книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]
.pdfОчевидно, что для того, чтобы полученное формальное реше ние принадлежало пространству Н s, і , -а>,г, о ,г необхо димо и достаточно, чтобы
о , |
(39 .5) |
/ . 7 < 0 = о . |
(40 .5) |
|
В силу формул (38 .5) равенство (39.5) означает, что
J £ ( x , i ) d v - О t |
(41 .5) |
&условие (40 .5) —
1 |
О . |
(42 .5) |
Попробуем проинтерпретировать эти условия как частный случай условий (2 0 .5 ). Для этого заметим, что пространство сооственных функций оператора одномерно и базисом его служит функция I . Следовательно
R- z |
|
& |
і. |
Условие (-f8.5) |
состоит |
в том, |
чтобы ССо) =^-0 |
Сравнивая это |
условие |
с условием (4 1 .5 ), мы получаем, |
|
ИТО
JTT
R- г fCx,ir) - J £0*,è) cJz^i
и, следовательно, условия (18.5)
- 190 -
•пг
|
f : С*> |
- |
/ |
f f r о) С'ч |
- с |
|
|
|
|
|
|
|
■?тг |
|
|
|
|
|
|
|
i^ ) |
|
|
J £ f( x ( b ) d Оx — |
|
|
|
||
в точности |
совпадают с условиями (4-1.5), |
(42 .5) . |
|||||||
|
Далее, поскольку оОраз |
оператора |
к -1 совпадает с образов |
||||||
оператора |
R-z |
(средний |
блок |
в матрице |
(32 .5) - |
диагональный), |
|||
то соответствующее условие для оператора |
к - ± |
совпадает с |
|||||||
уже |
выписанным условием |
(4 І .5 )Х^. |
|
|
|
||||
|
Случай і - 0 |
несколько |
особенный, |
и поэтому мы рассмотри* |
|||||
еще |
случай |
г = < , где |
о |
. Пусть, |
нап-гасер, |
мы изучаем |
|||
коядро оператора |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Л : |
Hs, |
|
|
|
|
|
|
(43 .5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда для того, чтобы формальное решение (ЗІ7.5) принадла* жало пространству необходимо и доста точно, чтобы
l - c U u ) - О •
х) Что, впрочем и должно быть, поскольку размерность коядра нашего оператора равна 2 и два независимые условия ортогональности (4 1 .5 ), (42 .5) уле предъявлены.
- I9I -
В силу равенств (38.5) для этого необходимо и достаточно, чтобы
I l'fcl л |
|
|
(44 . 5) |
J e -с'*:* % L X , 1 ) 4 XL. - 0 |
(45 .5) |
Попробуем и в этом случае проинтерпретировать эти равенства
как частный |
случай |
условий |
(2 0 .5 ). |
||
Заметим прежде всего, |
что пространство собственных функ |
||||
ций оператора |
|
* |
к 3 |
двумерно и базисом его служат- |
|
функции г 1 |
|
* |
и |
г |
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
Л |
|
Л |
|
|
/'К* |
ß.£ |
|
|
|
+С^СШ |
|
Необходимое и достаточное условие (18 .5) есть условие |
|||||
|
|
|
|
= |
сгсinj= о |
Сравнивая эти условия с равенствами (4 4 .5 ), (4 5 .5 ), мы поду чаем, что
cif'4>= J |
£Съіы)е<ъ <ь. |
0 |
, |
2 ѵ |
|
аз.(іи) = |
J £0*,Ш)f |
1'*the. |
П |
! |
J |
- 192 -
а сл ед овател ьн о в окрестности точки і - І * ! оператор
|
|
|
•' |
|
|
|
|
^ |
С *■ |
|
|
действует |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
&Г |
|
|
|
|
|
|
|
1 . 1 |
І С т . у ~ |
і |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Хтг |
■ |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
J f C * ' i ) e |
с / * « |
|
|
|
|
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак мы видим, что размерность коядра оператора (43.5) |
|||||||||||
равна 2 . Естественно |
поэтому поставить |
следующую кограничную |
|||||||||
задачу: найти такую функцию |
|
и .С * іѴ ё И і, |
J ^ |
J + |
|||||||
и такие 2 |
комплексных |
числа |
^ |
н |
С , |
, чтобы удовлетворялосі |
|||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& Ч - + |
f’f |
|
f Сл Ъ'СзН) |
=- ■ f-O't'i) |
|
|
||||
для функции |
|
|
H i - і , |
i , k~£, |
• |
Мы предположим |
|||||
ЧТО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
Для того, чтобы решить эту задачу, мы, следуя общей схеме, |
|||||||||||
изложенной |
в § |
2, |
перенесем |
члены, |
содержащие "S’ -функцию и ее ^ |
||||||
производную в правую часть и потребуем, |
чтобы функция |
; |
|||||||||
З С ъ Ь ) |
= |
|
|
0 ,561,+ -) -С ъЪ 'С ііѴ |
|
(46.5) |
|||||
- 193 -
была ортогональна пространству реяѳяий однородного уравнения
(. $Осi t ) - C j M rrt) -Cbl'Cx,i)}c |
- Q' |
Тогда мы подучим систему двух линейных алгебраических уравнений
|
|
|
Ат |
|
|
|
|
|
|
|
ür-it |
W-S |
|
С | - |
L i |
- |
i fCoH |
Л М |
|
(48 .5 |
|
|
|||||
с определителем равный |
Х<Сфо (Напомним, что |
кФ О ) . Чисд |
||||
и Сь |
определятся |
из системы (4 7 .5 ),(4 8 .5 ) |
однозначно и, |
|||
подставляя |
их в (45 .5) |
мы с этой |
правой частью однозначно рещи |
|||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
А U |
- |
? |
|
|
|
Нетрудно проверить, что полученное решение будет принадло- |
||||||
жать пространству |
Н з, і * - і |
1 |
|
|
||
- 194 -
Требуемая задача решена полностью. На языке теории опера торов была проведена следующая конструкция. Фредгольмову оператору (4 3 .5 ) мы сопоставим оператор
■' |
® < r * w |
Н г п , і . ^ і |
который является изоморфизмом.
