Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

t> C'ft *%■}, i) U 1=i - J) '(y, ^?) u° ( bce-J /nH'H-t)

или, что эквивалентно, решением уравнения

	ъ) и	' ~	3		г) иЬ'і	*
					u	*
во	всем пространстве		1^7
	Как и в п .З,	мы будем		искать	асимптотическое представле
ние	функции U-1 & И £			в виде	(формального) ряда

и, как и выше, оператор 3> представим в виде формального ' ряда

3)	е Ро + Т)л * ■• • ,
а оператор -	D ^	в виде формального ряда
- Ъ г =		Э / + ; Ъл'->
Будем искать		компоненты ряда	(4 0 .4 ) как решение			следую
щей системы уравнение с полиномиальными коэффициентами
	М	О	\		I
	М	О	\	-V	4>*'’д
		V			4>*'’д
	\ \				-	(41.4)
	\ \				-	(41.4)
					V	/

- 150 -


Матрица системы			(41 .4)	совпадает с матрицей системы (33.4)<-
однако система (41 .4)			имеет				А
				другие правые части по сравнению с ;
системой	(3 3 .4 ). Иху однако,			можно вычислить, пользуясь полино-;
миальной	структурой операторов				Со , ѵ \ } - ••	•
Проведя эти		вычисления,		мы убедимся, что		правые части	;
суть (формально)		однородные		функции порядков-?е-Ѵ , - * - ѵч і , . . ;
Разрешая	систему	(4 1 .4 ) в классе			распределений (с помощью пре

образования Фурье), мы как и в п.З получим, что ее решения суть

функции									j
			\|-(j (м3 )		^			(42 .4)
								(42 .4)
			rj^CcO			*■
причем верхнее значение в формуле							(4 2 .4 ) берется в случае		чет-1
ности числа			щ - у -		-сq	и нижнее	- в противном случае.		і
	Если теперь			мы хотим		изучить	асимптотику	присоединенной j
функции		К	-го	порядка,		то-есть решения сравнения			I
			^			tti«.	( ***4 0>+ги£))
								J '	I
то	мы должны разложить в формальный ряд все							онераторы	1) ,
1) 1і	.. •	, Э	"" после		чего	придем к системе уравнений

- І5І -

Эта система квазиэллиптическая с полиномиальными коэффици

ентами, а правые части, как мояно показать, суть (формально)

однородные функции, порядков - ѵ - ѵ}~ * - у +j_ .Е е решения,

которые могут быть получены с помощью преобразования Фурье^сновг' служат функции вида (3 7 .4 ),(4 2 .4 ) .

Итак, утверждение Горемы для случая, когда граничное под- • многообразие состоит из одной точки полностью доказано.

- 152 -

Перейдем теперь к доказательству теоремч в общем случае

подмногообразий, имеющих произвольное число измерений. Применяя

схему,

изложенную

в п .п .3 ,4

мы

получим

гладкое

семейство

уравне

ний

вида (3 3 .4 ),

(4 1 .4 ),

(4 3 .4 )

для

композиций

соответствующего

формального ряда, параметризованного точками многообразия

Теперь можно "поточечно"применить схему и рассуждения

п .п .3 ,4

полупить нужное представление-, причем гладкость функций

вдоль

многообразия

Х-р

будет следовать из теоремы о регулярном

решения задачи Соболева вдоль подмногообразия, которая была на

ми доказана

в статье

Таким образом,

теорема

3,4

полно

стью доказана.

§ 3 . Квазиэллиптические задачи типа С.Л.Соболева

на

беск о -‘

нечном цилиндре.

Пусть

“

гладкое

компактное многообразие

без

края

'С

ег0

подмногообразия

коразмерностями

- p

Се - м

X а

с*

Rм а

ц и л и н

хд

м К н

Координаты (зг,

прямого

произведения

в цилиндре

Син-,

дуцируют координаты в прямых произведениях

Х,р

* R 1

кото

рые

мы

будем

обозначать

через

( х -р,~Ь) .

I .

