книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

•С )"

( 6 -

целое

число) с

постоянными по

"t коэффициентами

А-О,

(23.1)

где степень de$ А

полинома

А/-к.

£*,-£'■£,)

равна

' ( t - ^

так что

в частности

Ag

Арч-> cl&fА$—Q

причем

і4о=

СонМг^ О .

Старшая

часть выражения

(23 .1)

определялась как вумма

мономов

ке-к.

а *■

Н *

>

где

форма степени

(e-ь.)

•e-,

„

'

К в а з и э л л и п т и ч е с к и е о п е р а т о р ы в п р о с т р а н с т в а х

н а

'ц и л и н д р е б е з к р а я .

t коэффи­

§ I . Квазиэллиптические операторы с постоянными по

циентами.

1 . Теорема об изоморфизме.

2 . Асимптотическое представление решения при

f

3. Регулярность решений.

A* i ^ t ) «- -

( 1 . 2 )

Предполагая, что дифференциальное выражение, стоящее в

левой части' уравнения ( I . 2 ) - квазиэллиптично,

мы докажем одно­

этажную разрешимость

этого

уравнения, получим асимптотическое

пржшишіение и исследуем дифференциальные свойства решения.

I .

Теорема

об

однозначной

разрешимости.

Т е о р е м а

1 .2 .

Пусть

DCa’ >.

гг

квазиэллипти­

ческое

дифференциальное выражение рода

% . Тогда уравнение

(1 . 2 ) однозначно

разрешимо

в пространствах

и & Н s. jf,<* C&)j

ѵч

£ с)

для любых вещественных

чисел

s и любых ве­

щественных

,

за

исключением некоторого

дискретного

(то-есть’

без предельных точек)

множества

на оси. (Эти

числа мы

в даль­

нейшем будем называть

о с о б ы м и

) . Более

того для любой

функции

US - Н s , f , «

с)С ' (

06 неособое)

справедлива априорная

оценка

II ^lf

S, у,et.

^

07

I f!(s-іч,/[■,<*.

с постоянной соьрЬ ,

не зависящей от

элементов

пространства

Н у,у,о<

С с).

Прежде

чем доказывать эту теорему дадим эквивалентную ей

формулировку на языке

теории операторов, которым мы и будем

пользоваться. Для этого реализуем дифференциальное выражение

t>Xl

как оператор

(мы его

обозначаем той

же

j

буквой)

j

L»*

f

■'

Hs'iftciCcj

—»

ü s - N , f i *

C c )

I

i.

j

i

•

- 43 -

i .

Определение 1 .2 .

Будем

говорить,

что оператор к в а з и -

э л л и п т и ч ѳ н

(рода

$

),если

соответствующее

диффе­

ренциальное выражение

кваэиэллиптично.

Т е о р е м а

112.

Пусть

оператор 3 -квазиэллиптичен.

Тогда для всех неособых <л.

он является изоморфизмом,

то-есть

непрерывно обратимым слева и справа.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим произвольное ве­

щественное число <5Г

и перейден

от оператора

к

унитарно эквивалентному оператору

Ъ С х Л х Г І -) F ^ f» ,

(2-2)

ф

£ ( > , £ ) =

(3 .2 )

параметризованиях, прямой

. Будем теперь менять и

параметр ff

. Тогда семейство

уравнений (3 .2 ), окажется пара­

'SC?) ~Ъ Сх,±х,--)

(4 ,2 )

реализующий дифференциальное выражение

является

мнимой

оси (за

исключением начала координат) старшая часть

Tb

£)

полинома ТЗ &,-(■'$,-£)

не обращается в нуль.

Тогда это же утверждение

справедливо

и в двойном секторе

)?

< £ ,

где

- некоторое число.

,

Для таких операторов справедливо следующее

П р е д л о ж е н и е

1 .2 . Пусть

•

.

' T +

'

< с

н а к о м п л е к с н о й п л о с к о с т и » П у с т ь , д а л е е у р а в н е н и е

н е

и м еет

ч и с т о

Э о О ч . - г ) -

о

пди

Т о г д а

мнимых

к о р н е й

Ъ ~

2 - ( £ )

.

для

в с е х

д о с т а т о ч н о б о л ь ш и х по

н о д у л ю з н а ч е н и й

п а р а м е т р а

I +

t

< € > о п е р а т о р ы

н е п р е р ы в н о о б р а т и м ы , т о -

е с т ь

с у щ е с т в у е т о б р атн ы й

о п е р а т о р

Т Г Ч ^

и

д л я

лю бой

ф у н к ц и и

£ X )

с п р а в е д л и в о н е р а в е н с т в о

!

+Л fl

D'(|II ^ Ш ч і

I

~

^.jl

(5.2)

где

£. -

произвольное

вещ ественное число

и п о с т о я н н о й

j

c o n y f r

не

зависит

от

функции

э т о й т е о р е м ы н е м е д л е н н о

Д о к а з а т е л ь с т в о

и з в л е к а е т с я и з р а б о т ы

£ А- J .

