книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

пространством |R

, а цилиндр С есть

И+1 -мерное векторное

пространство

Ю^ f1

ІК

Далее,

поскольку финитные функции плотны в пространстве

Н s 'jf 0L4 J-

> то

нУнное неравенство

:

достаточно получить на функциях с компактным носителем,

что

было сделано (и в более общем случае) в главе Ш.

О п р е д е л е н и е

2 .5 .

Общим формальным (дифферен­

циальным)

г р а н и ч н ы м

о п е р а т о р о м

называется

формальная композиция

А о V

дифференциального

выражения

D

и элементарного граничного опе­

ратора

J .

П р е д л о ж е н и е

2 .5 .

Пусть Т) -диііхЬеренциальное

выражение порядка

nt- с гладкими коэффициентами. Тогда.если

S > пх і

Jit*

у

то формальный граничный оператор

J о 2>

опре-

а.

И

S

/

j . , .

С

с )

.

Д о к а з а т е

л ь с т в о .

Следует из непрерывности

сомножителей

Т) и

сі .

Пусть

^

0

^

,

£ )

-

H S

' f , o L + , d -

C^)

,

-

Тогда для любой функции

j é

H r- іц,

и лвбых (комплем

ншс)

чисел

& (Г ,j-= 1 ,

j f существует и притом единственное

решение граничной задачи (8 .5 ),

(9 .5 ),

принадлежащее

простран­

ству

И £,

;<л_ ( С )

и

д л я

любой функции

и. Ѳ

Н S, у,«л.+ ( .С-

справедливо априорное

неравенство

М

s,jr,ci+/0k-

^

С о*И

’

| & . ѵ | )

J у >

где

постоянная cokyt

не

Зависят

от функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как мы выяснили в предыду­

щем параграфе^ общее решение уравнения

(8 .5 ) зависит

от -^ п ро­

извольных постоянных

и имеет

вид

C^UCr,t)

Je'W 3,t4F,ft«e^

***=<*+

Подчиним функцию

и С*Н)

^

граничным условиям:

І ~{о -

Г

С*

f

8,- 5"

г--X.6

L

4

)

+

г

*

+

J

5 у

' b(£' t)e d) г F ,

(I I .5 )

_ / О +

^e ? = o i f

t

-

i

UCiX

Re г=л_

X = x 0

невырождена

так, что из

линейной алгеораической системы

( I I . 5)

числа

Cg

определяется

однозначным

ооразом, причем в силу

условия

с) в определении

квазиэллиптичности

граничной

зада­

чи все числа, стоящие в последних двух

членах

равенств

( I I . 5)

конечны. Этим доказана

однозначная

разрешимость системы

( I I . 5)

а следовательно, и

граничной

задачи

(7 .5 ), ( 8 .5 ) . Находя

из [

системы (7 .5 ) постоянные

Сg

и оценивая

их модуль

через

числа :

а . =

J o

Q - i c

f r i

... У

т получим

априорную оценку

(9 .5 ).!

Теореыа 2 .5

полностью доказана.

j

§ 2 . Квазиэллиптические уравнения в пространствах

И ^ >у, Л+ ,

С С )

С

<

»1 + .

I . Теорема о мономорфизме.

Т е о р е м а

3 .5 .

Пусть

С с )

С1* - 5)

квазиэллиптический

оператов. Тогда

для

всех чисел

s

и любых

чисел

* oty .г. -f

исключая

некоторое

дискретное множеств

чисел на

оси оператор

(1 4 .5 )

доноиорфен.(а,

следовательно и

гомоморфен). Более того, если оба числа

и

конечны, то

этот оператор имеет конечномерное коядро.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Наша задача-выяснить

условие

однозначной разрешимости квазиэллиптического уравнения

Ъ iLCxd■) *

fOc,t) .

После формального

оі

-преобразования Фурье

уравнение (1 2 .5 )

переходит

в семейство

Ъ О ,

* * , - & * - С»іі) =

# с , 3 )

(1 5 .5 /

уравнений

на многообразии X

» параметризованное

комплексной

прямой

. Отсюда,и

в

силу

определения пространств

у,а*, А.■

следует,(Г

что задача

разыскания решения уравнений

(1 2

.5 )

эквивь

Hs,

ций: требуется найти решение уравнения

(1 5 .5 ),

аналитическое t

лолосе

оі- < h t i *

<*+

• Формальное

решение

задачи (1 5 .5 )

дается

формулой

Ч С ъ і ) =

-b't(Z)

.

