Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Доказательство,			Мягкость реализации по с*.				доказывается
вполне	аналогично с		соответствующей		теоремой из		гл .І.
Мягкость реализации				по S означает,		прежде	всего,	что	длі
всех	SG	Л [м -					число		грг
ничных операторов			>	постоянно. Но из		условия ( I I . 4) сле
дует,	что	при каждом фиксированном			V график функции			2£ у (S)
имеет	вид


Таким образом, если			S	принадлежит интервалу (4 8 .4 ),
то для квазиэллиптичности			оператора С t)i В) необходимо задавать
одно и то же число граничных операторов.
Далее	из теоремы о частичности регулярности следует,					что
в пределах	интервала	(48.4)		реализация	мягкая, что в силу	дис
кретности	множества	осооых		чисел оі	во всяком случае влечет
за собой мягкость реализации.

Теперь уже нетрудно установить точную область мягкости реализации (4 6 .4 ).

- 160 -

Кваэиэллиптические уравненияГ Л А В А					вУпространствах.		К
В в е д е н и е
§ I . Кваэиэллиптические уравнения в пространствах								Н S(
	С	olf <		oL..
	1 . Teopeua об эпиморфизме.
	2 . Теорема об изоморфизме.
§	2 . Кваэиэллиптические уравнения					в пространствах		Н	s,
	0	^ -	<	<А+-
	1 . Теорема о мономорфизме.
	2 . Теорема об изоморфизме.
§	3. Примеры.
	1. Уравнения в пространстве					И 5іУ,<*+)С/и	С	оЦ	оі
		а)	Уравнение Лапласа.
		б)	Полигармоническое		уравнение.
	2 . Уравнения в пространстве					Н S, jf, «м-, Л -	с-		<'
						'			і-(

Вв е д е н и е

Вэтой главе мы построим Теорию разрешимости для кваэи-

эллиптических уравнений в пространствах				типа Ң s , <<4	.
Эти пространства		были введены в гл .І, и^главах П-ІУ
играли вспомогательную роль в вопросах			разрешимости: для
				«•
случая постоянных коэффициентов мы их. не				использовали вовсе,
что же касаѳтоя переменных коэффициентов, ^пространства
Н Si у, <*.+,	С О	использовались		лишь как техническое
средство в ходе доказательств теоремы конечности. Мел^у тем
теория квазиэллипуических уравнений в пространствах

С еС ^

M S i J f i c i + j s J . -

t которую ш развиваем ниже,

весьма интересна и ух во всяком случае богаче. В самом деле, включая как частных случай ( <£а- =- d-- — oL ) , всю развитую

выше теорию, она содержит ряд новых эффектов, которые отсутств

вали в предельном случае. Главный из них состоит в том, что да хе в случае постоянных коэффициентов уравнение ухе не будет

вообщ° говоря однозначно разрешимым, а будет лишь нормально разрешимым. Отметим также, что мы рассматривали в этой главе лишь случай компактного многообразия X без края. Изучение кра евых задач для квазиэллиптических уравнений в пространствах

И S, j-,'<*ч I <^- , а также проблемы С.Л.Сиболева проводится

по-плану глав Ш-ІУ с использованием результатов настоящей гла вы.

§ I . Квазиэллиптические дифференциальные, уравнения								в
пространствах			H s , y ,	* + і0и с		с	.
I . Теорема об эпиморфизме.
Т е о р е м а 1 .5 .					Пусть		-квазиэллип
тическое	дифференциальное				выцахение	рода 'jf	и порядка	>^	и
пусть - о °		^	оі +	^ -і	Тогда	опенатоп
Э	:	Н	,0(+>с<s , у -	Сс)				^ 1	* 5 ^

эпиморфен (а,следовательно, и гомоморфен) для любых веществен ных £ ■ и любых вещественных d 4 и ^ _ - за исключением некоторого дискретного множества. Более того, если оба числа

иotконечны;

— О 0 <£. 0/4 <

-f- О О г

то (эпиморфный) оператор jj) имеет конечномерное ядро.

- 162 -

Д о к а з а т е л ь с т в о . Общее решение уравнения

T t J и	(2j '
складывается, как известно, из	частного решения и общего решв'
ния однородного уравнения
' Ъ С х < Ъ х , Т г ) г с - 0	.

Остановимся вначале на первой части задачи. Пусть

2.
Г Н с і і ) = і	-
с

гладкое разбиение единицы оси

1, )

Ъ Ш

ö , t * 0 .

0 , - t r i ,

1 , +<■■ о

Тогда

j-fx-тУ^X"Ч ;с(*Ь ) f - C x it ) - F iC x .- i) - t h i f a t y t

где

F cCx'ü

Поскольку

-16

J'Cx-t'k)

s- ы,

у , *

(

£ )

* то

<t) е

'H s -N .

л f

( c )

!! F,Ü S-«. г, *4-

f|| i .Wl r,

(lu5)

)

И F i

I !

s - N , Г , * -

* f

l /

s . * , , r , A 4 ,

( 5 - 5 )

Поэтом; уравнение

i M

)

имеет ж притом единственное

ревение

U j C x t é )

& H s t f iaL+- ( с )

для

всех

любых яеосойых

изболев

того^для этого

решения справедливо следующее неравенство

ц і I

s , w +

Fiji

(6 .5 )

Аналогичном образом,

уравнение

Т)1:Сі<2)*.,ff-J

^f i C x i t y

однозначно разрешимо в классе

дан всех

■ любых яеособых

для

решен»

справедливо,

неравенство

1 * Н І 5 ,У ,* .

