книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

Первое

собственное

число

-^называется ч и с л о м

П е р р о н а

задачи

Штурна-Лиувилля

(2 3 .3 ),

(24 .3) и обозна­

чается через

f> .

Зто

число играет

в наших рассмотрениях осо-

оую роль; краевая

задача

(2 1 .3 ),

(22 .3)

однозначно разрешима в

пространстве

H s i f , ^ C cJ

для всех

< ^> •

Пусть

теперь

X

-

область

с

пгдкой границей в н- -мер­

ном векторном пространстве JR

, координатами которого сложат

последовательности

чисел

->с-Сх^,-

х ^

• Рассмотрим в

цилиндре

первую краевую задачу для параболического урав­

нения второго

порядка

ЬИ- &

V

п , г . ь{4

* *

L

■

ХJ

ttb x ..- +

Т

бс’С*)

-tCL( - О

Н-

Г

М ус* ) 4Г $

>

£ ?-

C,j-/

^

>

•

где Y^O

-некоторое полокительное

число.

Предположим также,

что функция

с£*) неположительна:

ccyj £ о ■

После

преобразования Фурье

задача (2 5 .3 ).

(2 6 .Г) переходит

в семейство краевых

задач

- £

а ¥ ' > т і,* ,-

-

Е

Ы ѵ Я, -

=

(2 7 .3 )

Ц U

(2 8 .3 )

(Здесь

и ниже знак

А

преобразования

Фурье

над функциями мы j

сов функции

-

спектр задачи (2 7 .3 ), (2 8 .3 ); то-есть

•

числа Ъ

при которых

задача

;>

3

Ь Гс-ЬУу -

Г

^ ’^

т і - си

=

(29 .3)

1(' / > X -

О

(3 0 .3 )

имеет нетривиальное решение. Левую часть уравнения

(2 9 .3 )

можно’

реализовать как линейный интегральный оператор, ядром

которого I

служит функция

Грина задачи

(2 9 .3 ),

(30 .3)

1

Ч

е

J

£ \ ( х , у )

uCy ) cf y

I

і

Из принципа максимума

следует,

что

функция Грина неотрицательна

а значит неотрицателен

и спектр задачи ( 29 . 3),

(ЗО .З),

причем

как следует из

теоремы Перрона-Гутмана |_/oJ

наименьшее по мо­

дулю сооственное

число

положительно. Это число

называется

ч и с л о м

П е р р о н а

и обозначается

через

.р

. Из опре

деления числа

Перрона

следует,

что

задача (2 5 .3 ),

(2 6 .3 )

одно-

-

121

-

і

значно

разрешима в пространстве

для

всех

поэтому

нахождение числа Перрона или хотя бы оценки его нижней

границы

чрезвычайно интересно. Такие

оценки были

получены в

Яе = а

}

Г Л А В А І У .

Задачи С.Л.Соболева для квазиэллиптических операторов в про-

f

странствах И s,^,а, нй бесконечном цилиндре.

j

1 . Язык "по модулю" .

I

2 . Формулировка и план доказательстваосновной теоремы,

j

3. Асимптотика собственных функций.

>

4 . Асимптотика присоединенных функций.

j

§ 3. Квазиэллиптические

задачи С.Л.Соболева в бесконечном

I

цилиндре.

і

1 . Функциональные

пространства.

2 . Граничные операторы.

ных подмногообразий и при *t -т i

.

д л я к в а з и э л л и п т и ч е с к и х о п е р а т о р о в .

Мы р а с с м о т р и м п р о с т е й ш и й

в а р и а н т т а к и х з а д а ч - с л у ч а й к о г д а

г р а н и ч н ы е о п е р а т о р ы з а д а й т е ;

Х а р а к т е р н о й ч е р т о й г р а н и ч н ы й

з а д а ч С .Л .С о б о л е в а я в л я е т с я

и х н е г и п о э л л и п т и ч н о с т ь

в о т л и ч и е

о т з а д а ч , р а с с м о т р е н н ы х в о

в т о р о й и т р е т ь е й г л а в а х . $ ы д о к а з ы в а е м , ч т о в б л и з и п о д м н о г о о б ­

р а з и й , н а к о т о р ы х з а д а ю т с я г р а н и ч н ы е у с л о в и я р еш е н и е не я в л я ­

е т с я б е с к о н е ч н о г л а д к и м д а ж е п р и б е с к о н е ч н о г л а д к и х п р а в ы х ч а с ­

т я х и у к а з ы в а е м а с и м п т о т и к у р еш ен и й

в о к р е с т н о с т и т а к и х п о д м н о ­

г о о б р а з и й . Б о л е е т о г о мы в ы п и с ы в а е м

( д в о й н о й ) а с и м п т о т и ч е с к и й

р я д

д л я р еш е н и я в

о к р е с т н о с т и

о с о б о г о

м н о г о о б р а з и я

и при

•è

і

, Ч т о ж е к а с а е т с я э к з и с т е н ц и а л ь н о й ч а с т и т е о р и и , т<

о н а

в общ ем

п о х о ж а

н а т е о р и и ,

р а з в и т ы е

в о в т о р о й и

т р е т ь е й

т о в л е н о и з д о к а з а т е л ь с т в а а н а л о г и ч н о й т е о р е м ы д л я э л л и п т и ч е с -

{

к и х к р а е в ы х з а д а ч , п р е д л о ж е н н о г о А г р а н о в и ч е м и Виш и ком в и х

|

с о в м е с т н о й р а б о т е [ 2 J i i д о к а з а т е л ь с т в а н о р м а л ь н о й р а з р е ш и м о с т и

э л л и п т и ч е с к и х г р а н и ч н ы х з а д а ч , к о т о р о е м ы .с д е л а л и р а н е е

!

