книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

2

^ } . . . ,

Z K

некоторой

мероморфной функции

(для случая

cU'w

X

= _1

эта функция строится

явно)

Г (с

-

кратность

полюса

2

и функции

(jx) '/

-

оуть

гладкие функции.

Наконец, как и квазиэллиптическиѳ операторы с незави­

сящими от

*t

коэффициентами такие

операторы и в общем

случае

являются гипоэллиптическими.

Такова, в общих чертах, программа исследования квази-

эдлиптических операторов

в бесконечном цилиндре,

осуществ­

ленная в монографии. Напомним, что

эта

программа проведена

в

трех

случаях: когда

X

-

гладкое компактное многообра­

зие без

края,

когда

")(

- компактное

многообразие с

краем

^ X

и , наконец,

в соболевском

случае.

Укажем,

наконец,

план работы. Она состоит из

шести

главах излагается

теория

в пространствах

И S, X

, Л -

с

+

- «’*>

•

Эт°» разумеется,

лишь пример,

пространстве.

Пространство Н у ,

Л

•

5 . Пространства

H s , у , d + , - U •

§ 3 . Квааиэллиптическиѳ дифференциальные

выражения.

1 . Основные определения.

2 . Примеры.

в которой они будут непосредственно использованы ниже.

I .

Основные определения. Пусть

£ ±

- комп­

лексные

банаховские пространства и

(

-

комплексная плоскости.

О п р е д е л е н и е

І . І . Семейство

непрерывных опера­

торов

параметризованное плоскостью (L

, называется аналитическим

в точке

2 в

f"

(Г

,

если

в

окрестности

U

этой

точки операторнозначная функция

А ( Ѵ разлагается в ряд

Тейлора

/let A,Cz-Zoh-••

сходящийся по норме

; другими словами числовой

ряд

1!

М

!

* ]| Ак

• •

•

сходится

в

окрестности

V .

О п р е д е л е н и е

2 .1 . Семейство

непрерывных опера­

торов

fl fë): Е ,

Е,.

называется мероморфным семейством,

если во всех

точках 2 е С

сходящейся по норме в этой

окрестности в указанном выше смысле.

О п р е д е л е н и е

3 .1 .

Семейство непрерывных

опера­

торов

называется конечномероморфным. ес.:и в разложении

( І . І ) <.

операторы, стоящие в лорановской (главной) части ряда ( І . І )

суть

конечномерные операторы.

О п р е д е л е н и е

4 .1 .

Мы будем говорить, что сеней*

ство

что для в се х точек

i f

(t

А О)

= cd Б У

где С d r ,

i d

-

тождественные операторы в соответству­

ем

-

ющих пространствах.

О п р е д е л е н и е

5 .1 . Мы будем говорить, что се­

мейство

о п р е д е л е н ы и н еп р ер ы вн ы (д а ж е р авн ы i d

) в с ю д у ,

з а и с к л ю ч е ­

н и ем н е к о т о р о г о д и с к р е т н о г о м н о ж е с т в а . Е с т е с т в е н н о ,

п о э т о м у

д о о п р е д е л и т ь э т и ф у н к ц и и о п е р а т о р а м и

( ' c J ^

и

‘ ^

с о о т в е ]

с т в е н н о

и в

э т и х о с о б ы х т о ч к а х и , т а к и м о б р а з о м , с ч и т а т ь , ч т о

с о о т н о ш е н и я

( 2 . 1 ) и ( 3 . 1 ) в ы п о л н я ю т ся в сю д у н а к о м п л е к с н о й

п л о с к о с т и

(Г , в к л ю ч а я и о со б ы е т о ч к и .

2 .

Теорема о конечномероыорфной обратимости.. Наше перво

предложение касается локальной обратимости аналитического се­

мейства с

непрерывно обратимым*^ оператором при нулевой степени

в разложении Тейлора.

j

П р е д л о ж е н и е

І . І . Если семейство

А О )

•

—

*

E t

!

обратимо

в точке

і - 5 о

, то

оно

локально аналитически

обрати­

мо. Это

означает,

что

существует

окрестность точки

. в

которой семейство

A ft)

аналитически обратимо.

Д о к а з а т е л ь с т в о

н е м е д л е н н о с л е д у е т и з х о р о ш о

Т е о р е м а

І .

І .

Пусть

А (Ң

:

Е ,

-------* Е *

, п

I

) П ри

к а ж д о м

і

о п е р а т о р

А(2-) Ф р е д г о л ь м о в :

f l ) С у щ е с т в у е т т о ч к а

і о

, т а к а я , ч т о о п е р а т о р

о б р а т и м .

А і і )

к о н е ч н о м е р о м о р ф н о

Т о г д а с е м е й с т в о о п е р а т о р о в

о б р а т и м о .

