книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

н о с т я м и

X )

р а в н ы м и

Ѵ/р ,

а d . } . . . , і -

. Р а с с м о т р и м з а ­

д а ч у р а з ы с к а н и я р е ш е н и я с е м е й с т в а с р а в н е н и й

Т>Сх> 4>*. І )

І ) s Ш , £ )

(

K O J

V

x f )

(0.4)

To-есть уравнений,

выполняющихся с

точностью до

элементов,

со редоточенных на

лодмногоооразии

D

Х^

•

Ори этом^ решений

с івнения (8 .4 ) мы

будем искать

в

классе

Н S, ^

С Х )

» а пра-*,

вую часть будем считать принадлежащему пространству

Hs-w.y

Отметим,прежде

всего, из результатов

статьи

[ 1

*•]

сле-

д у е т , ч т о е с л и д л я н е к о т о р о г о

-р •= р ^

( 9 . 4 )

S > Ж-

J

a

т о с е м е й с т в о с р а в н е н и й ( 8 . 4 ) э к в и в а л е н т н о с е м е й с т в у

І>*,Ъ) u C V iZ ) £

&

Xf)

ppp*

В ч а с т н о с т и , е с л и н е р а в е н с т в о ( 9 . 4 ) в ы п о л н е н о д л я в с е х

н а

м н о г о о б р а з и и

у С

„ Э т о т с л у ч а й мы п о д р о б н о р а с с м о т р е л и в о

в т о р о й г л а в е .

Предположим теперь, что для

некоторых

р>

выполнено нера-|^

венство, обратное

неравенству

(9 .4 ):

;

£

<

>ч '

(1 0 .4 )

Предыдущее

рассуждение

показывает,

что

многообразия, для

которых

неравенства

(1 0 .4 )

не

удовлетворяется, несущественны,

поэтому мы их выбросим из рассмотрения

и, сделав, если

нужно,

новую нумерацию предположим,

что

многообразия

$■'

таковы,

что неравенства

(Ю .4)

справедливы

для

любого

р =-

d,..,

I -

Определим теперь целые

числа

I * .

Л

( I I . 4)

X Г г

* -

S'

*

-

1

Здесь квадратные скобки обозначают целую часть

числа,

причем

верхнее

значение

в

формуле ( I I . 4) берется

в случае, если

число,

стоящее

в квадратных скобцах

нецелое

и нижнее -

в про-

тивном случае.

Пусть теперь

ßf{

: Us'ir(X)

( Х г)

-

граничные операторы,

причем

f*

d>~->

£

и при каждом

f

число

операторов

равно

числу всех (неоднородных поли-

помов

степени

от

Хр неизвестных.

ЪСх,

и ,

ь

= f

(***<={

VХР )

тч

'

b

f

j

ѵ~

s<$f>)

j f z d , . . . ,

t .

Наша ближайшая цель

- сформулировать понятие

кваэиэллиптичности

семейства

граничных

задач (1 2 .4 ),

(1 3 .4 ) .

Первое условие

состоит

в том,

чтобы

оператор

'ЪСхі Т>*/ і )

был квазиэллиптичен для

всех

точек

аб*

и для

всех

±

с

|?С£

•= Ö

. Наше второе условие связывает

коэффициенты опера­

торов D

и B |j в произвольной точке каждого из

многообразий

X f

.

Для

того,

чтобы его сформулировать, мы рассмотрим про­

извольное

подмногообразие

и некоторую

(произвольную)

точку

* £ •

X f

на

нем.

Пусть

т>о

О -

2>«г. і

) ,

ЪГу

Ск, Ъ ъ

-

главные части

операторов

"Р

и

3

в смысле, указанном

в

г л .І.

малой)

окрестности

(&

X )

точки

в пространстве

1

координатами

(

х , у

) С х \ - ^

у\--> У *)’ чтобы

Ъо C x .-Lf,

, в? .0 fa -<у#6 2)

ванному распределениями,

сосредоточенными

в точке

О-

Наше второе основное условие заключается в том, что огра­

ничение

семейства (14.4)

на единичную сферу пространства пара­

метров [Я’1* £.Pe?.=o 1

является

семейством мономорфизмов.