П о ж а л у й , с а м и м и н т е р е с н ы м и н е т р и в и а л ь н ы м м е с т о м в э т о й

г л а в е я в л я е т с я у с т а н о в л е н и е а с и м п т о т и ч е с к о г о р а з л о ж е н и я с о б -

!і

с т в е н н ы х и п р и с о е д и н е н н ы х ф у н к ц и й о п е р а т о р а С о б о л е в а - Ш т у р м а -

I

Л и у в и л л я в б л и з и г р а н и ч н о г о п о д м н о г о о б р а з и я . А п п р о к с и м и р у я o n e -

,

р а т о р с г л а д к и м и к о э ф ф и ц и е н т а м и о п е р а т о р о м с п о л и н о м и а л ь н ы м и

к о э ф ф и ц и е н т а м и , мы р е к у р р е н т н о п о л у ч а е м п о с л е д о в а т е л ь н ы е п р и -

^

б л и ж е н и я д а н н о г о р еш ен и я ч е р е з р еш е н и я а п п р о к с и м и р у ю щ е г о у р а в ­

н ен и я с

п о л и н о м и а л ь н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и , к о т о р о е м ож н о я в н о

;

р е ш и т ь .

При э т о м н а м у д о б н о п о л ь з о в а т ь с я я з ы к о м " п о м о д у л ю " ,

,

и мы п а р а г р а ф у

об а с и м п т о т и к е п р е д п о с л а л и н е б о л ь ш о е л и н г в и с т и - і

ч е с к о е в в е д е н и е об э т о м я з ы к е .

с т в е н ,;о

к в а э и э л л и п т и ч е с к и м

у р а в н е н и я м

в ц и л и н д р е .

'>т а ч а с т ь

с у щ е с т в е н н о и с п о л ь з у е т т е о р и ю с е м е й с т в

к в а з и э л л и п г и ч е с к и х

з а д а ч С .Л .С о б о л е в а ,

и е е р е з у л ь т а т ы

п о л у ч а ю т с я

м етод, -м и ,

и з л о ­

ж енны ми

в о в т о р о й и

т р е т ь е й

г л а в а х .

П о э т о м у в

э т о й

ч а с т и

мы

нетрудно показать (см ., например,

) , что элементарный гра­

ничный оператор

( X ) - H

s. ^ r ( X f ) /s>g>

по параметру,

и мы дадим определение (равномерной) непрерывно­

сти в следующей общей ситуации.

Пусть £ ( i ) , FC^

- семейству банаховских пространств,

параметризованное точками комплексной плоскости и

А ф

: ЕСі)

—

»

F O ;

о л )

семейство операторов с тем же пространством параметров.

О п р е д е л е н и е

1 .4 .

Будем говорить,

что семейство

(3 .4 )

н е п р е р ы в н о ,

если

существует

такая

постоянная

С-окуЬ

, не

зависящая

от

элементов H fE fë)

и параметра

что

1А [г)

Ц р ^

с е м *

II ч- II ^

П р е д л о ж е н и е

1 .4 .

Элементарный граничный опера­

тор (2 .4 ) непрерывен, если

в-

о .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

все

оценки носят

ложить, что

мы находится

в ситуации

пространства

R

|^.Ѵѵ>

М р. пусть

( х

х )

у

- координаты

пространства

так что п о дп р о стр ан ство

вы деляется уравнением

П у с т ь

" К * 1 j ) - ф у н к ц и я , п р и н а д л е ж а щ а я п р о с т р а н с т в у

Н 5,5"

»

Т0,'Да

f C x ,

О)

г д е ч е р е з

£ (<£ , y j

м ы - о б о з н а ч и л и п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е ф у н к ­

ц и и

- ^ С ^ , у )

. С л е д о в а т е л ь н о ,

K f 6 w > ) | s_ y > r = j (

I

О ц е н и м в н у т р е н н и й и н т е г р а л

(

\ Н

^

ч

) ЛлО

г' ( f X t v■\‘У+і4‘1г+І*І1ііІ2І*г) cty.

■

I -

d

7

(5 .4 )

л и т ь

П о с л е д н и й м н о ж и т е іь в р а в е н с т в е ( 5 . 4 ) м ож н о я в н о в ы ч и с ­

1

о Ц

_

( 6 . 4 )

г д е

J

( і * \ * І гі I r f t l i l f t ) S

b f

с о

- а б с о л ю т н а я п о с т о я н н а я , з а в и с я щ а я т о л ь к о от S .