книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

четно

U1 О ) =

■<

(26 .4)

С*)

-

бесконечно дифференцируемые функции в трубчатой

окрестности,

а

Ъ

-

расстояние

от точки

до подмногообразия

I

о п

з

а I

е

л ь с в о

этой теоремы разбивается на

3. Асимптотика

собственных функций. Пусть Uo = и. f- H t { X )

соо'ственная функция

оператора Соболева-Штурма-Лиувилля,

принад­

лежащая собственному значению і о . Это означает, что

функция

Ъ ( х ,

іо) И

-= Ö

С

. )

(27.4)

юс*)

-о

но,

U Xyf

(28.4)

J > 0 ^

я * Г

5)“ ^

) .

1*1* X

Здесь

*

; ;

і и =. if /f ^.... -г

\ % ( . $ ) -

Пусть функция

Kf^)

•йе

-

*

B

C<R^)=Hs

согласия с определенна 8.4

будем искать асимптотическое разло­

жение функции

Kty)

в видэ

(формального)

асимптотического

ряда^

U=

U e f U n . . .

t

где

f

t t i ^ v = - 0

H s t * ' <J

(32 .4)

Для репения этой задачи разложим коэффициенты оператора

Э

* Е а*.(у; '3*

(по

предположение гладкие функции £ ) в формальный

ряд Тейло­

ра,

записывая

их по следующей треугольной

схеме

О

с

J

+ Ö-4« 2•+

а * * - •

3

t О - Д -t 7 +

О іл*- Ь

а

L

А

ІЛ4- V

+ а 4ы- 1 Ѵ . . .

&Хч- Ъ

< 4 І А + ■■•

0 ~ім.

GL.

%

а Д , Л \ ~ .

А.'«-

п

O'1“’1-

*■

Іы-І

і

^ІЧЛ-Ѵ

OL. .Ч

75

Л

5»-1

в ‘ - ‘ ч г '

a * . . , » 1- ; *

Ъо = й ,°

Ч) ^

)

2Ку

**

I w ' J

Таким образом,

оператор ^

мы можем представить в виде

формального ряда

—'Іо

+”*> 1 +' ■

системы уравнений

!

где

через <2>,£,(3>s t- f

мы обозначили формы степеней

х

j

от

дифференциальных операторов

д у і.> -

^1,у

*' 'l

Систему уравнений

(3 3 .4 )

можно явно решить. Мы этого

для

j

простоты делать не будем, а решим ее лишь

по модулю кольца

\

[

полиномов.

j

Из предположения

(32 .4) следует,- что

функции

И»,

.

.во

всяком случае распределения

над пространством

-

финит-

!

ных бесконечнодифференцируемых функций. Правые части

исисте- .

ме (3 3 .4 ) также являются распределениями

над тем

же

простран-

[.

ством. Поэтому мы можем перейти в системе

(3 3 .4 )

к преобразова­

нию Фурье (в смысле теории распределений

В результате

;

-Ьо

Г

v

V ■

(3 4 .4 )

V ‘ -

Здесь через

мы

обозначили

переменнуі

двойственную к

переменной'

^ =

.

у * )

относительно

преобразования

Фурье

F

и

■

b

f =

F

-

*

-

э >

г

F

Система (3 4 .4 ) решается рехуррентно. Из первого

уравнения

'Х ~

-V

Do

U0 =

следует,

что

(35 .4)

где

(о =

V

}

- распределение,

отвечающее обыч­

ной

(формально

однородной)

функции

f ^

и

fco)

—

бесконечно дифференцируемая функция (поскольку оператор квази­

эллиптический).

*

!

(3 6 .4 )

где

через

101 обозначили

кольцо

полиномов с

комплексными'

коэффциевтами

от

переменных

.

Продолжая этот процессами

можем найти компоненты

...

с

любым сколь угодно

большим

номером при этом

' V

-

t-тН'У

f , ' “’) ?

и,

в силу квазиэллиптячности

оператора

все функции

<ь~0} 1 , 2 , ... .

СУІЬ

бесконечнодифференцируемые

функции

на сфере S

•

Возвращаясь теперь

к переменным

^

к

Е. *

V

у *-

> мы получим,

что функции

■'

r

■fk.tjесли

- эе*<| 'V

-ч е т н о е число

>чі

- л т ^

'

являются ренения

системы (3 3 .4 )

по модулю

кольца много­

членов.

■'Сравнение

(3 5 .4 )

вообще

говоря

не является

равенством,

поскольку регуляризация

р *

для _л =

-

V - 2 к ,

\с-=. о ; а,г, ..

не является канонической

м

и обычная формула дифференциру­

емая

верна по модулю

(£ £

£*

Таким образен^сравнение

(3 9 .4 ),

а вместе

с ним и асимпто­

тичность

ряда (3 8 .4 )

доказана.

4 . Асимптотика присоединенных функций,

j

Рассмотрим вначале задачу асимптотического разложения при-\!

соединенной функции І-го порядка. По определению, такая функция

fr H s

0 0

является решением граничной

задачи

Соболева-

I

I

ЪЪк,и?- - &LСт&*,*»)*сVу*>)

г

Штурмь-Лиувилля

•*

і

г

■>

!•

Ъ С-Х'Ътс,

-В

£ £ . /

2 * ,

&

, ) « <

>

**

Xf

>

I

где

и 0

-

собственная

функция,

отвечающая тому же

собствен-

:

ному

значению, а

/

и

а /

-

суть

производные

операторно-

!

D*

'

значных функций

с

я

В £*)

по

параметру

£ . Налом-

I

Э С *)

і

ним, что эти функция аналитичны для

всех

£

, а,

следовательно

их производные существуют и являются

ограниченным« операторами

1

в каждой точке комплексной плоскости

С

. Отметим также, что

поскольку параметр £

входит лишь в младшие (относительно диф-1

ференцнрования)

члены операторов

Х>

и

Ь

,

то

операторы Ъ /

пе, чем операторы D a

ß » .

!

Как и в случае собственных функций, мы предположим, что

многообразие

Х^>

со<

г с из

одной

точки

(начала координат) в .

пространстве

IR

и функция

U. ^ (г

Н $

является реме—