Это условие допускает эквивалентную алгебраическую трак­

товку. Действительно, рассмотрим

элемент

и. 9 l-ls.f

С ^ ) }

который

переходит в нуль

( -<-4/ D^,

Ч s. О

С >“&l CpoCwé))j

(15.4)

b t f o

t-f%f

^

У -

r

•

(16.4)

Семейство сравнений

(15.4)

эквивалентно

семейству уравне­

ний

Ъ о

^

С * * * • * ) Ъ * } Ь< Ц ) і

-

Л

â “1

где 3

>

^ T f i

квазиэллиптично

н а

н е к о т о р о м

м н о ж е с т в е

Ltir)

комплексной

плоскости

(Г

,

если на этом множестве:

L

)

семейство

квазиэллиптичнс

для всех ос(- X ,

Ü

)

пара

(Ъ ,Ь )

[ - )

удовлетворяет

какому-либо (а

значит и любому) из условий

предложения

3 .4 .

4 .

О с н о в н а я

т е о р е м а .

Введем понятие семей­

ства изоморфизмов. Пусть

Е (і),

F (£ )

-

семейства

банаховских

пространств

и

A M :

В(Ъ)

?(Ъ)

'

(18.4)

семейство операторов.

О п р е д е л е н и е

3 .4 .

Будем говорить,

что

семей­

ство (18.4)

является

с е м е й с т в о м

и з о м о р ф и з ­

м о в ,

если оно непрерывно

и непрерывно

обратимо

(в смысле

г л .І).

1 . 4 .

П у с т ь

Т е о р е м а

( Т>, Б)

(ѣ)

:

Hs-», V 0 0 /

и?

**

ж.

семейство квазиэллиптических

операторов.. Тогда дДЯ_М бШ № '

больших по модулю

значений

і

это

семейство

является

бёПёЙ-

ствоп изоморфизмов.

'

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первая

часть теоремы - не­

прерывность

оемейства ( D/

Ь) С*)

то-есть

справедливость

неравенства

следует

из предположения 2.4 и следствия

1 .4 .

Доказательство существования непрерывного обратного опера­

тора (т>, Ь )Н(Ъ)

при достаточно больших

|£)

мы опускаеи. Оно

достаточно длинно, хотя (как ухе указывалось во введении) в

принципе довольно

просто восстанавливавтся из

соответствующего

доказательства изоморфизма краевых задач,

зависящих от

парамет­

ра, предложенного Аграновичем и Вишиком в их совместной

работе

Г 1 ]

и доказательства почта изоморфизма

задач С.Л.Соболева,

ствующий

пример см. например в [)3 ]. Однако квазиэллиптические

семейства Соболева являются частично гипозллиптическими по

переменным "касательным" к подмногообразию.

Сформулируем понятие частичной гипоэллиптичности. Пусть

пространство [RѴ с

координатами х

-

* *0

раз­

ложено в прямую сумму подпространств

и

$ у

| RV =

(Ян ф /К >

у

так что

ас = £ > / ? )

У t &

■

ния Фурье)

будут

служить

последовательности

чисел

^ =

, *

к )

и

^

&

7 А

,

И

э л л и п т и ч н о

по " к а с а т е льн ы м " к

п о д м н о г о о б р а з и я м X

п е р е м е н н ы м .

Д о к а з а т е л ь с т в

о

д л я о д н о г о о п е р а т о р а п о л у ч е ­

н о нам и в

р а б о т е Г і 2 ^ . О с т а е т с я

т о л ь к о з а м е т и т ь ,

ч т о э т о д о к а з а ­

гообразий.

О п р е д е л е н и е

5 .4 . Вектором

И

, ассоциирован­

ным с оператором Соболева-Штурма-Лиувилля

и соответствующим

собственному значению 2 * 2 «

кратности W

мы

называем любой

вектор из ядра оператора

\

( 2 0 .4 )

( Р , В ) ‘ М ’ ( « 0 ...................

I

Вектор

имеет І£

компонент

при этом его нулевая компонента

U,ö

называется

с о б с т в е н

н о й - ф у к н ц и е й

(присоединенной функцией нулевого

порядка), первая

компонента

[Л^

-

п р и с о е д и н е н н о й

ф у н к ц и е й

п е р в о г о

п о р я д к а

и т .д .

Мы уже указывали,

что в

отличие

от случаев,

рассмотренных

граничного

подмногообразия.

Т е о р е м а

3 .4 . Пусть функция

W. fr Н $

является

собственной или присоединенной функцией оператора Соболева-

Нтурма-Лиувилля,

, В3СS )

* оідечающей собственному

значению

Ъ с Н о

• Тогда в некоторой трубчатой окрестности

любого из

подмногообразий

X р

Функция

W СУ)

может быть

представлена следующим асимптотическим рядом ..

U ( X ) e r U 6 + U , - f -----

,

(25^f)

где