книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

полюсов для любых (конечных)

чисел

d.

и

<=* '

. Поскольку

функция

-

решение,

принадлежащее

пространству

Нз,Г,*. Со) , то

она иожет

быть

записана

в виде

( 5 . 2 ) . Приме­

няя теперь

теорему Коши о вычетах мы можем написать, что

оЧ»’о>°

JL ’-HO*

v L r , i ) ~ - v k . -

- C o°

ЩЛг.

ct-L‘O°

d tt'A

j(6 .2)

T S 7

] e- f V f « i L V J i4 j Г с

J

oi -u’ А

Ы■-( А

+ Ухѵ-

2Г теі

е ~ ' ^ ft С & Ц ? )

f

Рассмотрим, например, первый интеграл, распространенный

по

интервалу ( d '+t’ А , <*'-і А ) . Он является функцией.

(

V I ±/А ):

= J е-

.

d і і А

Д - *

. Дня этого оценим соответствующую норму

(при

фиксированном

*Ь

)•

МА

,

f

Ц П - II J t f M f C V J l

(7 .2 )

Ц «Mut

Правая чаоть неравенства

(7 ,2 )

оценивается интегралом

^"U'A

jL^t'А-

%

СОші I 1DJ Li)№ ( d i

«s cvM( J II

Hi)

где

C0 K *t

не

зависит от

А

,

Рассмотрим теперь семейство

интегралов

6

•< Г сЛ

1

II

( 8 . 2 )

f f t i A

Поскольку

функция

Ъ ч ( ѣ )

регулярна

в полуполосе

«*-

к

R e

2

* и

f

■ таи кан

И Ь ^ С Ѵ ^ Ѵ ] /

во всяком случае

квадратично оуммируема на

каждом луче

^

с

б ,

го интегралы ( 8 . 2 ) сходятся

6Ч.0 <>»

\

И Ъ~'С^)

Н

* cd^yfr

( 9 . 2 )

О* СА

’

г д е п о с т о я н н у ю

Ся н і -і

можно в ы б р а т ь

н е з а в и с я щ е й от

б " .

П р о и н т е г р и р о в а в н е р а в е н с т в о ( 9 . 2 ) п о о т р е з к у

j ы ? - Л

ОІ. <

3 < ОI f

^

п о Л.У 1-И Л/

d Чс-'А

.

^

^

|і ъ$С~ч ()г .I )f d

(1 0 .2 )

С^Чи'А

в-сСЛ

'В этом месте мы воспользовались неотрицательностью

числа 9

-

показателя

пространства

И s,

f, <*

С ^ )

, Это огра­

ничение является существенным (по крайней мере по временному

переменному і

для получения

асимптотического разложения.

Разумеется,

можно ввести нормы произвольного вещественного

порядка по пространственным переменным х

и неотрицательного

порядка

по

переменному

t

и в таких

нормах доказать

и однознач­

ным переменным при бесконечно гладких правых частях^даже если

1

оно априорно является распределением над пространством финитных

гладких функций. Поэтому, чтобы не

усложнять изложение

мы не

стали вводить новых пространств., а

просто предположили,

что у?о.

Здесь t=-6-t.C'T)

( <5

фиксировано)

, С - S-t С'Т-1

f

(«Г фиксировано). По теореме Фубини в двойном интеграле

(1 0 .2 )

можно поменять

порядок

интегрирования

6 -tL'OO

оі'ч.с’Л

j

f

II

t

r ' o

6*4.t fir

d-t

iM

откуда следует,

что

по

некоторой

яодпоследовательнвсти

И*

внутренний

интеграл

^ -t t К

j

II D '! ( 2) f c & u

- г о

оіч'А

\ е- і і ъ ч О ) f - О Ы * ------

> О

Перейдем теперь

к вычислению вычетов в правой части равен­

ства ( 6 . 2 ) .

Вычислим произвольное слагаемое:

- і'Ь

с е л е

Очевидно,

для этого достаточно

вычислить вычет-оператор

в произвольной

точке

£ = -5 *, :

Поскольку

'Ь’Ч 2 .) -

мероморфная операторнозначная

функция,

то в

окрестности своего

полюса

Н -

2 t

кратности t k

она

разла­

гается в сходящийся ряд Лорана

Р - ,

( г - ъ cj

-f в-і

Ro + .

( I I .2)

Здесь

операторы

R._xK

p, 1

R0

суть

ограниченные

опера­

торы

ft. t i c , - . Р.

н S - Ш (

X

) -

н ‘( Ѵ

В..

( X ) - * Н ‘(Х)

суть конечномерные

операторы.

