Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

I о s а э	а I е л		ь	с	в о	очевидно.
Пусть теперь		Ъ				С	-	дифференциальное
вырахениѳ порядка		гИ-	и	пусть		Ы	0/ ^ 0]	- произвольная точ»
ха на цилиндре	С	. Пусть

- система кограничных операторов, ассоциированных с точкой

О** ‘Р а
с п р е д е л е н и е	6 .5 Пограничную задачу

нахождения

"пары"

С и >а )

- ( ч ,

сі , . ->Сс) где

<С^

U f

H. S >

( с )

Для

мы

будем называть

к в а з и э л л и п т и ч н о й

рода<Г*

пространстве

<+4, <£- ( ° J ,

если

С) )

Оператор

квазиэллиптичен

рода

в каждой

точке

,-О е С ;

с о

^ - у Ь к ^

S- 1W+

;

сч‘0

векторы

(

3 *

S' }

€ .

не

ортогональны:

( ѣ к

е * ) ф о . '

Т е о р е м а

4 .5 .

Пусть

(2 3 .5 )

Т )г{

2Г C icD * .? )- -

180

квазиэллиптическая			пограничная	задача рода 'ß' в пространстве	j *
и	Si h сА+)0і -	г г \	. Тогда	для любой функции - І Ы /і)	(■
п	Si h сА+)0і -	L L '		J	!

Нf J-t d CC) существует и притом единственное реше/

522.

[ ч

с1; - -

C«)

гді

t t f

, I

К c i j __,

-f

комплексные

числа, и. более того, справедливо

следующее

априорное

неравенство

^ ^

ІСісі

* 0 ) к И і І £ [ [

• У.XjUjO1-'

'(24 .5)

К -

где

постоянная

c v * * t

не

зависит от

функции

и. С*> ~Ь) •

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Найдем

вначале

постоянные

с <>

--■?

С<.

•

Для

этого перенесем

содержащие

их

члены в

правую часть

уравнения

(2 3 .5 ) и потребуем,

чтобы полученная

таким образом

правая часть

была

ортогональна

коядру

оператора і

Т ) ;

(

{

Ск. Ъ к Ъ М ) ,

t j

С ъ Ѵ )

— О

(25.5)'

Система

(2 5 .5 )

является системой

линейных

алгебраических

уравнений

Z ^

( D K Z , е . )

еу )

(2 6 .5 )

относительно

чисел

•

матрицей

(

е ,-)

(27 .5)

которая

невырокдена

в силу

квазиэллиптичности

задачи

(2 3 .5 )

Определив

таким образом

коэффициенты

с*

С*

мы

181

і:

в силу условия	(2 5 .5 )	найдем	решение	иС*гі)		уравнения
ѣ и =	1	с іс				(2 8 .5 )
ѣ и =	1	с іс
принадлежащее	пространству		Н S, f'	,	.	Это решение будет
•единственным в силу мономорфности оператора

Более	того	из системы (2 6 .5 )		следует, что для	чисел с«,
справедливо	неравенство '
I С\|с\|	^	Cohyt	If £■![ s-к*,	,	(2 9 .5 )
а из уравнения		(2 8 .5 )	мы получаем,	что

Суміируя теперь неравенства (2 9 .5 ) и (30.5)^мы приходим

к требуемой оценке (2 4 .5 ) .

Теорема 4 .5 полностью доказана.

§ 3 . Примеры.

В этом параграфе мы рассмотрим несколько конкретных при- |

меров, на которых проидлюстриуем изложенный выше теоретический материал. Мы рассмотрим случай одного пространственного пере- ■

менного и найдем базис ядра в явном виде,			а следовательно, по
лучим явное	выражениеЛдля матрицы (2 7 .5 )		и соответствующих дѳ-\|
терминантов,	а также и явный	вид решения	(ко) граничной задачи
при некоторых (ко) граничных		операторах.

- 182 -

I . Уравнения в пространствах Ң s,		оЦ, ji	с
<*+ <	.

9 (Хс.с.-исч'іт м, ^рл4>ишіН-
# и	iJjA	с lü*< Ы	( ъ і \ Ю
dt1 +	^yfc-		( ъ і \ Ю

Л aiü-jruMCL- (Ч-s) u-u-tev	I
	(3 2 .5 )
	\

причем средний 2-ыерныЯ блок отвечает (кратной) точке спек

тра	о ,	а остальные	одномерные блоки отвечают простым точ
кам спектра		г-=±ікі?о	. Поэтому решениями (собственными
функциями)		уравнения	I

+• а ж * - о

являются функции.

ч С х , £ ) = [ і ; i t	„	* С=с
	е	с
		) -

а решением семейства (3 3 .5 ) семейство

(3 3 .5 ) '

и - O L , Ъ) =

С 1

с * Ъ '(г ) т Z

5 ( і - і к .) .