-195
Л и т е р а т у р а
1. Й.Ц.Гохберг, 0 линейных операторах, аналитически зависящих
от |
параметра. ДАН, |
т.78, №4 (1951). |
|
|
|||||
2. М.С,Агранович, |
М.И.Вишик, Эллиптические задачи с |
параметром |
|||||||
и параболические задачи общего вида, УМН, т.ХІХ, вип. 3 |
|||||||||
(1964). |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. И.Г.Петровский, |
0 |
проблеме |
С с ш с к у |
для систем |
линейных |
||||
уравнений с частными производными в области неаналитических |
|||||||||
функций. Билл, |
МГУ, секция |
А, вып.7, |
(1938). |
|
|||||
4. |
S- |
|
|
L. tfCri |
f Pra^,crh'-t4 |
|
|||
|
ь и- |
IbciHAclLr |
t y A C t , |
|
ССм.\И. |
a K d |
■ |
||
M b t k . 1 6 , V I |
( 1 9 6 3 ) . |
|
|
||||||
5. B.A.Кондратьев, Краевые |
задачи для эллиптических уравнений |
||||||||
в областях |
с коническими |
или угловыми точками. Труды Моек, |
|||||||
мат. |
об-ва, |
т .Іб , |
(1967). |
|
|
|
|||
6. Дк.Кан, Л.Ниренбрег, Алгебра псевдодифференциальных опера торов, псевдодифференциальные операторы. Изд-во "Мир", Москва, (1967).
7. М.И.Вишик, Г.Н.Эскин, Параболические уравнения в свертках в ограниченной области. Натем. сборник, т.7І : 2,(1966).
8 . Н.Я.Виленкин, Специальные функции и теория представлений. Изд-во "Наука", М. (1965).
9. Л.Хермандер, Линейные дифференциальные оперг оры. Изд-во "Мир", (1965).
10.М.А.Рутман, Об одном специальном классе вполне непрерыв ных операторов. ДАН, т .І8 (1938).
-196 -
I I . А.Г.Асланян, Оценки первого собственного значения неса мосопряженного эллиптического уравнения. Канд. диссерт. Москва, (I960).
12. Б.Ю.Стершій, Эллиптические и параболические эадачи на многообразиях с границей, состоящей из компонент различ ной размерности. Труды Моск.матем.об-ва,І5, (1966).
13. С.А.Соболев, Некоторые применения функционального анализа
в математической физике. Изд-во ЛГУ, (1950).
14.И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов, Обобщенные функции и действия
над ними (вы п.І), Физматгиз, (1959).
15. Б.Ю.Стѳрнин, Эллиптические (ко) граничные морфизмы.
ДАН, т.172, |
№ I , |
(1967) |
|
16. |
СОіпр&х&і, |
|
|
oUru^Ub |
о(л jf-іЛ пх 'i |
i , С. Я . |
|
'Aéad. Je. |
Реліі |
, t . U O |
(i9éS~J. |
17. Б.Ю.Стернин, Квазиэллиптическиѳ уравнения в бесконечном цилиндре, ДАН, 194, № 5,(1970).
18.Ю.А.Дубинский, Ободной абстрактной теореме и ее прило жениях к краевым задачам для неклассических уравнений.
Матеы.сборник, |
т.79 (І2І) |
№ I (1969) |
|
19. Ю.А.Дубинский. Смешанные задачи для некоторых классов |
|||
дифференциальных уравнений |
с частными производны^yfWUO, |
||
т20 |
(1969) |
|
|
20. Ю.А.Дубинский, |
0 некоторых |
дифференциально операторных |
|
уравнения общего вида, ДАН т.20І №5
- 197 -
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
стр> \ |
Предисловие |
............................................................................................... |
3 |
Глава I . ...................................................................... |
Вводная |
12 |
Глава П. Квазиэллиптическиѳ операторы в пространствах |
||
................................... |
на цилиндре без края |
42 |
Глава Ш. Кваэизлдиптичѳскиѳ уравнения в пространствах |
||
............................................ |
на цилиндре с краеи |
98 |
Глава ІУ. Задачи С.Л.Соболева для квазиэллиптичѳских |
||
|
операторов в пространствах |
на бесконеч |
................................................................. |
ной цилиндре |
123 |
Глава У. Квазиэллиптическиѳ уравнения в пространствах |
||
............................. |
|
І6І |
Литература................................................................................................. |
|
196 |
- 198-
Л. 9 b 0 |
$ % , |
Подписано |
в печать |
t â |
. 0 % ,Ч З . |
Изд. й 869 |
||
Печ.л. - |
12,2 |
уч .-и зд .л . - |
8 |
Зак, |
$ |
4 3 |
Тираж 500 |
|
|
|
Цена 25 |
коп. |
|
|
|
|
|
Типография МГПИИЯ им.М.Тореза