Вычет ыероморфной

операторнозначной функции е ^ ']) '(ъ)

в полюсе кратности

t ic

есть

оператор

, Сц-І

- Ъ і

ы

е

У ' ( è ) ( 2 - - * - )

2п<.£

tic-

t w

- ^

Дг

—

Г

М

’ с

t >

е

D

j

-л.' fr

^

( c . - i )

J.

t

• /

^ ~ гѴ

Т а к и м о б р а з о м , с т о ч н о с т ь ю д о о п е р а т о р о в , к р а т н ы х т о ж д е ­

с т в е н н о м у

ІС\

Ü - t

. . г - kt

, :

ßt

€■

=Z- е- -t

2 ‘

äfc

1

>

j

В а ж н о е

з а м е ч а н и е :

В ы ч е т о п е р а т о р а

} у ' ( 9 )

в

лю бой т о ч к е з а в и с и т лиш ь

о т о п е р а т о р о в

г л а в н о й 1

З а й м е м с я т е п е р ь в ы ч и с л е н и е * к о э ф ф и ц и е н т о в в

а с и м п т о т и ч е с к о м |

р а з л о ж е н и и . Э ти к о э ф ф и ц и е н т ы п о л у ч а ю т с я к а к о б р а з ы к о н е ч н о м е р н ы х

С^И. )

Отсюда,

в частности следует, что любая функция вида

R

~ГЫ)

/

является решениен следующей системы уравнений

т

следовательно, по

известной теореме

эллиптической

теори^эта

функция бесконечно-дифференцируема. Поскольку оператор

аналитически зависит от параметра,

то его производная 't/ Ы

снова ограниченный

операторѣ в любом пространстве

HW

^Напомним, что коэффициенты оператора

Г)( *і

Ф т - ? )

а, следовательно,

и в&ех его производных (по

? )

бесконечно­

гладкие.

Поэтому функция -

D/ (?ü.) R-*. f

бесконечногладкая

и, снова

применяя теорему

о гладкости, мы приходим к выводу, 'что функ-

ция

J-

бесконечногладкая. Продолжая этот

процесс,

вы на

г к -ом шаге

получим, что

все функции

-

, '

- i f

суть

бесконечногладкие

функции. Более того,

эти функции в

I

[

действительности

принадлежат

конечномерному

пространству,

за -

I

і

висящему лишь от

оператора

Ъ • Конкретная

же функция,

стоящі

щая

в разложении

(5 .2 )

определяется, естественно, правой

ча-

I'1

[

I

и [*<+)= Z T

Г

Си^,(х) +

(■ Х/'І)

(1 2 .2 )

к

jz.0

'

»

где

ічМ) =

j <г гіъЧг)$СШ -

±.

R

Поскольку

оператор

является

(правым) обратным

при любом (неособом) с*.' , то

функция

является

решением

уравнения

(bt<±

j - }

причем функция

f по

уолёіию

тѳоремы’ принадлежит

пространств}

H S,*W ( c > -

В силу

непрерывности оператора

/ (апри- і

орная оценка)

функция

■t*^ar,-é)

оценивается следующим об­

разом

1

*

CokW

m

i s - г ч . у . л ' ,

Теорема 2 .2 полностью доказана.

З а м е ч а н и е .

Разложение (1 2 .2 )

является

асимптоти­

ческим разложением решения при

4: -* + оо

. Совершенно

аналогии*

но получается

разложение

решения в

окрестности

^

3.

Регулярность решений.

Здесь

мы установим

гипоэлл

зовать

следующее

О п р е д е л е н и е

2 . 2 .

Оператор

Н s,jr,u

( С )

—*

С О

называется

г и п о э л л и п т и ч е с к и

м,

если

всякое

решение

иС*Л)6- H s ,fr**-

уравнения

Ъ

U =-

£

принадлежит

пространству

И s ' JT,с*.

0 0

сколь

угодно высоким

коль скоро

правая

часть

этого уравнения

< , Д , а

СС) .

Т е о р е м а

3*2.

Пусть

D •

— * Н Х-ч, Г, * Сс .) ~

квазиэллиптический

дифференциальный

оператор

рода

]f

и

пусть

число

ск. -

неособое. Тогда

оператор

D гипоэллиптичен.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При условиях теоремы

опера­

тор

В обратим. Значит, всякое решение написанного

выше

уравне­

ния,

принадлежащее пространству

Н 5 , у ,<*■Сс) может

быть

записа­

но в

виде

где

D ' 1

(<■

) — »

H s . r ,

* (

c

J-

- оператор,

непрерывный

при

любых

^

. Отсюда

следует,

что

если j-e-Hs'. N.j-.л С ° )

»

где

S'* s

»

1 0

и *

Hc-'g’, oi^cj*

Поскольку

число

5/

монет быть

выбрано как

угод­

но большим,

то

последнее

утверждение

и доказывает

теорему*

§ 2 . Кваэиэллитические дифференциальные уравнения о

переменными по

"t

коэффициентами.

В этом параграфе мы изучим кваэиэллиптические дифферен­

циальные уравнения, коэффициенты которых могут

зависеть

от "і .

I .

Теорема конечности. Осповной результат этого пункта —

теорема о нормальной разрешимости уравнения

■

D О ' * /

* + )

ісСхі ±)

-

(13.2)}

в пространствах

типа

Н S, УіЛ

(.С)

или, что

эквивалентно,