(1

6 .5 )

Выясним условия, при которых найденное

формальное решение

(1 6 .5 )

будет аналитично*. Как показано

в главе

I функция

D''(^

t f 1( г о

= R _ n

( i -ъ )

+ . . . +

R . d (i-io ft+ fa t-- ■

с

конечномерными операторами

f t - * , . . . ,

R ~ i.

i

Легко

видеть,

что

для

аналитичности функции

и.(*,Ъ)

необходимо

и достаточно, чтобы

в точке

полюса 2 = fo

(если тако­

вой существует

в полосе

оL-

<

)

функция

і Х х , £ )

ЯЛй.

1

удовлетворена следующим условиям

d

Ъа

(1 7 .5 )

I

; ' '

/

•’

t -

° j - ••/

»с- i

I

В

силу конечномерности

операторов

Я-*-* ъ-

условия

(1 7 .5 )

^

образуют конечное число соотношений на функции

-f

Сх >~к) •

Действительно,

рассмотрим,

например, условия

(1 7 .5 )

при

£ = ©.

Пусть

е !

С^Сх.)

-

базис

в

J M R-

к ,

то-есть

в пространстве

собственных

функ­

ций оператора

. Тогда в

окрестности

точки

?0

вектор

R - t

&)

может быть разложен

по

этому базис;

УѴ '

і

f--/

■

s

Потребуем, чтобы

■

i

[

Cr(го) = ...

=

c / ^ ( Ä js 0

(

Ci8.s)t

для всех С~

i j . . . ,

)ѵ.

.

Коэффициенты

^с(і)

выражаются

через вектор

R -ц

по

известным формулам Фурье:

( R - i c f f a z ) , f ( x ) J

>с-= 4 - ^ •

Таким образом,

условия

(1 8

.5 )

приобретают

следующий вид

С Р ‘ к

№ ’ *>), * ' ( ” } )

« О

,

( В - * £ ( ;^ г » ) ,

^

( І9 *5

Поскольку

f a i

) -

-f <*>

I г гЬ f C r , №

I

е

( R-k.

t) , ісЫ ) №

=- О

-о *

(20 .5)

-f оо

f

/

-2ot /

,

. , , _ _

J

€

P - f ( c i - ( > , • £ ) ,

c< t-0 >

Так как каждая особая точка функции

D W О ' ? ) * , - * ;

!

является полисом конечного

порядка, то, в окрестности

каждой

точки, для принадлежности решения пространству

ol~ л

на функцию

f'C'Xi'k)

необходимо

наложить конечное

число уело

вий

вида (2 0 .5 ).

Теперь для

завершения

доказательства

достаточ­

но

заметить,

что

в каждой

полосе

о і -

^ R t i * <* +

(2 1 .5 )

!

имеется разве что конечное число полюсов функции

Следовательно, при конечном числе условий функция

ф “1 £ {& )

j

будет

аналитической

в полосе

(21 .5) и,

таким образом, топологн-j

чѳское

коядро оператора

Ъ € * / * & * ,

конечномерно.

!

Докажем теперь

априорную оценку.

Предположим,

что на п р я -j

мых

R t i -

tJL-

j Ä c -2 =

oL+

нет

полюсов функции

Ъ~'(2),

|

Тогда,

повторяя

рассуждения

теоремы I

гл .I

мы для любой функции

М Ш ) * Н 5|Г,ы+і«і_П0ЛУчин неравенства

11 Ч

S ,f,* +

t

cou rt

1

( і і й к і

«ц)

,

ilUl l £llf,*.

Г * 1*4 s.„,

где постоянные

^ и

не зависят от функции U.. \

4 lU < r,*w - *

09

><ГI Ыч)^~

Из этого неравенства

следует замкнутость области значений

- 177 -

{

с* Cxe/t cJ •

Д о к а з а т е л ь с т в

о

очевидно

О f,с )

(-f,Sc).

П р е д л о ж е н и е

5

.5 .

Пусть S >

. Тогда

(Г

If,

Поскольку■

Д о к а з а т е л ь с т в о .

оператор и его

сопряженный непрерывны

одновременно, то предложение 5 .5

следуеі

из предложений 1 .5

и 4 .5 .

j

Пусть

теперь

ЪСх, { ^ x . ,

- .............

диф­

ференциальный оператор. Тогда мы введем следующее^

О п р е д е л е н и е

5 .5 . О б щ и м

ф о р м а л ь ­

н ы м

к о г р а н и ч н ы м

оператором называется композиция

І

Сх I

^ * / 'J-t J *

е

)

(2 2 .5 ) ■

П р е д л о ж е н и е

6 .5

Пусть

"й

- формальный

диф- j

ференциальный оператор

порядка >н

с

гладким символом.

Тогда і

если

s >

rut

}

то

формальный

кограничный

оператор

(22.5)^

определяет

непрерывное

отображение

j

Ъ Л

:

С

$

t'f ■, оЦ,ol ~

[ С).