Функциональные

пространства. В главе I мы

ввели простраі

ства

Н s г КI

С с )

с помощью положительного оператора Лаплаі

са

, ассоциированного

некоторой

римановой метрикой

на

многообразии

Эта метрика,

которую мы считаем фиксирован

ной,

ивдуцирует

римановы метрики

на подмногообразиях

Х^>и,сле

довательно,

можно корректно

определить

(положилельные)

оператор:

Лапласа	Д р	на		подмногообразиях			А.^ .	Это позволяет			ввести
следующие	функциональные пространства.
Определение			9 .4 .		Пусть	( s ,	Г; * )	-	тройка веществен
ных чисел. Под						ш	0УДем понимать			пространство
распределений		с	нормой
« tlls'w		-	J	І І Ы Ѵ		ігІГ	О	Ч	^	.
Аналогично			вводятся пространства					Н S, У'юЦ(0*_
2 .		Граничные			операторы элементарный и общий						вводятся

шенно также как это было сделано в главе Ш. Сформулируем основ

ное утверждение непрерывности.
П р е д л о ж е н и е				4 .4 .	Пусть	коразмерность	многооб
разия Ху в		X (а следовательно			и Cj, в	С ) равна	.	Тогда
граничный	оператор
Ь - р	;	К	JT( С)»« *		^	S - ^ f		С C p )
порядка		является	непрерывным отображением,если				g> R
Д о к а з а т е л ь с т в о					проводится аналогично			дока

зательству предположения гл.Ш с использованием соответствующей

"стационарной"		теорией		об ограниченности.
	3.	Задачи для уравнений с коэффициентами, не зависящи
от	времени.Пусть		Q -	)( у $ 1	цилиндр и	Cp	Хр *№ ^ ?
^	-С. -	цилиндрические подмногообразия				цилиндра		С е
коразмерностями			(? С )	равными	Yj» . Раѳомстрим		задачу	С.Л»
Соболева				тг,,

f M	) ( w d V C p )			( 4 4 .4 )
				( 4 4 .4 )	t
^D' C * ,C* K C ft) V-Cx/t) = tyft'Cx-F, t )		* a C f ) f *	y £	. (45 .4)
О п р е д е л е н и е	1 0 .4 .	Будем говорить, что		задача	!
(44.4), (45.4) к в а з и э л л и п т и ч н а ,			если семейство		і

( b , b ) ( v . - n Sl1		( X )		Н * ч , г ( Х ) /				f	н
						/т б VCf
Ö>	, 8	)С 2 ) =		( р С і),		Ъ ( ы ) ^				I
Ь і і ) = Ь с * , я > Хі ь)									■	I
Ъ	С	=	ЬОс/		^5*, г)					I
квазиэллиптично в смысле				§ I	при	всех	Ъ	с	Rdfr— О .	[
Т е о р е м а		4 . 4 .		Пусть пара			( J ) ^ J		квазиэллиптичне
Тогда задача Соболева			(4 4 .4 ). (4 5 .4 )				имеет	и притом единствен
ное решение u F r U . t j ^ Сс)					для	любых правых			частей іСхгідв
,	f n ' f r „ l ) e			Ms-6j,f		- £	f t p ) ,		М іу щ ч е ш е м

некоторого дискретного множества (особых точек) на вещее-, венноі


оси. Более того, для любой функции				C t y	(°* -Hf
особое) справедливо следующее		неравенство
особое) справедливо следующее			1
• u l l s , r . A * o w	( « D		i o i i іе ,	f	)

- 155 -

где постоянная ceu-Ft

не

зависит

от

Функции

Д о к а з а т е л ь с т в о

аналогично

доказательству тео

рем существования главы П и Ш.

З а м е ч а н и е

2 .4 . Если

реализовать

дифференциальные

выражения (£>,£>) как (непрерывный) оператор

CD/В )

W -

Ф й г

ѴСр

c f

) ,

то для кваэизплиптического оператора ('Ь/Ь) справедлива теорема

об изоморфизме.

4 .

Асимптотическое

представление решения

вблизи

граничны

подмногообразий и при -fr

.=*

t>° .

Т е о р е м а

5 .4 .

