книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

' н а ф у н к ц и и , о п р е д е л е н н ы е ( п о - п р е ж н е м у _ ) н а о с и

" t , н о п р и н и м аю ­

щие

з н а ч е н и я

& к а к о м - л и б о

б а н а х о в о м

п р о с т р а н с т в е

Е

с н о р м о й

f

:

н а д о

лиш ь в с ю д у

з а м е н и т ь

м о д у л ь

ф у н к ц и и

( н о р м у

в

к о м п л е к с н о м п р о с т р а н с т в е

fl.

) н о р м о й I

д а н н о г о б а н а х о в а

п р о с т р а н с т в а

Е

. Н а п р и м е р ,

п р о с т р а н с т в о

E l s/0t

ф у н к ц и й

с о

з н а ч е н и я м и в п р о с т р а н с т в е Е

о п р е д е л я е т с я к а к п р о с т р а н с т в о

ф у н к ц и й

П р й tf é р 4 й у с т ь ^

- г л а д к о е з а м к н у т о е м н о г о о б р а з и ѳ 4

В ы б е р е м й а м н о г о о б р а з и и ^

н е к о т о р у ю р и м а н о в у м е т р и к у ,

з а ф и к ­

с и р у е м е ё й р а С 6 й О ? р я й ( п о л о ж и т е л ь н ы й ) о п е р а т о р Л а п л а с а

Д .

п р о с т р а н с т в о ф у н к ц и й н а м н о г о о б р а з и и

X

к а к п р о с т р а н с т в о

С о б о л е в а п о р я д к а S

с н о р м о й

З д е с ь

d ЭС - ф о р м а о б ъ е м а н а м н о г о о б р а з и и

X

»

о п е р а т о р

'l - t А

- п о л о ж и т е л ь н ы й , с а м о с о п р я ж е н н ы й о п е р а т о р

и е г о с т е п е н ь к о р р е к т н о о п р е д е л е н а .

П у с т ь т е п е р ь

£

= . X у ^ 1 - ц и л и н д р . Т о г д а ф у н к ц и и

^ 6*гк)

}

имею щ ие

п р и

к а ж д о м

з н а ч е н и и

~t

к о н е ч н ы й

и н т е г р а л

( 1 8 . I ) , н а ц и л и н д р е С

м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь к а к ф у н к ц и и н а

о с и ,

приним аю щ ие

з н а ч е н и я

в п р о с т р а н с т в е

С о б о л е в а

Н Я £ Х ) ,

( - ( s .o -

О п р е д е л и м д л я в е щ е с т в е н н о й п ар ы ( s , е ( )

п р о с т р а н с т в о

.п о л а г а я

S,oL

(

Re г- ^

u i 1) 1'

f

c

*

1

1

К

1+а +

Н иже

мы

б у д е м

п о л ь з о в а т ь с я

н е с к о л ь к о

б о л е е

тонким

п р о с т р а н с т в о м

-

п р о с т р а н с т в о м H s ,

if)«*-

, г д е

(s, (ft * )

- в е щ е с т в е н н а я т р о й к а .

Э т о

п р о с т р а н с т в о

ф у н к ц и й

-fCxi-fc)

с н о р м о й

«

И . , , , *

-

f

\ І О

') 1

«»*

^

U t e *

Для

S > о

эта

норма

эквивалентна

следующей

H

f l l i . =

К

К fils* '-

'* 1 '

U t e *

5 . Пространство

П

Введем теперь

простран­

ство

Н s ,

д +-;eL. Сс .)

для

вещественной

четверки чисел

( S ,

?Г,

) . Пусть вначале«^-натуральное'число

и s>(?

Тогда

пространство

Н $, у,

„ц.. [С.)

-

это пространство

■

распределений

на

цилиндре

С ,

полученное

в результате

замыка­

ния гладких,

финитных функций

по норме

I {

С

,

(J K U <- II f

о

^

0

+

j e ”

* *

(

II

fII

s

+

II

.

—sA

Здесь

через

.мы обозначили

^

-ю

производную

j

функции по

"fc .

Более

компактно,норму

в пространстве

И s> І, сЦ

можно

записать, если ввести

кусочно-постоянную функцию

f

^ +

, 1 7 - 0

c t ( t )

=-

’

>

d- , t *О

V.

В этом

случае

=

Т е 1'*’ * (

Лf l<A4

yf)a

Для того, чтобы, чтобы определить

пространство

И S,

для

произвольной

четверки

(

$, Ыі,

Ы-)

ыы введем

Г f Ш

0

)

^

о>

=

у

f Ш

, t

<

О ,

A J

Если

теперь через Ѳ "

обозначить

образы

операторов

Хевисайда

при

*-±

-преобразованиях Фурье,

то

пространство

И S, у , 0^4 , оі-

естественно

определить

как

замыкание множества

аналитических,

убывающих при

±

<>о

функций по

норме

^ ^

<а _ =

j J Ѳ + ( ' l ^ А

+

^

-f

R e ^

+ f t f -

C U A * \ & f )t ( L^ ' ^ | 0 d £ .

ReZr-o*-

При этом,

как легко видеть,

в случае

если

о* _

< <d +

преобразование

Фурье

-f [ъ)

функций -f-

ё

Н s/

d u,d -

явля“

ются аналитическими функциями в полосе

d -

< Pt Z-

*

г

1

-

г

і г'

^

где

і,

-t

^ а

,

І

о

,

± < ~ і

;

0 ,

-t

>

i

,

V

* ) - -

1 ,

-t

<

<:

' . 1

Это разложение единицы порождает разложение произвольно!’

