книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

О б о з н а ч и м ч е р е з j c [ t )

э л ем ен т ы

( 9 . 1 )

4 і ф

=

( ъ ) < c i t o )

Т о г д а э л е м е н т

/

м ож ет

бы ть п р е д с т а в л е н

в в и д е суммы

П о д с т а в л я я т е п е р ь

с=і

1

/

в и с х о д н о е

н ай д ен н ы е в ы р аж ен и я для

у р а в н е н и е ( 8 . 1 ) , п о л у ч и м

у-

*t-

^

или ^с

у ч е т о м

( 9 . 1 )

с =I

It-

21

Zас(it)<(**)&■№=■ О

(юл)

t-ч

Р а з л а г а я т е п е р ь в е к т о р а

К ( і а ) f c ( z - )

п о О а з и с у

п р о с т р а н с т в а

р к

К(г0)£ ( Ъ)

=г to e (.Ъ) е ,с (іа )

и п о д с т а в л я я э т о р а з л о ж е н и е в ( Ю Л ) мы п о л у ч а е м , ч т о

к-

‘

^

21 Лс(^о)

(і.а)-f

Г £

<tt'(i.)Y- (зЛе у, х

0

t=l

'

Сч

*-/

L

' OuU^)tK

=

После приведения

подобных чл ен о в, иы

в и д и м , ч т о

Г

*ѵ

^ ( » и Сів) f

Г,

«V Ш f a (г)) е* (го) «= о .

И з л и н е й н о й н е з а в и с и м о с т и в е к т о р о в

*Ѵ с л е д у е т ,ч т о

ч и с л а a L k . ( l t )

у д о в л е т в о р я ю т сл ед ую щ ей с и с т е м е л и н ей н ы х а л г е ­

б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й

к ,

<^к.[2о) +

Z2 °Ѵ(2в) Хсѵі(Ъ)— О

i~t

в а т ь д е т е р м и н а н т о м

Ф р е д г о л ь м а с е м е й с т в а ( 4 . 1 ) я в л я е т с я по

п о с т р о е н и ю а н а л и т и ч е с к о й ф у н к ц и е й і

, а .с л е д о в а т е л ь н о ^ м ож ет

о б р а щ а т ь с я

в

н у л ь

н а

к о н е ч н о й

п л о с к о с т и лиш ь в

и з о л и р о в а н н ы х

т о ч к а х . Эти м

д о к а з а н о ,

ч т о с е м е й с т в о

( 4 . 1 )

м ер о м о р ф н о о б р а т и м о .

Д о к а ж е м т е п е р ь в т о р у ю ч а с т ь т е о р е м ы - к о н е ч н о м е р н о с т ь

о п е р а т о р о в ,

с т о я щ и х

при

о т р и ц а т е л ь н ы х с т е п е н я х

в л ѳ р а н о в с к о м

р а з л о ж е н и и м ер о м о р ф н о й ф у н к ц и и

/ r W

в о к р е с т н о с т и к а к о г о -

л и б о п о л ю с а .

2 = і ц

-

полю с п о р я д к а

о п е р а т о р н о а н а ч н о й

П у с т ь

К > 0

ф у н к ц и и

. Т о г д а о н а р а з л а г а е т с я в о к р ѳ о т н р о т и т о ч к и

2 - З о

в Р я Д Л о р а н а

/\ч ( г ) s-

■ . ( n . i )

И з р а в е н с т в а ( I I . I )

с л е д у е т , ч т о

A ’ ' { £ ) ( Z ’ 2 о . ' * -

/?-*■

*

? - * « ( * - * > ) + ■ ' .

П р и м ен яя с л е в а о п е р а т о р А ( £ )

, п о л у ч и м

Л

^

Л ^ + / * ^ Д г ' « ! ) ( І 2 . І )

Т о ж д е с т в о ( 1 2 . 1 ) в е р н о д л я в с е х з н а ч е н и й £

и с е м е й с т в о

д A~r=C d

.

