книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

дение коэффициентов дифференциального

выражения при -fc-в ± о о .

Эти требования являются необходимыми:

можно построить пример

Теорема

о фредгольмовости оператора

(14 .2)

будет

доказана

по следующему

плану. Мы построим операторы

R A

и

, обраща

ющие соответственно слева

и справа оператор

D

с точностью до

компактных операторов

Вл Ѣ

- - rtStyieL

Сотчр

CMS, I IIA) ) .

D R n ~Ld ИjvW) j-, gL. £

«»M Сомір ГН

Здесь

і

Cpmp f

, Co^j» CH j-w, Г«*)

-

алгебры компактных операторов в соответствующих пространствах. I

Тогда из теории Рисса б^дет

следовать, что оператор

Т) - фред-j

гольмов.

1

Остановимся прежде всего на понятии компактных операто-

j

ров

в пространствах

типа

И 5, JT, с*-

і

П р е д л о ж е н и е

2 . 2 .

Пусть С }<1, *- > s > S>J~.

- пятерка

вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам

|

J. +

оі

^

ві _

;

S

S

(15.2)

j

Тогда для

любого

^

тождественный

оператор

і

Cd :

Н

СС)

^ S ' r ,

А * ,* -

( ° )

,(іб *2)

J

I

і

непрерывен

и более

того,

если неравенства

(15 .2) -

строгие.

!

этот

оператор

компактен.

j

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим для

простоты,

'

что

числа

(си

с

I

к

,

S '

- целые. Установим вначале

,

у

' *

у

непрерывность оператора тождественного вложения. Нам нужно

показать,

что

(

*о

УI

г -

~"

I

[ I i f lls1/ 1

* UflVr.* ' / } .

II fll s

t

<£L

1 4|s

S7< S

f

"W* •

К у

t

u> куі

к f w

l| I Y.

fc )

причем яостоявнаі сокуі

не зависят

от функций.

Теперь, пред­

распространенных

по

полуосям І.У" О

и І ' - СО и учитывая,

что о».+ л

мы

получаем неравенства

l l f l V ^

* I е

l l f l l ' j i

О

;

«

* 1 '“ *

l f ! ! >

II

till

S.JT.oi sf 4 .

(17 .2)

Разобьемпрямую

t

( i - o o ; +*o ) н а

три интервала

-

62 -

( —

у -

т

) , ( - Т ,

-»Т

),

( -т Г , *

)> где число Т

I

подберем

позднее.

Заметим,

что fia функциях,

сосредоточенных в

і

интервале

( -

Т,

Т

) оператор

(16 .2)

компактен,

поскольку

!

£. S.

.

Значит, для

множества функций, принадлежащих про­

странству

Н

««£-*. Т)

в пространстве

Н s ' у

можно выбрать йонечную

£

-сеть: существует

такое

конечное

j

множество

функций

tf*

_

v * .

« что

ллл

любой функции

u

ۥ

И s, j-.oi

С О

J II W - М *

a t +

ІИ ( и - Те)

II e it ^ .

'

1

~ т

Покажем,' что

число

Т

можно выбрать

настолько большим,

,

чтобы функции

п

, .

^ гл а д к о

продолженные вдмм лр*. 1>J

остались

бы

С

-сетью

я для всего просіранства функций

„ с Ц

„

,

,

. В

самом деде,

К-1- n C/jr,

«'Г,*.,*-

*

]

( « -

^ li

U

M t

00

~ idUfr

1

-*

i

II U -

+ j Ц U - i r ^ r e . ' "

’ & +

-v°

ч

0

I

И

-■ /XП

І

*'

Cowt

/ (.

^

J i K

- i r

, | | £ / a t

-•y°

'T

* 1

v-У‘”l

V

^

S

r

t

- f

J

O0

T

-

t

!

1

« . ‘Ѵ

е ^

л .

T

Оценим какой-либо аз последних четырех интегралов,

напри-

ыер предпоследним

чХ>

ЧТО

(

1

I1II w l l j t

і

.15<•

t-

)

Н

я*.

'

X X С«ч -* + ^ )

М : é

т

Поскольку

сЛ+~<Х<0,

то ыоано выбрать число

Т

настоль

ко большій, чтобы этот интеграл

был меньие

£ ,

равно как и все

последние три интеграла. Тогда ыы получим неравенство

К -

\ Г - 1!

,

)

которое и доказывает

предлокение

2 .2 . ддн

S'

и

f

Двлых.

у

Случай произвольных S

и

$

доказывается

ровно такие,

во в терминах преобразования Фурье.