IIFj §

(7 .5 )

- т -

Положим	теперь
b'Crtt)	=	K i f r i 't ) t	.
Непосредственно		проверяется,	что функция	1г(^,Ь)	является
(частный) формальным решением уравнения				(2 .5 ) . Более	того для
нормы функции		справедливо неравенство

I I ѵ ч

i ) " ,)é - ~Л

£■

(

и л

е р а в

|f Wi

II s , $}еЦ/0и

■+l! U i ЦS/ft

)

* (в силу предложения 2.2)

И ч

I I S . r . ti l ^ I I S,

. i

c“ y

<6’5)l

<7-5»

Итак,F,|| s.„,

■j-Cxrt)

& И

( , - 5 ) '

( 5 - 5 ) )

<а1‘-

< *

c “

If til S>-I4,f

•

для

любой функции

I е**

и неособые

)

найдено некоторое

решение

v-Cxrt) £ Ц $,)[><*+,6 -

Этим доказана

эпиморфность,

а,

следов .тельно,

и грмоморфверть

оператора(і.5.) Исследуем теперь ядро ajePP

оператора Н РйучйР

конечных чисел

сА+

Для

Р?РР0 найдем обВее

решение

однородного уравнения' ( 3 .5 ) . Формальным решением еемеИотва

еди

нородных уравнений

служит ряд

Ьс-І

21 21 Сіе/С*) $ 3(*~ 2 .)

к.f - °

Здесь комплексные числа

суть полоса мероморфной функции	Z)	с кратностям!
г і і - - •» ^ к/ - * ■
и при кахдои іс функции	суть собственные и присое

диненные функции фредгодьмового оператора

Ъ С - к Ъ г и :НМ)-+Ні-у* СЮ-

Нетрудно видеть, что для принадлежности формального ране

ния

Uoі),гт(	= TZ	Т
	*-	)
пространству	Н з « Г к М - ,/ - СѴ		необходимо	и достаточно,
чтобы все коэффициенты		CKJ'OXJ	при членах	t 1 c~ * «.
	&	CcLt}°l~ )

обращались тождественно в нуль. Таким образом общее решение

уравнения ( 3 .5 ) , принадлежащее пространству		< А -
имеет	вид
и (■*, t) =
	V5?
	Л+.
^Ifcl	f €*•$[)FtLb)db-tT Z Ciu'C)tU	-Ъсі
	* /	t
	* /

где в последней группе суммирование производится по всем поли сам мероморфной функции ЪЧС* > ~ £ ) , расположенным в полосе

		</+	£	Rt і *	- .
	Ита^иы показали,			что решение уравнения (2 .5 )			из класса
Hs,jrf ^ t , ^ -		- существует при любой правой части					$-Lx,iJ&
Hs-Mif.J-t ,		d — для любых вещественных				чисел S	и в том слу
чае,	если на	прямых	f t i z -		}	нет	полюсов. Бола
того,	поскольку при каждом к					и
					пространству собственных и присо

единенных функций суть конечномерные пространства и тая как в

каждой конечной полосе ^ PcZ содержится лишь конечное

число полюсов (считая с их кратностями), то пространство реше ний однородного уравнения является конечномерным пространством.


Этим доказана	конечномерность ядра				оператора (1 .5 ),		а вместе с
тем и теорема	1 .5 .
2 . Теорема		об	изоморфизме.	В	предыдущем пункте		мы	показа
ли, что оператор		(1	.5 ) при -	■< оі+ с		4 »«эпиморфен		и име

ет конечномерное ядро,. В этом параграфе мы сопоставим оператору

(1 .5 ) некоторый другой оператор (добавим некоторое (конечное)

число "граничных" операторов), который уже не будет иметь ядра

(и коядра), то-ѳсть будет изоморфным.


	Рассмотрим	вновь	однородное		уравнение
	1 ) 4 =		О .		(3 .5)
В	пространстве	Н s, If,		.ц ,о і-	согласно п .І решение Ч
^	этого уравнения имеет			вид

- 167 -

u £ * i t ) = Ц		T с к . - (х )
	*	)
Функции c Itj’ с>)			суть собственные	и присоединенные
функции	оператора	Т)Сх,	. Иначе	говоря, при каждом к
функции	City6 0	СУТЬ решения следующего уравнения

Как мы ухе отмечали, пространство решений этого уравнения конечномерно. Обозначим его базис через

Тогда решение однородного уравнения (Э .5) меяет быть за писано в виде

« c * i t ) = ZT	C=t) t Je * e4C Cx; .
V.

- 168 -

Для упрощения обозначений перенумеруем теперь

вектора базиса

!“*

£ (х)

С '

ІІС^-

и обозначим их просто

Сг*

*■

( s - д

В этом случае любое решение

uQxti)

уравнения (3 .5 ) за

пишется как

линейная комбинация (над

£ )

векторов базиса

uc*rtj='zr СсісС*»& .

( 6 S)

Введем

понятие граничного оператора (-ер.гл.ШДУ).

Пусть С

- произвольная

точка

на цилиндре.

О п р е д е л е н и е

1 .5 .

Формальным

э л е м е н т

ар<

н ы м

г р а н и ч н ы м

о п е р а т о р о м ,

ассоциирован

ным с

точкой

ІХ /

называется

отображение,

сопоставляю

щее каждой функции

-fCx' X)

на цилиндре

ее

значение

точке

( х

°i~tc)

d : f o y . — *

( i - v

yit-1

П р е д л о ж е н и е

1 .5 .

Пусть

S >

. Тогда

элементарный граничный оператор определяет непрерывное отобоа-’ жение

Н Д1 оі4, et- С G)	*	<£ ,
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Очевидно, теорема носит

локальный характер. Поэтому, не уменьшая общности, можно пред

положить, что многообразие	X является Ѵ\. -мерным векторным
- 169	-
V

/■

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