П о л а г а я в

( 1 2 . 1 )

2 =■ і о

, мы

п о л у ч а е м , ч т о

A ( i o ) F - k . —

О

( І З . І )

П р о д и ф ф е р е н ц и р у е м т е п е р ь л е в у ю ч а с т ь т о ж д е с т в а ( 1 2 Л ) :

5і

( а А~'(г-2и) “) *■

а '(t) (*''С*)(*-Ъ)к)+

* А J7 ( А-'{1-*0 К) .

П о л а г а я

?

=■

2с> ,

мы

п о л у ч и м

при

t 7 4

О

-

А 1( 2о)

R-K +

А R-K.+ і

к > с ' . т о г д а

П у с т ь т е п е р ь

С

- н а т у р а л ь н о е ч и с л о и

f

0

0

\

^ '

■ ■ -

-

- н у л е в о й о п е р а т о р .

V0 -

0 )

о п е р а т о р а с л е д у е т , ч т о о п е р а т о р ы R _ *

R .. ±

с у т ь к о н еч н о м ер н ы е

о п е р а т о р ы , в са м о м д е л е

и з (16 .I) с л е д у е т ,

ч т о о п е р а т о р ы

А

о б р а з у ю т к о м п л е к с

Jm 7?- к C

}C&rА .

Теперь конечномерность

J w R - n

следует

из

фредгольмовости

оператора А •

Докажем еще, что

Р- к - ц

конечномерный

оператор. Из

(1 6 . I) и конечномерности оператора

R -*

следует, что

последовательность

'

А х ^

І

н а п о д п р о с т р а н с т в е

і

и м е е т н е б о л е е о д н о г о р е ­

Д

ш е н и я . в с и л у л и н е й н о с т и о п е р а т о р а

Д

о т с ю д а с л е д у е т , ч т о

R - 4 .

п о л у ч а ю т с я р е к у р р е н т н о . Т е о р е м а І . І д о к а з а н а п о л н о ­

с т ь ю .

§• 2 . О п е р а ц и о н н о е и с ч и с л е н и е .

П у с т ь j - ( i )

I . О п р е д е л е н и е

і Ы Л п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е .

- к о м п л е к с н о з н а ч н а я ф у н к ц и я а р г у м е н т а

" t

, о п р е д е л е н н а я и а

в е щ е с т в е н н о й о с и : " t G £ ^ . Ч е р е з г = 6 * - г " Г

мы б у д е м о б о з н а ­

ч а т ь к о о р д и н а т у н а к о м п л е к с н о й п л о с к о с т и

(Г . В ы б е р е м н а п л о с ­

к о с т и <Г

н е к о т о р у ю п р я м у ю , п а р а л л е л ь н у ю м ни м ой о с и : R e g l e t

и з а ф и к с и р у е м е е .

Ф о р м ал ьн ы м

- п р е о б р а з о в а н и е м

О п р е д е л е н и е .

Ф у р ь е н а з ы в а е т с я о т о б р а ж е н и е

Й П

"

J

,

с о п о с т а в л я ю щ е е к а ж д о й ф у н к ц и и

к о м п л е к с н о з н а ч н у ю ф ун к ц и ю

^ ( Ъ ) - I

с ѵ )

н а п р я м о й

Р е . £ = - « * .

о б р а щ е ­

П р е д л о ж е н и е

І . І .

( ф о р м у л а

н и я ) .

У р а в н е н и е

Д о к а з а т е л ь с т в о

н е м е д л е н н о с л е д у е т и з

с о о т ­ *

в е т с т в у ю щ е г о д о к а з а т е л ь с т в а ф о р м а л ь н о й ф о р м ул ы о б р а щ е н и я

д л я

о б ы ч н о г о п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е .

О б о з н а ч и м

ч е р е з

2 . У н и т а р н о с т ь ' o L V п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е .