Р а с с м о т р и м п р о и з в о л ь н у ю т о ч ­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

к у Ъо € £■

. Е с л и в р а з л о ж е н и и в р я д Т е й л о р а в о к р е с т н о с т и

э т о й т о ч к и о п е р а т о р

о б р а т и м , т о в н е к о т о р о й (б ы т ь м ож ет

м е н ь ш е й ) о к р е с т н о с т и э т о й т о ч к и с е м е й с т в о А ( т У а н а л и т и ч е с к и

*'

- -

о б р а т и м о и , с л е д о в а т е л ь н о , в э т о й о к р е с т н о с т и у т в е р ж д е н и я т е о р е -

мы в ы п о л н е н ы ,

’ <

П у с т ь т е п е р ь в р а з л о ж е н и и в р я д Т е й л о р а

в о к р е с т н о с т и т о ч к и

-А ( і о ) -t

А л f Z ~ 2 o J + . . . .

і о

о п е р а т о р

не я в л я е т с я н е п р е ­

р ы вн о о б р а т и м ы м . И з у с л о в и я

і ' О

т е о р е м ы , г о м о т о п и ч е с к о й у с ­

т о й ч и в о с т и и н д е к с а ф р е д г о л ь м о в о г о о п е р а т о р а и с в я з н о с т и к о м ­

п л е к с н о й п л о с к о с т и с л е д у е т , ч т о

д л я в с е х т о ч е к

с міе*

А(&) ~ О

*

? ' 6 <Е

, т о - е с т ь с е м е й с т в о в д е й с т в и т е л ь н о ­

с т и е с т ь с е м е й с т в о ф р е д г о л ь м о в ы х о п е р а т о р о в

« н у л ев ы м и н д е к с о м ,

а , с л е д о в а т е л ь н о , и о п е р а т о р

,А ^ 2 о ) и м е е т

и н д е к с

О

.

- 1 7 -

в в и д е

А ( 2 о ) = Ъ С % > )£+( & > )

( 5 . 1 )

суммы о б р а т и м о г о

о п е р а т о р а

В Г ? « )

и к о н е ч н о м е р н о г о

о п е р а т о р а К ( 2 о ) , Е с л и з а п и с а т ь т е п е р ь о п е р а т о р

А О ^

в в и д е

суммы

A f t J =

АСЪ)

+ A C O - A d > ) j

(б<1)

т о ,

у ч и т ы в а я п р е д с т а в л е н и е ( 5 . 1 )

р а з л о ж е н и е

( 6 . 1 )

м ож но

перепи«»

с а т ь

следую щ им о б р а з о м

і

А(і)~

b ( 2o) i- A(?J-

А(ъо)+ кгСго),

П о с к о л ь к у о п е р а т о р B f e o ) о б р а т и м и т а к к а к с е м е й с т в о

а н а л и т и ч н о , т о в с и л у п р е д л о ж е н и я І . І с у щ е с т в у е т

н а с т о л ь к о м а л а я о к р е с т н о с т ь V

т о ч к и 2 0 , ч т о в э т о й

о к р е с т н о с т и о п е р а т о р

= В О ) f

А ( і ) ~ A ( i o )

о б р а т и м .

В

д а л ь н е й ш е м ,в с е р а с с м о т р е н и я п р о и с х о д я т в э т о й о к р е с т ­

н о с т и .

Т ак и м

о б р а з о м с е м е й с т в о

A{%~J п р е д с т а в л я е т с я в

в и д е

сум м ы

о б р а т и м о г о с е м е й с т в а и

к о н е ч н о м е р н о г о

о п е р а т о р а . Б каж дой

т о ч к е ■ £ £ ѵ ( г о )

о п е р а т о р

h ( ß - )

и м е е т н у л е в о й и н д е к с , с л е ­

д о в а т е л ь н о ,' он о б р а т и м т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а

Spec. (

СС&) -t- К Ш )

О

С7*1)

Р а с с м о т р и м с т р у к т у р у т о ч е к , в к о т о р ы х у с л о в и е ( 7 . 1 ) н а р у ­

ш а е т с я . З т о т а к и е ч и с л а Ъ

, д л я к о т о р ы х и м е е т с я н е т р и в и а л ь ­

н о е р еш е н и е у р а в н е н и я

j c O J f

К(&)} f

= О

П о с к о л ь к у

- к о н е ч н о м е р н ы й о п е р а т о р ( д л я о п р е д е л е н н о ­

с т и

и- - м е р н ы й ) , т о он д е й с т в у е т в к о н е ч н о м е р н о # п р о с т р а н ­

с т в ©

р ^ ;

К С* * ) : Е 1 — , F *

П у с т ь

( г о ) у f С- і , , к'

С ^

" б а з и с п р о с т р а н с т в а г .

Т о г д а

в е к т о р

К ( ? о )

К- мож но р а з л о ж и т ь п о

э т о м у б а з и с у ;

К ^ о ) £

=

z

1

і сі

«•

П о с к о л ь к у с е м е й с т в о

о б р а т и м о , т о и з у р а в н е н и я

( 8 . 1 ) мы м ож ем н а й т и

j~

j = -

C J 'fc) K f a ) £