Перейдем теперь к установлению теоремы конечности.

П р е д л о ж е н и е

3 .2 .

Пусть

Ъ С х' * '

J •'

s'

*

C c)

H і . М/Гі* £ c j

_

квазиэллиптический оператор.

Построим оператор

3

U f

Іо) = Л f t )

3) +

O - ' W O ä G i o ) '

(18.2)

где

0

-

гладкая функция,

сосредоточенная в интервале

ft £ -t

i»

»

содержащей

точку

-£0

и равна; единице внутри

ратор

(18 .2) непрерывно почти обратим.

Доказательство. Представим оператор

(18.2)

в виде суммы

двух

операторов

Ъ С х ’

( І9 -2)

где

через

Т)о =

'bztr^J

мы обозначи..и

оператор

с фикси

рованными

в точке

"do - коэффициентами,1а

оператор

Д

опреде

ляется из

тождества (1 9 .2 ).

^ ..

Оператор й

Т>

имеет

(гладкие) коэффициенты,

сосредоточен­

ные

на интервале

(

о, А ) •

Следовательно,

как показывает

iffplpr?

мой подсчет, при достаточно малой

(•

(ф!1 !

длине интервала норма

опера­

тора

Д Т>

может быть оценена следующим образом

H A D « ' l l s. w,y « e U t t l l s j

4 C£ l l u | | s U ,

где

О О

- произвольное малое

положительное число, Sf< S*

Отсюда и из

результатов Кона-Ннрѳнбѳрга (б[] следует, что опе­

ратор

Д

представляется в виде

суммы

” Т

: И> s 1Ң-, 6 ѵцfy

т > = Ь

„ +

K t -

t

T

<го-г)

В § I мы установили, что оператор

непрерывно

обратим

слева и справа. В силу открытости множества обратимых операто­

ров, оператор Ъ о -ѵ К £

®акжѳ обратим,

если

норма оператора

( Ъ о + K fi)

'

является

его

непрерывным левым и правым почти обратимым.

П р е д л о ж е н и е

4 .2 .

Пусть

£

;

Hs , i f l0LC c)

— >

Н s-v.tT'*

-

- квазиэллиптический

оператор рода $

с

переменными коэффици-

ентами. Построим оператор

I

1

Ъ(іііо) =о.С-Ь) $ f £4-аШ)Ъ(1ъ),

(21.2)

^W

гладкая

сосредоточенная

на полуинте-

где

[ т

- , содержащемункцияточку -fco

,

и равная

единице

в

вале

«

оо)

Ф

,

интервале

(.

7 + 1 , оо

) . Тогда,

если

производные

коэффициентов допускают оценку;

k

НІ ' ъ ! ? а І # С * ) С Ь * > \ 4 .C « ,

- П

(22.2)

с некоторым положительным числом ?> > Q

ц *t * [^ J- f l . ,

К t £ t S3 -t i , то

Д о к а з а т е л ь с т в о , Обозначим черев Д

сле­

так,

что оператор (21.2) записывается

в виде

Х> ^

t> f*to) +

Д Ь

Оценим норму оператора

& D ,

Пусть для простоты число

$1 *

-

целое. Имеем

и

t u n Ѵ - . Й * - U 1 J t

( Ф Ю - ь а д ) * С

-

Т

11

Ь а д - b t w j u 1‘ ) d - t *

Vi

4

Г е * Г* - Ч І

+

T

(23.2)

Возьмем теперь настолько больное

число

"X

, чтобы

х) Требования (22.2) значительно завышены. Точные условия

на поведение

производных при

*fc —>

ч

О» будут

видны в ходе

доказательства.

«

*

Л Ь V-IS-ІЧ, y,eL

' С І И

5,гг|0і. f

с.£ |[ и [[ ^ 1в(+1<А_

где

о(+ е

ы~ S" /

et

и

—

- любое.

Мы утверждаем,

что

в

этом случае

оператор

Допускает

следующее

представление.

Л е м м а

2 .1 .

Для

любого £,, > о

существует

такая пара

операторов

К и

Т

, что

Л Ь

-

K t

Т

норна

)

И

К

I I S- W | j f i o L

<

( ? £ + £ , )

>

i

»

где

E r О

произвольно

малое число,

а оператор

к

Т* ; Н *-щ.Г»сі

— *

У

■

непрерывен,

причем

_и

<

ы

•*. °1 + .

З а м е ч а н и е .

Аналогичная лемма в теории псевдодиф-і

ференциальных

операторов

в пространствах

И s

доказана Коном |

и Ниренбѳргом

£ € 3

I