Н

п р о с т р а н с т в о Б а н а х а ф у н к ц и й н а о с и

~t

с н о р м о й

I{ ІІ^

=

^

U2'-^ft)|J

i

< 1 7 . 1 )

I

а ч е р е з

п р о с т р а н с т в о

L

ф у н к ц и й н а п р я м о й ß t Z - Ы . '

I

А

,

О т м е т и м , ч т о ф у н к ц и и и з к л а с с а

С ѵ № * ) - ф и н и т н ы е б е с к о н е ч -

р о д и ф ф е р е н ц и р у е м ы е ( г л а д к и е ) ф у н к ц и и о б р а з у ю т п л о т н о е м н о ж е с т в

Э п р о с т р а н с т в е Ц ^

, т а к ч т о э т о п р о с т р а н с т в о м о ж ет б ы т ь п о ­

д у ч е н о в р е з у л ь т а т е з а м ы к а н и я ф у н к ц и й и з к л а с с а

м е с т о и д л я

!•

jjo . н о р м е

( 1 7 . 1 ) . А н а л о г и ч н о е

у т в е р ж д е н и е

и м е е т

д р о с т р а н с т в а

. Т а м в к а ч е с т в е п л о т н о г о м н о ж е с т в а с л у ж и т

і

п р о с т р а н с т в о а н а л и т и ч е с к и х в н е к о т о р о й п о л о с е

d <

ф у н к ц и й ( ч и с л а d

и Is

п р о и з г о л ь н ы ) .

- п р е о б р а з о в а ­

П р е д л о ж е н и е

2 . 1 .

Ф о р м а л ь н о е °*-

н і е Ф у р ь е о п р е д е л я е т н е п р е р ы в н о е о т о б р а ж е н и е

F *

■

H i

—

■»

Н *

Д о л е е т о г о , э т о о т о б р а ж е н и е у н и т а р п о , т о - е с т ь с п р а в е д л и в о

д л е д у ю щ е е р а в е н с т в о ( П а р с е в а л я )

\ l^ - w

2

„

ІА *.

l-t

R1

l'e

ße.z--A

Д о к а з а т е л ь с т в о

^немедленно следует из унитар*

ности

обычного

преобразования Фурье.

3.

— преобразование Фурье в пространствах Соболева.

Пусть

ЛС -

натуральное число. Обозначим через f-Іщ,* простран­

ство

функций

на

оси t > полученное в результате замыкания мно­

жества финитных и гладких»функций

по норме

I

f

U

*

-

/

j

Г

У

5

IR

где

через

£

А )

мы

обозначили

* -ую производную функции

•

Через

Ніч,о<о(.

мы

обозначим пространство

ф у н к ц и й на пря­

мой

Re2 -

Л

,

имеющих конечную норму

f i t , *

■ ( J-

см‘чу»и*У'

'Pta-e.A-

3 . 1 .

Ф о п м а л ь п о е

- п р е о б р а з о в а н а !

П р е д л о ж е н і е

Ф у р ь е о п р е д е л я е т н е п р е р ы в н о е о т о б р а ж е н и е

I у.

/\

F

A - :

И

И К,Л

M

“{ С -

\ і

Е 1

«

J I

ігГ 4<«N* =III С,Г .

R

Нике иы

будем пользоваться

другой

(очевидно, эквивалент-

ной)

нормой

в пространстве

J-J

/Ч

л

і

( -И Ш

ѵ)

l

3« IM, «L

Унитарность

оператора

сА

-преобразования Фурье дает

способ нормировки пространства

Н mj л

в терминах(унитарно)

эквивалентного

емуѴ пространства

Н<н|ві.

• Заметим теперь,

• что в пространстве функций на прямой

сА можно ввести

структуру пространства

Ms.<*

Для люёого

вещественного s :

■ M l , * -

f J O l O ' l ? W I U t ) i .

Определим теперь для любого S

нормированное простран­

ство

Н s, л

функций

на оси

В 1 ,

полагая