф у н к ц и и

к = 1 , .. ѵ /б|

Y * Ш :

f

,t С,

ч к W M * ) ) - f t,

Ч к М .

З ап и ш ем

т е п е р ь д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

в ы р а ж е н и е Ъ С я і і / x>«,

в в и д е

т о р

В ы б е р е м д л я к а ж д о г о к

т о ч к у -£ к £ К-к и п о с т р о и м о п е р а ­

Ь к

, п о л а г а я

І Ѵ

=

а ( і ) Ь

- ( ( і - а М

) ЪС^и-)^

г д е о п е р а т о р

( ' £ * )

и м е е т к о э ф ф и ц и е н т ы , з а ф и к с и р о в а н н ы е в

т о ч к е

і - - Ь

k . f - ЯА-і»т>

'У ('Ь )

а.

скС -Ь )

-

г л а д к а я ф у н к ­

ц и я ,

р а в н а

е д и н и ц е н а

н о с и т е л е

ф у н к ц и и

Ц'к. Ш

и

н ул ю вн е

е г о . Н е т р у д н о у в и д е т ь , ч т о

V b b Y n -

Ч ъ Ъ к У*. .

Т а к и м о б р а з о м , з а д а ч а с в е д е н а к о п е р а т о р а м

1 ) ^

к о т о р ы е , в с и л у

п р е д л о ж е н и й 3 .2 , 4.2 и 5 .2 , н е п р е р ы в н о п о ч т и

о б р а т и м ы . О б о з н а ч и м ч е р е з

R Я

/""/ S'>ч,jfIсЛ

> Н S/(Г*

и х н е п р е р ы в н ы е п о ч т и о бі р а т н ы е . П о л о г и м т е п е р ь

R f =

2 1 Ѵѵ й

с л е д у я п р и н ц и п у

л о к а л ь н о с т и ( к о т о р ы й бы л

о б о с н о в а н в п . І ) , д л я

;

и с с л е д о в а н и я п о в е д е н и я р е ш е н и я у р а в н е н и я

( 1 3 . 2 ) в о к р е с т н о с т и

• -fc =• + s-o мы м о ж ем п р е д п о л а г а т ь , ч т о о п е р а т о р

Т> и м г е т в и д

( 2 1 . 2 )

т о - е с т ь

D

С - і) ^ а (-0 'Ь

Ь С Ь о )

>

( 2 1 .

а Ш

- г л а д к а я ф у н к ц и я , с о с р е д о т о ч е н н а я н а и н т е р в а л е

[ Т , -t

, - t o é

и р а в н а е д и н и ц е в и н т е р в а л е

R л $

- I

+ Т,

Г 'іи ч е м о п е р а т о р

.

R А ;

Н $,*<,

^ s ' ^

<Т? • .Н S-нод )0>.

$ р и

f"j

7

я в л я е т с я н е п р е р ы в н ы м

л ю б о м сА. и

<±!> сК. . Т а к и м о б р азо м ^

мы и м е е м ф о р м а л ь н о е р а в е н с т в о

U.C*<ty= ß-л f

f

Т КлІ"+■••

(2G.2)

В п . І

мы у к а з а л и

с т р у к т у р у

о п е р а т о р о в R A и "J” •

ß A =

DÖ1 (^1+

>

т

=- А Ѣ е Г * 1* Q £ r , t ) ,

г д е

^ - | > 0

н е к о т о р о е

ч и с л о . О б о з а ч и м д л я к р а т н о с т и ч е р е з

н еп р ер ы в н ы й

при л ю б о м

н е о с о б о м

о(. о п е р а т о р

П у с т ь

т е п е р ь

s - ы / у , ы * .

I

и -

-

*

<27.-2)

- f e H

, г д е

Ы 7

> с *

(

о(г - н е ­

о с о б о е ) .

( 2 .^

ф у н к ц и я

^

Т о г д а , в с и л у н е п р е р ы в н о с т и о п е р а т о р а

т а к ж е п р и н а д л е ж и т п р о с т р а н с т в у

^

g

П р и м ен я я а с и м п т о т и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е д л я ф у н к ц и и t ) , , ' 1

Ѣ о ' 1

$ -у п о л у ч е н н о е в § I , п . 2 и п о д с т а в л я я э т о в ы р а ж е н и е

в ч л ен ы р а з л о ж е н и я ( 2 7 . 2 ) , мы п о л у ч и м р а з л о ж е н и е ( 2 5 . 2 ) . ,

Т е о р е м а п о л н о с т ь ю д о к а з а н а ,

3 . Р е г у л я р н о с т ь .

П у с т ь

Т е о р е м а

6 . 2 .

к в а з и э л л и п т и ч е с к о е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е в ы р а ж е н и е

D 0 = С і t ,

п о р я д к а ѵч. и р о д а ^

м о ж н о р е а л и з о в а т ь к а к о п е р а т о р

D

• И S , Г , А С C j

— * Н

С С )

( 2 9 . 2 )

В о з н и к а е т

в о п р о с ,

н а с к о л ь к о

ж е с т к о долж ны

в ы б и р а т ь с я

ч и с л а S

и а

( ч и с л о

К - п о к а з а т е л ь к в а з и э л л и п т и ч н о с т и - мы

с ч и т а е м ф и к с и р о в а н н ы м ) ?

Б у д е м н а з ы в а т ь р е а л и з а ц и ю ( 2 9 . 2 )

О п р е д е л е н и е .

м я г к о й ,

е с л и м н о ж е с т в о п а р ( S , ° 0 £ - /R г

, п р и к о т о р ы х

м я г к о с т и

р е а л и з а ц и и ( 2 9 . 2 )

о б л а с т ь

Т е

о р е м а

7 . 2 .

Р е а л и з а ц и я ( 2 9 . 2 ) м я г к а я и

м я г к о с т и

е е е с т ь м н о ж е с т в о т о ч е к

( 5 ) с < > ® г' , г д е S - л ю б о е

( в е щ е с т в е н н о е ч и с л о ) , а

А

- л ю б о е н е о ^ о б о е . Т а к и м

о б р а з о м .