К а к бы ло п о к а з а н о в о в в е д е н и и , е с л и з а д а н о а н а л и т и ч е с к о е

с е м е й с т в о Т > ( -) ф р е д г о л ь н о в ы х о п е р а т о р о в , п а р а м е т р и з о в а н н о е

откры ты м

св я зн ы м м н о ж е с т в о м н а к о м п л е к с н о й

п л о с к о с т и ,

и

е с л и '

х о т я

бы

один

о п е р а т о р и з

э т о г о

с е м е й с т в а

я в л я е т с я о б р а т и іп :м х ) .,

тЛ

О т с ю д а , в ч а с т н о с т и , с л е д у е т , ч т о ф р е д г о л ь и о в о с е -

'

,, щая о т п а р а м е т р а £

, и

обр ащ аю щ ая

в р е г у л я р н ы х

т о ч к а х

о п е р а т о р н о -

-

з н а ч н у ю ф ун к ц и ю ^ ! і ) .

п о к а з ы в а е т , ч т о мы н а х о д и м с я в у с л о в и я х .

П р е д л о ж е н и е 1 . 2

о п и с а н н о й выше с и т у а ц и и . О б о з н а ч и м ч е р е з

Y - )

м ер ом орф н ую

^

о п е р а т о р н о - з н а ч н у ю

ф ун к ц и ю ) обращ аю щ ую о п е р а т о р

в р е г у ­

л я р н ы х т о ч к а х . О т м е т и м , ч т о ф у н к ц и я I T ' ( 2 )

р е г у л я р н а г о в с я к о м

с л у ч а е ч в д в о й н о м с е к т о р е

J.

Фг

I

< С .

1

7

Ф

о 'Q l \

I

в е щ е с т в е н н о е ч и с л о d .

т а к о в о , ч т о н а пр ям ой

Re

?■= оі

н а п р я

н е т п о л ю с о в ф у н к ц и и

( і ) . Т о г д а д л я в с е х т о ч е к 2

мой р е і

- cL

с е м е й с т в о о п е р а т о р о в

( 4 . 2 )

я в л я е т с я обратим ы м

С е м е й с т в о м , а , с л е д о в а т е л ь н о , о б р а т и м и о п е р а т о р Т > ( > ,

) '■

п о с к о л ь к у

с е м е й с т в о о п е р а т о р о в Т>С2 )

с

й о п е р а т о р

,

к а к бы ло з а м е ч е н о в н а ч а л е п а р а г р а ф а , у н и ­

т а р н о , э к в и в а л е н т н ы .

„

Д о к а ж е м т е п е р ь н е п р е р ы в н о с т ь о п е р а т о р а

О т м е т и м п р еж д е в с е г о , ч т о п о с к о л ь к у ф ун к ц и я

, - о н е р а в е н ­

п о п р е д п о л о ж е н и ю о г р а н и ч е н а н а пр ям ой

2- с

с т в о ( 5 . 2 ) в ы п о л н я е т с я д л я в с е х з н а ч е н и й

R e .2 r = o L .

.

Проинтегрировав его по прямой

P e t - я,получим

■JИU“-f д+ігіЪ^ь^ІЫ* *

со^іj||^4A +i?!r 3^|iJg.

!) О-

: Hs,Г,*

^ Hs-.ч, *-■<* (.С-)

1

\3Bi

J

Ptts-ci

2.* Асимптотическое

представление решения при

~ о°

В предыдущем пункте мы доказали, что уравнение

f *

>

= и * ' + )

( І *2)

имеет и притон единственное решение

. U- €- Hsi f, <*CC)

,

если

і ь Н J-w* I оI

C c )

и на

прямой

Re

неТполюсов

функ

ции D~, ( Ъ) .

При этом решение

имеет

вид

WC*! i )

J

( 5. 2)

Vj>ir 7

Т е о р е м а

2 . 2 .

Пусть

U Cxi t ) f-

M s ' t ) ы

( c \ ,

s ~ 0

и пусть

i & H S-M, f ,ьі ' С и ,

где

<А *

ot f '

. Тогда

решение

■UfaсЬ)

уравнения

( 1 . 2 )

может быть представлено в сле­

дующем виде

4 l ( * r b ) ~ Z T Г

tu

.

& • * . & )

-f « i f a - t ; )

со

К

j

J

Здесь

Qj'b. C*)

-

гладкие

функции,

зависящие

от оператора

2 )

внешнее

суммирование

производится по всем полюсам

^ і , .

к., . . •■-

с кратностями

оі <

Re. 2

<*.

f

( 6 . 2 )

>

а

остаточный

члең

UiCx<t) é

Ң

s f loL > C c )

д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим,

прежде всего,

что

поскольку функция

регулярна в двойном секторе

I -

а

* $ *€

то

в полосе

с

Ке 2- г

<* ■'

содержится

лишь конечное

чиспиІ

-

4 9 -