С 1	^ 4 * 1 *		п -t CIXIZ	ч
^ к е		*	п -t CIXIZ	ч	з	-i'iK/x,
		*	X £	J + Ъ (ё + !><:,) Г г	з	-i'iK/x,
		UCfX.)		L	* і	+
<■	С	UCfX.)
<■	С
			- 183	-

Ч?	г-ѴГОГ.Ѵь.-

Таким образом,общее решение однородного уравнения (31 .5) записывается в виде

C1 t	с х t +	__	_ /л^/ ( i t Сх)
C1 t	с х t +	2_	е
		К	і
Предположим теперь,		что мы ищем решение и.Ст,і)еН S,-Ö,C,IS
Тогда для любой	функции	éC *ti) 6- Hs-z)~o,r,i,S~		существует
решение и оно имеет вид

ci -tci ±-t j —, J e				j ,	- 1'* Fite)
	'*РЧ		* ~		z 2- Kl
			0, Г-c’ö»
4-	■4
4-			F i te )
/ <	- *		F i te )		d z .
	Kz- c>*		& г- к *		d z .
	Kz- c>*

(Мы сохраняем обозначения § I ) .
Отсюда следует, что оператор
_	■+,__>*- . и				Hi-2-,t, '0/-Г/
f t *	г* '' • H S ' f t - o ,? ,* ,*				Hi-2-,t, '0/-Г/
Фредгольмов,	эпиморфен.	и имеет		ядро	размерности	2.
Для того, чтобы устранить эту неоднозначность, мы зада
дим в точке	сйг= - і — О	следующие граничные условия
	д>го М	f - o	=	Ѵ	з ! о, 1
	r t *	f - o	=	Ѵ		с т . 5)
	r t *	ТС С О		'		с т . 5)

Тогда мы получим систему линейных алгебраических уравне-

- 184 -

ний относительно C 1 t c t

с матрицей

Поскольку детерминант этой матрицы отличен от нуля, то

постоянные		Ойі		однозначно находятся и, таким образом,
граничная	задача		(3 4 .5 ), (33.5)			в пространстве		И s j-c,r, і , г
( S (y HZ'1)	однозначно			разрешима,		а оператор
	н	3-			t - o
						■Х-0
осуществляет		изоморфизм пространства					Н s	i,s~
и пространства			H S-j, і,-в, у		і,г Ф		<£ 1.
З а м е ч а н и е				1 .5 .	Как мы		видели размерность ядра
оператора
А; Н			±,s------U !>-2, і,-°> -г- і - *

равна 2 . Интересно отметить, что поскольку размерность ядра какдого из операторов - блоков, стоящих на диагонали матрицы (3 2 .5 ) равна 2, то при любых S , С оі+ < ^~ )

раэрерность ядра оператора

^ ' М s> t.-O 'S, i , r — * И s-а, d.,~o,r, l,s~

четна •

<U'K ktv Л е о

£)

- 185 -

в)Полягармоническое уравнение. Рассиотриц теперь более ин

тересный	пример -	полигармоничѳский оператор
										(35 .5)
Операторнозначная функция							имеет	вид
	F “'	*		F
	^ k-» X /■			F		>
	( г г-)сіу			и* -**		>
а, следовательно,		ее	полюса суть			целые	числа
	2 =	d	1*1	,	ы р , 1 і ,		d2j . . .
причем каждый полюс, кроме нуля						имеет	кратность	іч	,	а полюс
2 ~ О	имеет кратность				А «с
В матрице типа			(32 .5)		блок,	отвечающий точке			і	®/ kl (dkl)

К + о имеет вид

и разм ер ѵм ^ f ' o

, а блок, отвечающий точке ? — о имеет

вид

и размер	Я.МУ	•
Собственные		и присоединенные функции, отвечающие точке

■iz-o суть постоянные

і , і , • • * - 187 -

и, следовательно, пространство решений уравненияй и ~ ° > отве чающее точке ті-^ о I*- - мерно и базисом его служит функции 1 ы-і

і ,	-t,			•І
і ,	-t,
Собственные и присоединенные функций оператора Т)
отвечающий точке		2 - - l kl		и	2 = - l * )			суть	функции
Ctcx.	-t'iqx.			0«рг		-
Такимe.	образом,p		пространствоe .			t
Такимe.	образом,p		пространствоe .			решений		уравнения		A V	,Ö
отвечающее	точке	і = \| К \|		и	a * - \|k/ также Л>ч				-мерно. Его
базисом Служит функции
е			>-т-	е		> ■" >		в
						> ■" >		в
Поэтому для любых чисел					5 ,		ы 4 ,	оС— (	СІ ±	£^')
размерность ядра		оператора
	А	' Н	^>,1,^4,и.		—	*	f~tS- ^ *<; ^		4 нэі—
делится на	^ >к-'.
	ckw		й ѵ л	= О	С	уи0с^ ^ *<) .
2 . Уравнения в пространстве						h[ £ I ifI0^-4 ycj—			(J oi —<		■f'

В этом пункте мы рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве tjs, f,C*-+-/ol- С oL_ <r o<-t- f ВЫЧИСЛИМ ДЛЯ »ВГ0 КОЯДрО

и решим одну кограничную задачу. Однако, пожалуй самым янте-

- 188 -

рѳсным моментом в этом параграфе является явное вычислен» операторов P- к .Н а конкретном примере, котоый мы расснатри ваем отчетливо видна структура их и в общем случае,

а) Итак рассмотрим уравнение Лапласа

	— ,	^	(36.5)
	Будем искать реиение в пространстве		Hsfi
для	J e H s -з

Формальное реиение семейства уравнений

U M * г ги - £ (* ,* )

дается формулой

(37.5)

£ г- к*

где, как и раньше у

I ~t

і'Ю*.

-с'къ

(38.5)

ü C z i i ) =	ѴГѵ	7 ~ -
	ѴГѵ	£— ‘
		К«'"'

Ц Ъ ' Х ) = J

- 189 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