Пусть

функция

и(х.і~к) Ѳ- H s,f,d

Сс)

и пусть,.функции

4Сх, t ) £ Нs

(с )

, f h -fr Hs '-*>/

где

d. X

Ы. i

}

S *

^ . Тогда в некоторой трубчатой окрест

ности

подмногообразия

С^>

решение

и.[а, -6)

задачи

(4 7 .4 ).

(4 5 .4 )

может

быть представлено

в следующем виде

z f ' - é

‘е

- г ‘ Ѵ

Qc *-<j Сш) p

•м- i - X t j

-t

С=о

[ ?

и ( - І )

■

)

(46 .4)

) 4 U i C

Здесь

Оц.-ц

(X )

- бескрнечно-дифференцируеные

функции

в труб

чатой

окрестности

многообразия

Cj> ,

расстояние

от

точ- і

ки ( а

t )

до

подмногообразия

С ^

. Внешнее

суммирование

производится

по

всем полюсам

156

с кратностями
лежащими в полосе			оі *	ßt £ /. oi х	I	а	остаточный		член
	& И s	Г, іи .
	Д о к а з а т е л ь с т в о				проводится			по плану, осуще
ствленному в теоремах об асимптотическом разложении в главе П
и Ш. При этом		внутренняя		сумма как следует из результатов гл .І,
представляет собой собственные и присоединенные функции опера
тора Соболева-Штурма-Лиувилля, Асимптотическое представление
этих функций вблизи граничных подмногообразий было получено
нами в § 2. Используя этот результат,						мы и получаем формулу
(4 6 .4 ).
	5.	Задачи для уравнений			с переменными по				£	коэффициен
тами. Пусть		Ъ С к ,			-	дифференциальный				оператор
порядка с гладкими коэффициентами и						g	C^fb			—
j ЪруC*<		-éj	'^ti) Ip-i		~ систега			граничных		операто
ров	в количестве, указанном в' § I . Реализуем							"пару"	С 'Ь/ Ъ)
как	оператор
ф/ 2>)	: HSJ K* Сс )~* Ms-,?/
	О п р е д е л е н и е			І І .4 .	Буден		говорить,		что	оператор
(4 7 .4 ) к в а з и э л л и п т и ч е н ,							если он является тако-
выы на каждом сечении			"£	Ьо цилиндра			С •

- 157 -

? è о p e u а 5*4* flyen апеш ор (47.'.> к в а ^ ш и ш - чен и пусть

’производные коэффициентов экспоненциально убывают с некоторые типом

Эк<

V ^ c c i f f C b ? )

с кі К^е

Тогда,

если

оі.

неособое,

что оператор

(47 .4)

Фоедг о л ь м а ц

и для

лриой функции

u . ( z i t )

&-Иs, if)

* -

справедливо

неравен,

ство

« f l ,

/ Ч

)

г/

'“Л,*,

где

5 ^

оіч <

Д о к а з а т е л ь с т в о

проводится

методом,

предло

женным в гл,П с

использованием теоремы 4. 4.

7. Регулярность

решений.

Т е о р е м а

6 .4 . Пусть

0> ) & ) ■ Н S i T l J

Ccj

-»

f-J ; , ІЦі у(Ct С с ) /

47.4'

158 -

rw J ОСр в

7 .

квазиэллиптический дифференциальный оператор и пусть число неособое. Тогда этот оператор гипоэллиптичен в каядой окрестно-

сти

многообразия

С \

С р

в окрестности,

содернащей точки

границы оператор^

гипоэллиптичен

по переменным

ft) частично

и "касательным" к многообразию

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует из частично гипо*-

эллиптичности семейства

и левой

почти

обратимости

(при

не особых

)

оператора (4 7 .4 ).

6 .

Мягкость

реализации.

Т е о р е м а

7 .4 .

Реализация (47.4) мягкая. Область

мягкости

есть множество

точек

(J!, d

(Р2-

> где

ѵимг

(1 р }- + J f

* -2 p . X f - i,

Таким ооразом,

область мягкости

для реализации

(47.4)

заполняет

полосу (48 .4)

за

исключением прямых

d -

d ec ;

/ /

о *

■'/

*ос.

/ /

•Ѵм

■ /

<А Ос-

/ .

г1 ос.

- 159 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