функции -f£rrér)

на

дв^ слагаемых

І (* г Ь ) =

<fü

±

4- fr

f

~

Fi С * +)

+ Fj- (x' é ) ,

п р и ч е м , как

нетрудно

увидеть,

если

функция

j-Oxt't) &Ис,і',0ц,^- J

то Fi frt

t )

С-Н s

*

-

,

"Эквива- I

лентная нормировка

пространства

Н s, fl", о»+

<*■-

~

следующая:

II flf s , f

»oi+.ot-

*

II Fi

II s . r ^ t

t

II Fill

s,

jr»d . .

Нике

мы будем

использовать пространства

И s,

у , <*.4 , j._

в случае,

когда одно

из чисел

сЦ,

ok-

обращается

в

бесконеч­

ность.

Пусть,

например,

ÖL+

некоторое

фиксированное

конечное

число. Тогда

пространства

Н s,

с переменным

могут

следующим образом

профильтрованы

;

^ S -^ < A 4 , ' OO =

А И S,

d. ,

веет пространств H s i j f i

<j.4|C>._

и снабжается топологией

проективного предела, а

пространство Н ь г ^ А + . ч - о о является

Объединением

поведения при

і

t o «

) , полученное яракторизацией простран­

ства распределений на оси по подпространству распределений,

сосредоточенных при t *

О-

Норма в этом

пространстве определяется следующим образом

( s > о ,

<- =

- у ' уеАОе-*:

Пространство

И S I if , <^4

состоит из

распределений,

сосредоточенных на

полуоси

U

с аналогичной нормой.

§ 3 . Квазиэллиптические дифференциальные выражения.

I .

Основные определения.

Пусть

X

-

гладкое компактное

К - мерное многообразие без

края и

С ~

Х * '^

- цилиндр.

Введем

в прямом произведении

координаты

Q t i t )

. Тогда любая

комплекснозначная функция f

на цилиндре

есть

функция коорди­

нат

{

Рассмотрим на цилиндра С

дифференциальное выражение

ß

порядка

. Выражение

1)

в каждой локальной системе коор­

динат (

І

)

является

многочленом от

переменных

( % г Ѵ - > эЛ у у >

У н

) а

<

)

о коэффициентами, определенными в системе

координат

( 3 t * . -

» 94 N

) .

Ниже мы

сформулируем точные

и м . Допуская некоторую вольность,

мы будем часто

записывать

дифференциальное

выражение

1 )

в виде

Т> «

Ъ С х , Ь /

Ѣ х Р / д Ь )

(19Л '

о £ * • і , 0 t } V ? k ) ■*=■

^

& Сг і"Ь> ЪЪх J P / t )

> - » *f

Дифференциальному выражению

мы сопоставим характеристический полином

■ i o h . - b ,

с помощью формальной замены

называется квааиэддиптнческим рода

,

если

в каждой точке

£эг °f■і.® )

уравнение

*ъ0

с * е Л

0 .

°

(2 0 ,І)

не имеет чисто мнимых корней

Т.® х а

)

при l f | ¥

0 , Е*бЧ (Ч *

З а м е ч а н и е І . І .

Приведенное

определение квааизл-

хиптичности может быть переформулировано в терминах оемѳйотв

эллиптических дифференциальных уравнений, в смысле Аграновича-

Вииика

[

2^ .

Для того,

чтобы установить связь

между втими двумя опреде­

лениями, мы рассмотрим некоторое (произвольное) сечение *1 - 'Ь«,

цилиндра

С

. Зафиксируем в произвольной

точке

коэффици­

енты оператора

*1 >

и сделаем формальную замену

н

1— » 4 ^ =

- з

( 2 і . I)

Тогда мы получим срмѳйство t ) C 5 ) e

операторов,

зависящих or

параметра

.

О п р е д е л е н и е

7 .1 . Мы будем

называть

семейство

ъ С ы

кваанедлиптическим,

если

существует

такое

положительное

число

^ 7 0

,

что оемѳйство

Ъ С ^ ),

полученное

ваменой

( 2 1 . 1 )

зллиптично в смысле Аграновича-Виишка

{ г Д

для

значений

,

расположенных на прямой J»w ^

' = 0 .

2 .

Примеры.

П р и м е р I. Э л л и п т и ч е с к и е

д и ф ф е ­

р е н ц и а л ь н ы е

в ы р а ж е н и я

(И.Г.Петровский).

Пусть Y~ і

• Тогда характеристический полином

выражения

3>

является

обычным однородным полиномом порядка

гл . Усло­

вие квазиэллиптичности означает тогда, что корни уравнения

(ID .I) в каждой точке

( t 0, х°

) не ЧИсто

мнимы. Это

означает,

что

при

$ ~ О

полином

* о

1У , - і ' т )

не

имеет

вещественных корней

т

при (^Ф’О,

Последнее требование и есть обычное

условие

эллиптичности.

П р и м е р 2.

П а р а б о л и ч е с к и е

д и ф ф е-

I

р е н ц и а л ь н ы е

в ы р а ж е н и я

(И.Г.Петровский).

уравнения ( 2 0 . 1 ;)

во

всей левой

полуплоскости

Я е і

< Q

показал И.Г.Петровский [ з ] число|(должно быть в этом

т&ң

лым

и четным

и. введенный класс

дифференциальных выраже­

ний в точности совпадать с АІ> -

парабоД^іескими

в смысле

И.Г.

Петровского.

П р и м е р

Э.

О б р а т н о

п а р

еиб

о л и ч е с- !

к и е

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е

в ы р а ж е н и я .

Предположим теперь,

что все корни уравнения (ІР .І)

расположены*

в левой (открытой) полуплоскости, то-есть при

Rе ? ; о корней j.

уравнения ( 2 0 . 1 )

нет.

Это также

ХЪ -квазиэллиптическое

диффе­

ренциальное выражение,

которое

естественно назвать

Abобратно: